Тема №2. Уравнения. Модуль числа.

1. Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений.

1º. Равенство функций называетсяуравнением с одной переменной.

Множество всех значений неизвестного х, при которых одновременно имеют смысл выраженияf(x)иg(x), называетсяобластью определенияилиобластью допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Чтобы найти ОДЗ уравнения, необходимо найти пересечение областей определения функцийf(x)иg(x).

Число хиз ОДЗ уравнения называетсякорнем ( или решением) уравнения, если при подстановке его в уравнение вместо неизвестного уравнение обращается в верное числовое равенство.Решить уравнение– значит найти множество его корней или доказать, что их нет.

2º. Два уравнения называются равносильными(илиэквивалентными), если множества их решений совпадают.

Процесс решения уравнения, в идеале, это цепочка переходов от исходного уравнения к равносильным, приводящая с помощью равносильных преобразований к такому уравнению, для которого множество решений может быть найдено. В общем случае над уравнениями можно выполнять только такие преобразования, которые не нарушают равносильности или нарушают ее, приводя к приобретению посторонних корней. Последние должны быть выявлены путем проверки и отброшены.

2. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным.

1º. Линейным уравнениемилиуравнением первой степениназывается уравнение вида, гдеaиb– действительные числа.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) a ≠ 0; в этом случае корень уравнения;

2) a = 0, b ≠ 0;тогда получаем уравнение, которое не имеет корней;

3) a = 0, b = 0;тогда получаем уравнение, решением которого является любое действительное число, т.е..

2º. Уравнения, сводящиеся к линейным, в т.ч. уравнения вида , обычно решают так:

1. приводят слагаемые (члены уравнения) к общему знаменателю;

2. переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую;

3. приводят подобные члены;

4. делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

3. Квадратные уравнения.

1º. Уравнение вида , гдеa,b,c– действительные числа, причема ≠ 0, называютквадратным уравнением.

Корни квадратного уравнения находят по формуле:

.

Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называютприведенным; если коэффициента ≠ 1–неприведенным.

2º. Выражение называютдискриминантомквадратного уравнения.

Если D< 0, то уравнениене имеет действительных корней; еслиD= 0, то уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня); еслиD> 0, уравнение имеет два различных действительных корня.

3º. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равнаа произведение корней равно.

Для корней x₁иx₂приведенного квадратного уравненияформулы Виета имеют вид:

4º. Уравнения вида ,,называютнеполнымиквадратными уравнениями.

Неполные квадратные уравнения решают следующим образом:

1) ;

2) .

5º. Выражение называетсяквадратным трехчленомотносительнох.

Квадратный трехчлен может быть разложен на линейные множители по формуле:

,

где x₁иx₂ – корни квадратного трехчлена, т.е. корни уравнения(если уравнение имеет действительные корни).