дгту / колосов / математика / Математика к.р.1

Контрольная работа №1

Вариант 3

Задание 1. Дана матрица . Найти матрицу R = C² – 2C^T -3C^-1.

а = 1, b = -3, c = 1, d = -4.

,

,

,

Найдем обратную матрицу С^-1.

Главный определитель:

∆ = (1•3-(-6)•(-4)) = -21

Алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

С₁₁=(-1)¹⁺¹·3=3; С₁₂=(-1)¹⁺²·(-6) = 6; С₂₁=(-1)²⁺¹·(-4)=4; С₂₂=(-1)²⁺²·1=1;

Тогда обратная матрица имеет вид:

Проверим правильность нахождения обратной матрицы, умножив исходную матрицу на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

Найдем матрицу R:

Задание 2. Дана система уравнений АХ = В, где матрицы

а = 1, b = -3, c = 1, d = -4.

Решить систему уравнений тремя методами:

а) по формулам Крамера,

б) матричным методом,

в) Методом Жордана-Гаусса.

а) Решение СЛАУ методом Крамера:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 2(18^.2-12^.5) - 9(3^.2 – 5 ^.5) + (3^.12 – 5 ^.18) = -48 + 171 - 54 = 69.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В:

Δ_х1 = -9(2^.(-6) – 5 ^.(-9)) + (12^.(-6) – 18 ^.(-9)) = -297 + 90 = -207.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х2 = 2^.(2^.(-6) – 5 ^.(-9)) + (3^.(-9) – 5 ^.(-6)) = 66 + 3 = 69.

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В

Δ_х3 = 2^.(18^.(-9)-(-6)^.12) - 9(3^.(-9) –5 ^.(-6)) = -180 - 27 = -207.

Неизвестные переменные x_i:

Проверка: 2^.(-3) + 9^.1 + 1^.(-3) = 0.

3^. (-3) + 18^.1 + 5^. (-3) = -6.

5•(-3) + 12•1 + 2•(-3) = -9.

б) Решение матричным методом:

Найдем главный определитель матрицы:

Δ = 69 – система будет иметь решение, так как определитель не равен нулю.

Найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения транспорированной матрицы:

Алгебраические дополнения.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹(18^.2 – 5^.12) = -24,

A₁₂ = (-1)¹⁺²(2^.9 – 12) = -6,

A₁₃ = (-1)¹⁺³(45 – 18) = 27,

A₂₁ = (-1)²⁺¹(6 – 25) = 19,

A₂₂ = (-1)²⁺²(2^.2 – 5) = -1,

A₂₃ = (-1)²⁺³(10– 3) = -7,

A₃₁ = (-1)³⁺¹(18*5 – 3*12) = 54,

A₃₂ = (-1)³⁺²(24– 45) = 21,

A₃₃ = (-1)³⁺³(36 – 27) = 9,

Обратная матрица:

Вектор результатов:

Проверка: 2^.(-3) + 9^.1 + 1^.(-3) = 0.

3^. (-3) + 18^.1 + 5^. (-3) = -6.

5•(-3) + 12•1 + 2•(-3) = -9.

в) Решение методом Жордана-Гаусса:

Составим расширенную матрицу:

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (2).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
2 / 2 = 1	9 / 2 = 4.5	1 / 2 = 0.5	0 / 2 = 0

Разрешающий элемент равен (4.5).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / 4.5 = 0	4.5 / 4.5 = 1	3.5 / 4.5 = 0.78	-6 / 4.5 = -1.33

Разрешающий элемент равен (7.67).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / 7.67 = 0	0 / 7.67 = 0	7.67 / 7.67 = 1	-23 / 7.67 = -3

x₁ = -3, x₂ = 1, x₃ = -3

Проверка: 2^.(-3) + 9^.1 + 1^.(-3) = 0.

3^. (-3) + 18^.1 + 5^. (-3) = -6.

5•(-3) + 12•1 + 2•(-3) = -9.

Задание 3. Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе . Требуется:

а) показать, что система векторов образует базис в пространстве R₃.

б) записать матрицу перехода от канонического базиса к базису и разложить вектор по этому базису.

= (3,2,2)

= (2, 3, 1)

= (1, 1, 3)

= (5, 1, 11)

а) Система векторов линейного пространства образует базис в R₃, если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор линейно выражается через векторы системы. Составим матрицу из векторов :

Вычислим определитель основной матрицы по третьей строке:

Δ = (2-3^.2) - (1^.3 – 2 ^.2) + 3(3*3-2*2) = -4 + 1 + 15 = 12.

