дгту / музиков / математика / М1 / Математика к.р.1.1

0	2	-2	-4	4
2	7	7	6	0

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	2	-2	-4	4
2	7	7	6	0

0	2	-2	-4	4
2	7	7	6	0

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Следовательно, ранг основной и расширенной матрицы совпадает 2=2, и система уравнений является совместной.

Решим неоднородную систему уравнений:

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₁ = - (7x₂ + 7x₃ + 6x₄)/2

x₂ = (4 + 2x₃ + 4x₄)/2

x₃,x₄ – свободные переменные

Необходимо переменные x₃,x₄ принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x₃,x₄ к 0

Из 3-ой строки выражаем x₂

Из 4-ой строки выражаем x₁

x1 = -7 x2 = 2 x3 = 0 x4 = 0

Задание 5.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды: А₁А₂А₃А₄ требуется найти:

а) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

в) площадь грани А₁А₂А₃;

г) объем пирамиды;

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

ж) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

з) высоту пирамиды.

А₁ (-1, 2, 1), А₂ (-2, 2, 5), А₃ (-3, 3, 1), А₄ (-1, 4, 3).

а) Длины ребер:

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

_{Определим координаты отрезков А1А2 и А1А3.}

_Тогда

в) площадь грани А₁А₂А₃;

= ;

== = -4-8-;

= ;

= 9/2 = 4,5 (кв. ед.);

г) объем пирамиды;

;

Определим координаты отрезка :

;

(куб. ед.).

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

Для определения уравнений сторон А₁А₂ и А₁А₃ используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

Уравнение плоскости А₁А₂А₃:

;

;

;

;

.

Уравнение плоскости А₁А₂А₄:

;

;

;

;

;

.

ж) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ определяется по формуле:

з) Высота пирамиды определяется по формуле :

(ед).