ege-2014-sovety_repetitora-glava_3
.pdf
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
Корень из числа 576 можно найти разными способами. Рассмотрим один из них: попытаемся разбить число 576 на множители, из которых легко извлекается корень.
576 = 4 ∙ 144 = 4 ∙ 2 ∙ 72 = 4 ∙ 2 ∙ 36 ∙ 2 = 4 ∙ 4 ∙ 36
Таким образом,
cos = √ |
576 |
= √ |
4 ∙ 4 ∙ 36 |
= |
2 ∙ 2 ∙ 6 |
= |
24 |
= 0,96 |
|
|
25 ∙ 25 |
5 ∙ 5 |
|
25 |
|||||
625 |
|
|
|
|
|||||
2-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
В данном случае проверкой являлось вычисление, сделанное другим способом.
3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
0 |
, |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание B11 |
Страница 31 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
||
B11.1.6. НАЙДИТЕ ( − ), ЕСЛИ = |
|
И ( ; ). |
|
|
|
||
1-ЭТАП: ВЫБОР ПУТИ РЕШЕНИЯ. ВЫЧИСЛЕНИЯ.
Обозначим дугой на рисунке «зону» разрешенного в условии угла.
Проще всего начать решение этого задания, применив формулу приведения:
sin (2 − ) = cos .
Таким образом, для решения задания требуется найти значение выражения 26 cos , имея известное значение sin .
В этом примере (как и во многих подобных) следует воспользоваться известной формулой, связывающей между собой значения синуса и косинуса:
sin2 α + cos2 α = 1
Для простоты вычисления сразу подставим в нее известное значение синуса:
(135 )2 + cos2 α = 1
cos2 α = 1 − (135 )2
Далее возможны, например, такие варианты вычислений:
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos2 α = 12 − ( |
5 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
13 |
5 |
13 |
5 |
|
8 |
|
|
18 |
|
|||||||||
|
) |
= (1 − |
|
)(1 + |
|
|
) = ( |
|
− |
|
)( |
|
+ |
|
) = |
|
|
∙ |
|
= |
|||||||||
|
13 |
13 |
|
13 |
|
|
13 |
13 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
13 |
13 |
13 |
|
|
|||||||||||||||
= |
4 ∙ 2 ∙ 9 ∙ 2 |
= |
4 ∙ 4 ∙ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 ∙ 13 |
|
13 ∙ 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos = ±√ |
4 ∙ 4 ∙ 9 |
= ± |
2 ∙ 2 ∙ 3 |
= ± |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
13 ∙ 13 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По рисунку видно, что выбирать в данном случае нужно отрицательное значение косинуса:
|
|
Задание B11 |
Страница 32 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
12 cos = − 13
Найдем теперь искомое выражение:
26 cos = − |
26 ∙ 12 |
= −24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 α = 1 − ( |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
25 |
|
|
169 |
|
25 |
|
144 |
||||||
|
|
) |
= 1 − |
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
= |
|
|||||||
|
|
169 |
169 |
169 |
169 |
||||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos = ± √ |
144 |
|
= −√ |
144 |
|
= − |
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
169 |
|
|
|
|
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
26 cos = − |
26 ∙ 12 |
= −24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
- 2 4
|
|
Задание B11 |
Страница 33 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
11.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Во всех разобранных примерах применяются одно или несколько правил из набора «логарифмического конструктора». Для успешного решения этих заданий необходимо помнить также «показательный конструктор». Напомню, что упомянутые «конструкторы» – это наборы правил работы со степенями и логарифмами (непременно еще раз загляните в главу В7).
Разбивка решения логарифмических примеров B11.2 на этапы довольно условна. Ее цель – еще раз осознать и закрепить полезную привычку: вычислить – проверить – записать ответ.
B11.2.1. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
|
√ |
|
|
|||||||||
. |
|||||||||||||
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
1 |
= 51 ∙ |
1 |
log7 7 = |
51 |
∙ 1 = 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
51log7 √7 = 51 log7 |
73 |
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
1 7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B11.2.2. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
|
√ |
. |
|||||
|
|
|||||||
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
= 5log5 17 1 = 5log5 17 = 17 |
|
|||||
25log5 √ |
17 |
= 52 log5 17 2 |
= 5log5 17 2 |
|
||||
(на последнем этапе преобразований применяется основное логарифмическое тождество).
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
1 7
|
|
Задание B11 |
Страница 34 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
B11.2.3. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
√ .
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
log9 |
|
|
|
|
log9 22 |
1 |
|
1 log9 22 |
|
|
|
|
log9 22 |
|
|
|
||||
√22 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
= |
2 |
|
= |
|
|
∙ |
|
|
|
= |
|
= 0,5 |
|
log9 22 |
log9 22 |
log9 22 |
2 |
log9 |
22 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
0 , 5
B11.2.4. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
.
