дгту / колосов / математика / Математика к.р.1

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

0	0	1	9	-4
0	-1	2	6	-5
4	-7	4	-4	5

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Ответ: rang|А|=3

Следовательно, ранг основной и расширенной матрицы совпадает 3=3, и система уравнений является совместной.

Решим неоднородную систему уравнений:

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₁ = (5 - ( - 7x₂ + 4x₃ - 4x₄))/4

x₂ = 5 + 2x₃ + 6x₄

x₃ = -4 - 9x₄

x₄ – свободная переменная

Для нахождения частного решения системы необходимо переменную x₄ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Приравняем переменную x₄ к 0

Из 2-ой строки выражаем x₃

Из 3-ой строки выражаем x₂

Из 4-ой строки выражаем x₁

x1 = 14/3 x2 = -10/3 x3 = 2/3 x4 = 0

Задание 5.

Даны координаты вершин треугольной пирамиды: А₁А₂А₃А₄ требуется найти:

а) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

в) площадь грани А₁А₂А₃;

г) объем пирамиды;

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

ж) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

з) высоту пирамиды.

А₁ (1, 1, 2), А₂ (0, 1, 6), А₃ (-1, 2, 2), А₄ (1, 3, 4).

а) Длины ребер:

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

_{Определим координаты отрезков А1А2 и А1А3.}

_Тогда

в) площадь грани А₁А₂А₃;

= ;

== = -4-8-;

= ;

= 9/2 = 4,5 (кв. ед.);

г) объем пирамиды;

;

Определим координаты отрезка :

;

(куб. ед.).

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

Для определения уравнений сторон А₁А₂ и А₁А₃ используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

Уравнение плоскости А₁А₂А₃:

;

;

;

;

.

Уравнение плоскости А₁А₂А₄:

;

;

;

;

;

.

ж) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ определяется по формуле:

з) Высота пирамиды определяется по формуле :

(ед).