- •Министерство образования Российской Федерации
- •Из формулы (6) при получаем
- •3. Метод Рунге-Кутта.
- •4. Общий одношаговый метод.
- •4. Методы полиномиальной аппроксимации.
- •Коэффициенты метода определяются из условия корректности (24). В этом случае (24) примет вид
- •Коэффициенты метода определяются из условия корректности (24). В этом случае (24) примет вид
Министерство образования Российской Федерации
Воронежский государственный университет
Математический факультет
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Методические указания
по курсу «Методы вычислений»
для студентов IV-V курсов
всех форм обучения
Составитель В.П.Трофимов
Воронеж
2002 г.
Настоящие методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и подготовке к экзамену.
Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний .
Литература.
1. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. / Под ред. В.А.Садовничего: Учеб. пособие.– М.: Высш. шк., 2000. – 190 с.
2. Арушанян И.О., Чижонков Е.В. Материалы семинарских занятий по курсу «Методы вычислений» / Под ред. О.Б.Арушаняна: Учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ, 1999. – 96 с.
3. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1994. – 416 с.
4. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 512 с.
5. Аброськина Г.С., Трофимов В.П. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть III: - Воронеж.: ВГУ, 1989. – 24 с.
1. Постановка задачи.
Пусть требуется найти дифференцируемую при функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению прии начальному условию при:
Будем считать, что правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решениязадачи Коши (1).
Численное решение задачи (1) состоит в построении таблицы приближенных значений точного решенияв точкахотрезка. При этом величинуназывают локальной алгоритмической ошибкой численного метода при. В реальных вычислениях всегда присутствует ошибка округления и фактически будут вычислены.
Существует множество методов решения задачи Коши (1). Мы рассмотрим два важнейших класса численных методов: методы, основанные на разложении решения в ряд Тейлора, и методы полиномиальной аппроксимации.
Выберем . Точкиназываются узлами сетки, а величина- шагом сетки.
2. Метод Тейлора.
Предполагая, что точное решение задачи (1) является аналитической функцией в некоторой окрестноститочки, разложимв ряд Тейлора в точке:
Заметим, что и, следовательно,
Производные вычисляются по правилам дифференцирования сложной функции:
Используя (3), перепишем (2) при , в виде:
где - члены высших порядков. Заменив в (4)наи отбросив, получим алгоритм метода Тейлора
Обычно алгоритм (5) записывают в виде:
где
Метод (6) называют методом Тейлора порядка .
Замечания:
1. Для метода Тейлора порядка остаточный членв формуле (4) имеет видпри. Следовательно, если в алгоритме (6), то локальная алгоритмическая ошибка метода имеет порядок.
2. Общее количество шагов численного решения задачи (1) на отрезке определяется отношением. При заданной точности приближенного решения число шаговуменьшается с увеличением порядкаметода Тейлора. Но увеличение порядка метода приводит к росту числа членов в формуле (7). Для численной реализации алгоритма (6) нужно вычислятьзначений функциии всех ее частных производныхпри. Вычисление большого числа частных производных является трудной задачей. Поэтому методы Тейлора выше четвертого порядка в вычислительной практике обычно не используются.
Метод Тейлора первого порядка.