Так как определитель матрицы не равен нулю (120), то векторы линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве R₃.

б) Запишем матрицу перехода от канонического базиса к _.

Провели следующие преобразования:

1) из 1 столбца вычли 2 столбец;

2) к 3 столбцу прибавили 1 столбец;

3) 3 столбец разделили на 3;

4) из 2 столбца вычли 3 столбец;

5) из 1 строки вычли 2 строку;

6) ко второй строке прибавили 1 строку.

7) из 2 столбца вычли 1 столбец;

8) 2 столбец разделили на 4;

Матрица перехода имеет вид:

Разложим вектор по полученному базису. Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение: с₁a₁ + с₂a₂ + с₃a₃ = х. Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 1-ую строку на (0.249999992499). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 11.249999992499/0.250000000001

x₂ = [11 - (0.33x₃)]/(-0.08333333)

x₁ = [5 - ( - x₂)]/1

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Ответ. х = 53a₁ + 48а₂ + 45 а₃

Задание 4.

Элементы матрицы С_4х5 заданы по вариантам заданы по вариантам:

1. Считая матрицу С_4х5 матрицей однородной СХ = 0, найти для этой системы

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

2	-4	3	1	0	0
1	-2	1	-4	2	0
0	1	-1	3	1	0
4	-7	4	-4	5	0

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	1	-1	3	1	0
1	-2	1	-4	2	0
2	-4	3	1	0	0
4	-7	4	-4	5	0

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	-1	3	1	0
0	0	-1	-9	4	0
2	-4	3	1	0	0
4	-7	4	-4	5	0

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	-1	3	1	0
0	0	-1	-9	4	0
0	-1	2	6	-5	0
4	-7	4	-4	5	0

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	0	-1	-9	4	0
0	1	-1	3	1	0
0	-1	2	6	-5	0
4	-7	4	-4	5	0

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	-1	-9	4	0
0	0	1	9	-4	0
0	-1	2	6	-5	0
4	-7	4	-4	5	0

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	0	0	0
0	0	1	9	-4	0
0	-1	2	6	-5	0
4	-7	4	-4	5	0

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = - (9x₄ - 4x₅)/1

x₂ = 2x₃ + 6x₄ - 5x₅

x₁ = -(- 7x₂ + 4x₃ - 4x₄ + 5x₅)/4

Необходимо переменные x₄,x₅ принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Окончательный вид системы следующий:

x₁ = -(- 7x₂ + 4x₃ - 4x₄ + 5x₅)/4

x₂ = 2x₃ + 6x₄ - 5x₅

x₃ = - (9x₄ - 4x₅)/1

x₄, x₅ - свободные переменные. 

Заданная система уравнений имеет множество решений.

Подставим в качестве свободных переменных x₄ и x₅ число 1.

Тогда при x₄ = 1, x₅ = 1: x₃ = -19/30, x₁ = 217/30, x₂ = 14/3.

Фундаментальное решение системы уравнений имеет вид:

Частное решение системы уравнений при x₄ = 0, x₅ = 0 имеет вид:

Из 2-ой строки выражаем x₃

Из 3-ой строки выражаем x₂

Из 4-ой строки выражаем x₁

2. Считая матрицу С_4х5 расширенной матрицей неоднородной системы С’’X = C’, где С = (С’’| C’), решить эту систему уравнений, предварительно исследовав ее совместность по теореме Кронекера-Капелли.

Исследуем совместность СУ по теореме Кронекера-Капелли.

Определим ранг основной матрицы:

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Ответ: rang|А|=3

Определим ранг расширенной матрицы:

Выпишем основную матрицу системы:

2	-4	3	1	0
1	-2	1	-4	2
0	1	-1	3	1
4	-7	4	-4	5

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	1	-1	3	1
1	-2	1	-4	2
2	-4	3	1	0
4	-7	4	-4	5

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	-1	3	1
0	0	-1	-9	4
2	-4	3	1	0
4	-7	4	-4	5

Умножим 3-ую строку на (2). Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	-1	3	1
0	0	-1	-9	4
0	-1	2	6	-5
4	-7	4	-4	5

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	0	-1	-9	4
0	1	-1	3	1
0	-1	2	6	-5
4	-7	4	-4	5

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	-1	-9	4
0	0	1	9	-4
0	-1	2	6	-5
4	-7	4	-4	5