matmod
.pdfМатематическое моделирование
Флегель Александр Валерьевич
flegel@cs.vsu.ru
2014
2014 |
1 / 74 |
Литература
1 |
Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей, |
|
|
|
1994. |
2 |
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое |
|
|
|
моделирование: Идеи. Методы. Примеры., 2005 |
3 |
Тарасевич Ю.Ю. Математическое моделирование. |
|
|
|
Вводный курс., 2004 |
4 |
Введение в математическое моделирование. Под. ред. П.В. |
|
|
|
Трусова, 2005 |
2014 |
2 / 74 |
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Лекция 1. Понятие математической модели. Основные требования
2014 |
3 / 74 |
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Понятие математической модели.
Пример 1.
Груз массы m колеблется на горизонтальной плоскости под действием пружины нулевой массы с жесткостью k. Противодействующие силы пренебрежимо малы. Нас интересуют характер и частота колебаний.
x – координата груза.
−kx – действующая со стороны пружины сила. Из второго закона Ньютона:
m |
d2x |
= −kx |
m |
d2x |
+ kx = 0 |
dt2 |
dt2 |
с общим решением:
rr
|
k |
k |
||
x = C1 cos |
|
t + C2 sin |
|
t |
m |
m |
Груз совершает гармонические колебания с центром в точке x = 0 с произвольной
p
амплитудой и частотой ω0 = k/m.
2014 4 / 74
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Интересующие нас утверждения получены из решения дифференциального уравнения, а не из непосредственного рассмотрения механической системы
Это уравнение является математической записью физических законов и условий, определяющих колебания системы, и поэтому называется математической моделью рассматриваемой системы (или процесса ее колебаний).
2014 |
5 / 74 |
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Общее определение
Пусть необходимо исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта A с помощью математики.
Для этого мы строим “математический объект” A′ – систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т.д.
Исследование A′ средствами математики должно ответить на поставленные вопросы относительно S.
В этих условиях A′ называется математической моделью объекта A относительно совокупности S его свойств.
2014 |
6 / 74 |
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическое моделирование – метод познания, прогнозирования, управления.
Обычно различают следующие типы математических моделей.
1. Прямая задача, когда по заданным локальным законам (физическим, химическим,
биологическим, экономическим и т.д.), действующим внутри исследуемой системы, нужно ответить на вопрос, как будет вести себя система в целом.
В этом случае все параметры исследуемой системы известны и изучается поведение модели в различных условиях.
2014 |
7 / 74 |
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
2. Обратная задача – определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых
данных и результатов моделирования.
По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы управляют поведением объекта, и находят определяющие параметры модели.
В обратной задаче требуется определить значения параметров модели по известному поведению системы как целого.
3. Проектирование управляющих систем.
Это совершенно особая область моделирования, которая имеет дело с автоматизированными информационными системами и автоматизированными системами управления.
2014 |
8 / 74 |
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Общая схема математического моделирования
|
|
|
|
реальный объект |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
построение |
|
содержательная модель |
x |
истолкование |
|||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
модели |
|
результатов |
|||||
|
|
математическая модель |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→ |
|
решение математической задачи
Первый этап – построение математической модели:
Исходя из реального объекта, формулируются интересующие нас свойства на языке той или иной науки (механическая, физическая, биологическая и т.п. модель) содержательная модель.
Формулируются соответствующие гипотезы (постулаты модели). На основе содержательной модели выписываются
соответствующие уравнения. Перевод на формальный математический язык – переход к математической модели.
2014 9 / 74
Л.1. Понятие математической модели. Основные требования
Второй этап – изучение математической модели (решение полученной математической задачи).
Выбор метода и его реализация (включая разработку алгоритма и компьютерный эксперимент)
!Все элементы мат. модели являются метками реальных элементов. Это позволяет в процессе решения мат. задачи привлекать дополнительные сведения, позволяющие упростить процесс решения или выделить требуемое решение из нескольких возможных.
Третий этап – интерпретация результата исследования математической модели.
Проверка, удовлетворяет ли модель критерию практики.
Может включать контроль правильности (верификацию) модели на основе сравнения результата с другими известными фактами.
Анализ модели и ее модификация.
2014 |
10 / 74 |