ege-2014-sovety_repetitora-glava_2

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.3. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС УГОЛ С РАВЕН ° , = , = √ . НАЙДИТЕ .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.3).

РИСУНОК 8.3

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

Применим знакомую «Связку»:

= sinA = ВС		,	то есть = ВС	(1)
30			30
302 = (6√	21)2 + 2			(2)

После записи «Связки» начинаем думать о дальнейших действиях. Естественно, напрашивается такой вариант: из (2) найти и подставить в (1).

Итак,

2 = 302 − 36 × 21 = 900 − 756 = 144= ±√144 = ±12. Оставляем только = 12.

124

= 30 = 10 = 0,4

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

0 , 4

Задание B8	Страница 20

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора www.EGEprosto.ru

B8.4. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС УГОЛ C РАВЕН °, = , = . НАЙДИТЕ .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.4).

РИСУНОК 8.4

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

tg = =	ВС	= ВС	,	то есть = ВС	(1)
	АС	70		70
1822 = 702 + 2					(2)

Глядя на «Связку», можно предложить два варианта решения.

Вариант А: из (2) найти и подставить в (1).

Вариант В: из (1) выразить и подставить в (2).

Для показа возможных различий в решении, рассмотрим оба варианта.

Вариант А.

2 = 1822 − 702 = (182 − 70)(182 + 70) = 112 ∙ 252 = 28224.

Вот это да! – скажет читатель. И из этого числа еще нужно как-то найти корень!?

Это можно сделать несколькими способами, покажем два из них.

Способ1.

Чтобы не перебирать числа подряд, попробуем поразмышлять.

Проведем грубую прикидку: 1502 = 22500, 1602 = 25600, 1702 = 28900.

Значит, больше 160, но меньше 170.

Теперь нужно найти его третью, последнюю цифру.

Для того, чтобы получить в конце искомого числа (2822 ), эта последнюю цифра должна быть или 2 (2 × 2 = ), или 8 (8 × 8 = 6 ).

Проверяем: 16 2 = 26244 – недолет, 16 2 = 28224 – то, что надо!

Задание B8	Страница 21

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

Способ2.

Полученное произведение 2 = 112 ∙ 252 можно разложить на более мелкие числа и сгруппировать их для удобного вычисления корня:

2 = 112 ∙ 252 = 56 ∙ 2 ∙ 63 ∙ 2 ∙ 2 = 7 ∙ 8 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 9 ∙ 2 ∙ 2 = 49 ∙ 16 ∙ 9 ∙ 4

= ±√49 ∙ 16 ∙ 9 ∙ 4 = ±7 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 = ±168
= 168
Итак, найдено, теперь осталось вычислить :			= 168	= 2,4.
			70

Уффф! Не знаю как вы, а я уже устал! Но ранее обещанный второй вариант все же посмотрим.

Вариант В.

Подставим = 70 в (2), и решим полученное уравнение.

1822 = 702 + (70 )2 = 702 + 702 2

1822 = 702(1 + 2)

			2				182			∙	182							91	∙ 91			13	∙ 13			169
1 + 2 =			182		=										=						=				=
			2				70			∙	70								∙ 35			5	∙ 5			25
			70													35
2 =	169		− 1 =			169			−			25		=			144
	25					25						25				25
= ±√		144		= ±		12		= ±2						2		= ±2,4
						5								5
25

Оставляем = 2,4 как единственно пригодное число.

Вариант B оказался проще – меньше работы с цифрами, но и вариант А при желании одолеть можно!

Кстати, очень многие задания можно решить несколькими способами. Поэтому не нужно судорожно пытаться запомнить какие-то особые рецепты под каждое конкретное задание.

Рисунок, здравый смысл, проверка сделанного и отсутствие спешки всегда выводят на нужный путь!

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

2 , 4

Задание B8	Страница 22

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.5. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ УГОЛ РАВЕН °, = , = . НАЙДИТЕ .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.5).

РИСУНОК 8.5

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

cos А = = АС	,	то есть = АС	(1)
30		30
302 = 242 + 2			(2)

Этот пример напоминает предыдущий, но его мы решим только одним способом: выразим из (1) и подставим в (2). На разбор двух способов я уже не согласен !

302 = 242 + (30 )2 = 242 + 302 2

302 2 = 302 − 242 = (30 − 24)(30 + 24) = 6 ∙ 54

2 =

6 ∙ 54

=

6 ∙ 54

=

1 ∙ 54

=

1 ∙ 6 ∙ 9

=

9

2

30 ∙ 30

5 ∙ 30

5 ∙ 30

25

30

93

= ±√25 = ± 5 = ±0,6

Оставляем				= 0,6.
3	-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
4	-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
0		,	6

Задание B8	Страница 23

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.6. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ УГОЛ РАВЕН °, = . НАЙДИТЕ .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.6).

РИСУНОК 8.6

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

Из рисунка видно, что искомый sin равен cos , который уже дан в условии. Таким образом,

4 8

sin = cos = 5 = 10 = 0,8

Эта задача оказалась гораздо проще, чем можно было предположить.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

0 , 8

Задание B8	Страница 24

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.7. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ УГОЛ РАВЕН °, УГОЛ РАВЕН °. НАЙДИТЕ СИНУС УГЛА .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.7А).

