- •Оглавление
- •Введение
- •1.1.2. Преобразование Фурье производной.
- •1.1.3. Преобразование Фурье убывающих функций.
- •1.1.4 Формула обращения преобразования Фурье
- •1.1.5. Преобразование Фурье в пространстве .
- •1.1.6. Преобразование Фурье функции нескольких переменных.
- •1.2. Мультипликаторы Фурье в пространстве
- •2.Пространство основных и обобщенных весовых функций.
- •2.1. Основные весовые функции. Весовые интегральные преобразования ,. Некоторые операции в пространстве
- •2.2 Весовое преобразование Фурье.
- •2.3. Класс весовых мультипликаторов .
- •3. Теорема существования и единственности решения дифференционального уравнения с переменными коэффициентами.
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами.
- •3.3. Теорема оценки производных решения.
- •Литература
Оглавление
Введение 2
1.Мультипликаторы Фурье 5
1.1. Преобразование Фурье 5
1.1.1. Определение преобразования Фурье 5
1.1.2. Преобразование Фурье производной. 11
1.1.3. Преобразование Фурье убывающих функций. 12
1.1.4 Формула обращения преобразования Фурье 14
1.1.5. Преобразование Фурье в пространстве . 18
1.1.6. Преобразование Фурье функции нескольких переменных. 25
1.2. Мультипликаторы Фурье в пространстве 30
2.Пространство основных и обобщенных весовых функций. 34
2.1. Основные весовые функции. Весовые интегральные преобразования , . Некоторые операции в пространстве 34
3. Теорема существования и единственности решения дифференционального уравнения с переменными коэффициентами. 48
3.1. Постановка задачи 48
3.2. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. 50
3.3. Теорема оценки производных решения. 52
Литература 55
Введение
В работе исседовано уравнение
, (1)
где ,
-постоянные комплексные коэффициенты;
- параметр;
-весовая функция , удовлетворяющая условиям:
при ;
Работа состоит из трех папаграфов.
В первом параграфе приводятся основные понятия и опрделения, исседуемые в дальнейшем.
Во втором параграфе изучены пространства основных и обобщенных функций, весовое преобразование Фурье, весовые мультипликаторы.
В третьем параграфе рассматривается уравнение (1). Наряду с пространствами Соболева используются пространства Соболева-Слободецского.
Доказаны теоремы существования единственного решения при выполнении некоторого дополнительного условия.
Теорема 1. Пусть выполнено условие 1 и Тогда при любомсуществует единственное решение, для которых справедлива оценка:
.
Теорема 2 оценки производных решения.
Пусть .
Тогда при выполняются следующие оценки:
11Equation Section (Next)
Мультипликаторы Фурье
. Преобразование Фурье
.1. Определение преобразования Фурье
Пусть на всех задана функция. принимающая комплексные значения, гдеи- функции с вещественными значениями. Для любого отрезкаинтеграл отопределяется по формуле:
212\* MERGEFORMAT (.)
Таким образом, интегрируемость функции поравносильна одновременной интегрируемости по этому отрезку функцийи. Аналогично определяются и несобственные интегралы от функций с комплексными знамениями.
Определение. Функция называется абсолютно интегрируемой, если она интегрируема на любом конечном отрезке и
, 313\* MERGEFORMAT (.)
то есть несобственный интеграл от по всей оси сходится.
Будем обозначать - несобственный интеграл по всей оси.
Определение. Преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции называется функцияпеременной, которая определяется по формуле [1]:
414\* MERGEFORMAT (.)
Пример. Вычислим преобразование Фурье функции
Если в 14 вместо подставить, то получим:
515\* MERGEFORMAT (.)
Для любого комплексного числа справедлива формула Эйлера:
. 616\* MERGEFORMAT (.)
Используя формулы Эйлера, легко убедиться, что функция при всех и стремится к нулю при .
Поскольку при любых вещественных значениях x и
, 717\* MERGEFORMAT (.)
то для любой абсолютно интегрируемой функции интеграл в 14 сходится при всех и
, где. 818\* MERGEFORMAT (.)
Таким образом, функция определена при вещественных значениях и ограничена.
1.1.2. Лемма 1. Преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой функцииявляется непрерывной ограниченной и стремится к нулю при.
Доказательство. Прежде всего заметим, что утверждение выполнено для любых ступенчатых функций. Действительно, функция называется ступенчатой, есливне некоторого отрезкаи существует такое разбиениеотрезка, что на каждом интервалефункцияпостоянна.
В таком случае , где- значение функций на интервале, а для отдельных слагаемых этой суммы утверждение леммы уже проверили выше.
Для любой абсолютно интегрируемой функции можно найти такую последовательностьступенчатых функций, что
. 919\* MERGEFORMAT (.)
Действительно, достаточно показать, что для любого можно найти такую ступенчатую функцию,
10110\* MERGEFORMAT (.)
Поскольку интеграл от по всей осисходится, то существуют такие, что
Так как предполагаем, что интегрируема по Риману на, то в силу критерияотрезка, что
Чтобы построить ступенчатую функцию , для некоторой выполняется. Теперь достаточно положитьвсе отрезкаипри, где- некоторая фиксированная точка из. При этом не имеет существенного значения как именно определяетсяв самих точках.
После того, как последовательность , ступенчатых функций, удовлетворяющих 15 для доказательства утверждения леммы остается заметить, что последовательностьравномерно сходится к, поскольку, и воспользоваться свойствами равномерно сходящихся последовательностей.