Kursovaya_rabota_po_matematicheskomu_analizu
.pdf1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для студентов 1 курса ПММ
учебно-методическое пособие
Составители: Половинкин И.П. Попков А.В. Рогова Н.В.
и др.
ВОРОНЕЖ
2006
2
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 28.03.2006, протокол №7.
Составители: Половинкин И.П., Попков А.В., Рогова Н.В., Рыжков А.В., Шашкин А.И.
Рецензент: Прядиев В.Л.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения факультета ПММ.
Для специальностей:
010501(010200) - прикладная математика и информатика, 010901(010500) - механика, 010503(351500) - математическое обеспечение и администрирование информационных систем.
3
Данная методическая разработка преследует несколько целей. Во-первых, углубление знаний студентов по такой важной теме математического анализа, как интегральное исчисление. Во-вторых, совершенствование технических
приемов студентами при вычислении интегралов и использовании их в приложениях. В-третьих, развитие навыков самостоятельной работы в изучении математических дисциплин. Каждый вариант содержит задания по неопределенным интегралам (номера с 1-го по 20-й), по вычислению определенного интеграла (номера с 21го по 24-й), задания теоретического характера (номера 25-й и 26-й), а также задания, связанные с приложениями определенного интеграла (номера с 27го по 30-й).
Отчет по курсовой работе должен содержать ясное и достаточно подробное решение всех заданий варианта. Последние четыре задания варианта обязательно должны сопровождаться необходимыми геометрическими построениями кривых.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
5 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
R |
|
cos 3x3 + 2x2 + 1 |
|
|
|
R cos x |
|
|
|
|
cos 2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
(x + 2)(x |
|
|
|
|
2)(x |
|
1) |
dx. |
4. |
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
3 cos 2x + sin 2x + 1 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
√5 |
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 + |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
x2√5 |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
2√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. R xe√xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. R arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
|
(x25− 3x + 2)√ |
|
|
|
. 10. |
|
|
q |
|
|
+ 1 q |
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + 1 |
x + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 − 4x + 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
. |
tg xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x4 − 1)√1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
arctg x + x |
dx. |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
(x x − 1| + x|x + 1|)dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. R |
x4√ |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
16. R |
|
|
| |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. R arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. R |
|
|
sin |
|
x cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
dx. |
|
|
|
|
|
x + a |
n dx, n |
|
|
|
N. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ex + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
cos x q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
19. R |
|
e2x |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. R |
√ |
|
|
+ √x3 + √ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arctg 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 − x − |
3x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||
π/4 (3 tg x + 5) sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
(√3x + 1 + 4√1 − x)(3x + 1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnR3√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
23. R0 |
|
|
e |
|
|
+ 1dx. |
|
|
|
|
|
24.√R2 |
|
|
|
√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 − x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. Пусть f интегрируема на [a, b] и имеет в точке x |
0 |
|
|
(a, b) неустранимый |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в точке x0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ra |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрыв 1-го рода и F (x) = f(t)dt. Доказать, что F не является дифференцтруемой
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
3
Z
[x]sin[x]dx.
−1
27.Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = t ln t, y(t) = t + 1, x = 0, x = 1.
28.Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривыми
(x6 + y6) = 3x4. |
√1 − x2 + arcsin x, 0 ≤ x ≤ 169 . |
29. Найти длину дуги кривой y = |
30.Найти объем тела, образованного вращением фигуры x = t22+1t2 , y = t22+1t3 , x = 1 вокруг оси ОХ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
sin4 x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
2. |
|
cos 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. R |
|
cos x3 − 3x2 − 12 |
|
|
|
|
4. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 sin x + 5 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x 4)(x − 3)(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
q x2 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
√x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
(1 + |
|
|
|
|
x ) |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
x4dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x ln xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. R |
|
|
|
|
|
|
x− dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p |
( x +− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
10. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
x |
ln x +dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
(arcsin x)2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
x |
|
(√x + √x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
2 sin x + 3 cos2 x + 5 |
. |
|
12. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
x2 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
13. |
R |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
dx. |
|
|
14. |
R |
min( x, 2)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
arctgp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
arctg |
|
|
|
x+1 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x√x4 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
R sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
(1 + x)√ |
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ (a + b)x + abdx, a < b < x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
e2x |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
|
x + √3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arctg 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2πR |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 + tg x |
|
|
|
|
|
dx. |
22. |
|
|
|
x + 2 |
x |
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 x3 + x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
√ |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
18 sin2 x + 2 cos2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
23. R0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
24. R0 |
|
x4 + 1 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 + 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25. Найти предел n→∞ |
√ |
|
|
ln(1 + |
√ |
|
) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1] и
1
f(1) − f(0) = 1. Доказать, что R [f0(x)]2dx ≥ 1.