РИСУНОК 8.7а

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

Из рисунка видно, что BAD = 180° − 30° = 150°.

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению значения sin 150°.

Можно предложить два относительно простых способа найти эту величину. Подробно пояснять суть этих способов сейчас нет возможности – не тот формат книжки.

Если подробно расписывать все, что можно пояснить, то получится ощутимо более тяжелое чтиво, и любой «чайник» от него отвернется со справедливым негодованием!

Итак, возможные варианты действий:

1)Применим так называемую «формулу приведения»: sin 150° = sin(180° − 30°) = sin30° = 1⁄2 = 0,5.

Или ее же, но в другом виде:

sin 150° = sin(90° + 60°) = cos60° = 1⁄2 = 0,5.

Естественно, результат получается одинаковым.

Подробнее о том, что такое формулы приведения, рассказано в задании В7.

2)Воспользуемся тем, что синус угла равен вертикальной координате вращаемой на единичной окружности точки. Тогда станет понятно следующее: sin 150° = sin30° = 0,5

(рис. 8.7б).

РИСУНОК 8.7б

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

0 , 5

Задание B8	Страница 25

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.8. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ С ОСНОВАНИЕМ БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА , А ВЫСОТА, ПРОВЕДЕННАЯ К ОСНОВАНИЮ, РАВНА √ . НАЙДИТЕ КОСИНУС УГЛА .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.8).

РИСУНОК 8.8

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

Предложенную задачу можно решить, по крайней мере, двумя способами.

Способ 1.
cos А =				=
					5
По теореме Пифагора для треугольника :
									2 = 25 − 24 = 1
2 = 2 − 2 = 52 − (2√6)
= ±√1 = ±1. Выбираем значение															= 1.
Таким образом, cos А = 1							= 0,2
					5
Способ 2.
(cos А)2 + (sinА)2 = 1;							sin А =					2√	6
							5
											2
(cos А)2 = 1 − (sinА)2 = 1 − (2√6) = 1 − 24																=	1	,	и cos А = ±√	1
							5								25	25			25

Выбираем cos А = +√251 = 15 = 0,2 (косинус острого угла положителен).

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

0 , 2

Задание B8	Страница 26

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора www.EGEprosto.ru

B8.9. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ УГОЛ РАВЕН °, = , = √ . НАЙДИТЕ .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.9).

РИСУНОК 8.9

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

tg A =		=		=	3√7		(1)
					7
82 = 2 + 2							(2)

Найдем из (1) и подставим в (2):

= 7 3√7

2			2			7			2				2		72 ∙	2		2		7 ∙ 2		2	7			2	9			7		16 2
8	=			+ (						) =				+			=		+		=		(1 +		) =		(		+		) =
						3√7									9 ∙ 7					9			9				9			9		9
82	=	16 2
			9
16 2 = 82 ∙ 9
2 =		8 ∙ 8 ∙ 9					=		8 ∙ 9			= 36
									2
			16
= ±6.								Выбираем, естественно,												= 6.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

tg A =

=

6

=

6

=

6

=

3

=

3√7

7

√82 − 62

√28

2√7

√7

Именно так и должно быть по условию задания.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

6

А теперь, завершая тему треугольников, в качестве отдыха после долгих трудов, рассмотрим что-нибудь совсем простое.

Задание B8	Страница 27

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.10. ОДИН ОСТРЫЙ УГОЛ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА ° БОЛЬШЕ

ДРУГОГО. НАЙДИТЕ БОЛЬШИЙ ОСТРЫЙ УГОЛ.

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.10).

РИСУНОК 8.10

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Применительно к нашему случаю это означает, что

+ ( + 30) + 90 = 180 2 + 120 = 180 2 = 60

= 30

Таким образом, меньший угол равен 30°. А больший угол равен 30° + 30° = 60°. 3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

6 0

А теперь рассмотрим довольно распространенную задачу, в которой участвует окружность.

Задание B8	Страница 28

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора

www.EGEprosto.ru

B8.11. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ НА ° БОЛЬШЕ ОСТРОГО ВПИСАННОГО УГЛА,

ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ТУ ЖЕ ДУГУ ОКРУЖНОСТИ. НАЙДИТЕ ВПИСАННЫЙ УГОЛ. ОТВЕТ ДАЙТЕ В ГРАДУСАХ (РИС. 8.11) .

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ.

РИСУНОК 8.11

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.

Некоторая часть заданий В8 так или иначе связана с углами внутри окружности.

Как правило, один из этих углов «центральный» (то есть его вершина находится в центре окружности), а другой угол «вписанный» (его вершина находится на самой окружности). Если оба этих угла своими сторонами опираются на одну и ту же дугу окружности

(в этой задаче – меньшую дугу между точками А и В), то величина центрального угла всегда в 2 раза больше, чем вписанного. Пожалуй, это и все, что нужно знать для решения подобных заданий.

Итак, для рассматриваемых здесь углов выполняется соотношение:

+ 36 = 2 2 − = 36

= 36

Это значение и будет величиной вписанного угла.

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.

3 6

Задание B8	Страница 29