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
18 18
8log8 3 = 3 = 6
(для преобразования знаменателя применяется основное логарифмическое тождество).
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B11.2.5. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
|
|
|
√ . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= (−1) |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
log |
|
|
√22 |
= log22−1 22 |
|
log22 |
22 = − |
log22 |
22 = − |
= −0,5 |
|||||||||||||||
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
2 |
-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- |
|
0 |
|
|
, |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание B11 |
Страница 35 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
|||||||||||||||||||||||
B11.2.6. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
1 |
-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
log 2 16 |
|
1 log |
16 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
log |
16 |
= 7 |
|
= 7 |
log |
16 2 |
= 7 |
log |
|
16 |
= √16 = 4 |
|
|||||||||||
49 |
|
7 |
|
= 7 2 |
|
7 |
7 |
|
7 |
√ |
|
|||||||||||||
2 |
-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B11.2.7. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
. |
||
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
|
log16 log3 81 = log16 4 = |
1 |
= 0,5 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
В этом примере один логарифм является «начинкой» другого логарифма.
Проще всего подобные примеры решать в 2 действия.
С помощью «крутилки» вычисляем сначала внутренний логарифм: log3 81 = 4, а затем получившийся после этого log16 4 = 12 = 0,5.
По сути, удобнее было бы записать исходный пример в виде log16( log3 81), но такая запись почему-то не принята в литературе.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
0 , 5
B11.2.8. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
∙ . |
При решении этого примера использовалась так называемая «формула перехода логарифма к другому основанию», которая входит в «логарифмический конструктор»:
=
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
log7 13 ∙ log13 49 = log7 13 ∙ log13 7 2 = 2 log7 13 ∙ log13 7 = 2 log7 13 ∙ log7 7 = log7 13
1
= 2 log7 13 ∙ log7 13 = 2
|
|
Задание B11 |
Страница 36 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
2
B11.2.9. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
− , . |
|||||||||||
1 |
-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
||||||||||
log5 135 − log5 5,4 = log5 |
135 |
= log5 125 = log5 52 |
= 2log5 5 = 2 ∙ 1 = 2 |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
5,4 |
|
|
|
|
|||||||
2 |
-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B11.2.10. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
|
|
|
− √ ∙ . |
|||
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
9 − 5 4 ∙ 23 = 9 − 41 ∙ 23 = 9 − (22)1 ∙ 23 = 9 − 22 ∙ 23 = 9 − 25 = 9 − 21 = 7
5 5 5 5 5 5 5 5
√
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
7
|
|
|
|
|
|
B11.2.11. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ |
− ∙ ( ) |
+ . |
|||
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ. |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
−13 ∙ (256)8 |
+ 16 = ( ) = −13 ∙ (44)8 |
+ 16 = −13 ∙ 48 |
+ 16 = −13 ∙ 42 |
+ 16 = |
|
= −13 ∙ √4 + 16 = −13 ∙ 2 + 16 = −26 + 16 = −10
Или, после ( ), можно сделать, например, немного по-другому:
1 |
2 |
1 |
1 |
|
−13 ∙ (162)8 |
+ 16 = −13 ∙ 168 |
+ 16 = −13 ∙ 164 |
+ 16 = −13 ∙ (42)4 |
+ 16 = |
= −13 ∙ √4 + 16 = −13 ∙ 2 + 16 = −26 + 16 = −10
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
- 1 0
|
|
Задание B11 |
Страница 37 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
Как видно из решенных выше примеров, B11.2 не требуют особой математической мудрости.
Для того чтобы уверенно выполнять подобные задания, необходимо не столько понимать правила действий со степенями и логарифмами, сколько автоматически применять их на практике.
|
|
Задание B11 |
Страница 38 |
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора |
www.EGEprosto.ru |
Основные советы по выполнению заданий В7 и В11:
Запомните показательный и логарифмический «конструкторы». Лучше всего это сделать путем их периодического и многократного написания;
Многие логарифмические задания (уравнения или выражения) можно решать как с помощью «крутилки», так и с помощью «конструктора»: это просто два различных инструмента работы. Умейте использовать каждый из них, но в конкретных заданиях выбирайте наиболее простой;
Запомните основное тригонометрическое тождество, а также таблицу значений тригонометрических функций для особых углов 1-й четверти. Она приведена в Тематическом Отступлении задания В8;
Для вычисления значений тригонометрических функций углов 2 – 4 четвертей используйте формулы приведения (или способ, показанный в Отступлении №2 задания В15);
Обязательно проверяйте сделанное, как бы вы ни были уверены в его правильности.
Вот и все, что же может быть еще проще?
|
|
Задание B11 |
Страница 39 |