дгту / иванча / математика / М7 / Математика к.р.1.7

0	0	0	-14	14
0	0	8	-1	9
0	-2	-6	-5	1
3	4	14	9	4

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 4.

Следовательно, ранг основной и расширенной матрицы совпадает 4 = 4, и система уравнений является совместной.

Решим неоднородную систему уравнений:

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (8). Умножим 2-ую строку на (6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₁ = (4 - (4x₂ + 14x₃ + 9x₄)/3

x₂ = -(1 + 6x₃ + 5x₄)/2

x₃ = (9 + x₄)/8

x₄ = -1

Выражаем x₃

Выражаем x₂

Выражаем x₁

x1 = 1 x2 = -1 x3 = 1 x4 = -1

Задание 5.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды: А₁А₂А₃А₄ требуется найти:

а) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

в) площадь грани А₁А₂А₃;

г) объем пирамиды;

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

ж) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

з) высоту пирамиды.

А₁ (1, 2, 1), А₂ (0, 2, 5), А₃ (-1, 3, 1), А₄ (1, 4, 3).

а) Длины ребер:

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

_{Определим координаты отрезков А1А2 и А1А3.}

_Тогда

в) площадь грани А₁А₂А₃;

= ;

== = -4-8-;

= ;

= 9/2 = 4,5 (кв. ед.);

г) объем пирамиды;

;

Определим координаты отрезка :

;

(куб. ед.).

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

Для определения уравнений сторон А₁А₂ и А₁А₃ используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

Уравнение плоскости А₁А₂А₃:

;

;

;

;

.

Уравнение плоскости А₁А₂А₄:

;

;

;

;

;

.

ж) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ определяется по формуле:

з) Высота пирамиды определяется по формуле :

(ед).