1-й сем-ДМ-слайды-ДГТУ / Высказывания1-5
.doc
Л4
Пример2
Были 4 мальчика: Андрей, Кирилл, Дима, Федя. Фамилии у них те же, что и имена, но имя и фамилии не совпадают. Фамилии Дмитрия не была Андреев. Определить, кто есть кто. Имя мальчика с фамилией Федоров является фамилией мальчика, имя которого – фамилия Кирилла.
РЕШЕНИЕ
Поставим в соответствие каждому мальчику XY, где Х – имя, Y – фамилия.
Тогда логичны высказывания:
АА, КК, ДД,ФФ,ДА, но есть такой YX, что истинна конъюнкция XФ^YХ^KY.
Очевидно, что Х не равно Ф; Х не равно К; У не равно 0; У не равно К.
Тогда возможны случаи:
-
Х=А и У=Д;
-
Х=Д и У=А.
Но первый случай не возможен, т.к. YХ= ДА, а условие ДА=0.
Следовательно, второй случай.
Значит, Дима – Федоров, Андрей – Дмитриев, Кирилл – Андреев, Федор – Кирилов.
ПРИМЕР3
По подозрению в преступлении задержали Бориса, Дениса и Сергея. Один из них – уважаемый старик, другой – малоизвестный чиновник, третий – известный мошенник.
В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий иногда – правду, иногда – ложь.
Вот, что они говорили:
Борис: «Я совершил это. Денис не виноват».
Денис: «Борис не виноват. Это сделал Сергей».
Сергей: «Я не виноват, виноват Борис».
Определить кто старик, мошенник и чиновник и кто из них виноват, если преступник один.
РЕШЕНИЕ
Обозначим Б, Д, С высказывания: виноват Борис, виноват Денис, виноват Сергей. Тогда высказывания можно записать:
Б^Д, Б^С, Б^С, из которых, по условию задачи, две ложны, а одна истинна. Поэтому истина:
£ = (Б^Д)v(Б^С)v(Б^С).
Таблица истинности:
|
Б |
Д |
С |
Б^Д |
С^Б |
Б^С |
£ |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
£ истинна в 5 из 8 случаев.
Случай 4 исключается, т.к. Истинны 2 конъюнкции, противоречит условию. В случаях 2, 3, 5 истинны по 2 высказывания: Б и Д, Б и С, Д и С соответственно, что противоречит условиям задачи. Следовательно, справедлив случай 7: т.е., преступник – Сергей. Он – известный мошенник и оба его высказывания – ложны.
Б^С=0. При этом высказывании Б и Д – ложны, значит и истинна пара высказываний Димы, а у Бориса первое высказывание ложно, второе – истина. Тогда Дима – уважаемый старик, Боря – малоизвестный чиновник.