дгту / королькова / Математика к.р.1

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₁ = (2 - (x₂ - 6x₃ + 4x₄))/2

x₂ = 10 - (20x₃ - 2x₄)

x₃ = (20 + x₄)/30

x₄ – свободная переменная

Для нахождения частного решения системы необходимо переменную x₄ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

x1 = 14/3 x2 = -10/3 x3 = 2/3 x4 = 0

Задание 5.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды: А₁А₂А₃А₄ требуется найти:

а) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

в) площадь грани А₁А₂А₃;

г) объем пирамиды;

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

ж) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

з) высоту пирамиды.

А₁ (-1, 1, -2), А₂ (-2, 1, 2), А₃ (-3, 2, -2), А₄ (-1, 3, 0).

а) Длины ребер:

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

_{Определим координаты отрезков А1А2 и А1А3.}

_Тогда

в) площадь грани А₁А₂А₃;

= ;

== = -4-8-;

= ;

= 9/2 = 4,5 (кв. ед.);

г) объем пирамиды;

;

Определим координаты отрезка :

;

(куб. ед.).

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

Для определения уравнений сторон А₁А₂ и А₁А₃ используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

Уравнение плоскости А₁А₂А₃:

;

;

;

;

.

Уравнение плоскости А₁А₂А₄:

;

;

;

;

;

.

ж) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ определяется по формуле:

з) Высота пирамиды определяется по формуле :

(ед).