0
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = t2 + t + 1, y(t) = t3 − 1, x = 1, x = 3.
28. Найти площадь общей части областей (x2 + y2)2 = (x2 − y2) и (x2 + y2)2 = 2xy.
29.Найти длину дуги кривой x = ln(cos y), 0 ≤ y ≤ π3 .
30.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ петли кривой y2(1 − 3x) = x2(1 + x).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x3 |
|
+ x2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. |
|
cos5 x. |
|
|
|
|
|
|
|
2−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
3x + x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
5( |
|
|
|
− |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 sin |
|
x + 3 sin 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
2)(x |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
5. |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dx√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(1x2√5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
√x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
ln√x 3√3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(1 + x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
2−x |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
x |
|
arctg |
|
xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
R |
|
√x |
|
√ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
(x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
x |
|
|
+ 4√x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
11. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
12. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
arctg4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
+ 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
sin x(cos5 x + sin5 x) |
|
|
|
|
R |
|
cos4 x |
|
|
√ x2 |
|
|
|
|
|
x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
13. |
|
|
|
√3 |
x + 1 + |
√x + 1 |
|
|
|
|
|
14. |
|
|
− |
x , 2)dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max(4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
15. |
|
|
x + 1)(4 |
− |
√3 |
|
|
dx. |
|
|
16. |
|
|
sin x |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√(5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
17. |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
√ |
|
2 + |
|
√x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ b |
dx, |
a = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
19. |
|
|
|
|
|
|
√ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7(x + 1) |
|
|
|
− |
x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x + 2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x + 2 cos2 x |
3 dx. |
|
|
|
(x + 2)2√x + 1 dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
14 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
os3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
23. R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcc√1 − x−2 |
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + a2 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке [a, b] |
и для всех |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
t [0,bb − a] выполняется равенство f(a + t) = f(b − t), то Ra |
xf(x)dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
a+b |
f(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. Проверить равенство |
|
lim |
R |
cosn xdx = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически |
|||||
x(t) = t2 + t, y(t) = t3 + 1, x = 0, x = 1. |
||||||
28. |
Найти площадь, ограниченную кривой (x2 + y2)3 = x2y2. |
|||||
29. |
Найти длину дуги кривой y = √ |
|
− arccos √ |
|
, 3611 ≤ x ≤ 1615 . |
|
x − x2 |
||||||
1 − x |
||||||
30. |
Найти объем тела, образованного вращением петли кривой |
y2(x − a) + x2(x + a) = 0 вокруг оси ОХ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
ctg |
4 |
xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
− |
x2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. R |
x5 + 2x4 − 2x3 + 5x2 − 7x + 9 dx. 4. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 sin x + 3 cos x + 1) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x + 3)(x |
− |
1) |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
(1 + √3 |
|
|
)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p x√x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. R |
|
|
x |
|
|
2 |
x |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7. R x2 ln 1 + xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10R. |
cos4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin−2x |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 arcsin x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
cos |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11R. sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
+ 3 sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
(x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) √x |
|
|
|
|
+ x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
√ |
|
|
− x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
( |
|
1 |
|
− |
4x2 |
| |
+ x |
)dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. R |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 +dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(√3 |
|
−3 |
2√6 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x + ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 4 |
|
dx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
R |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, a = b. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x2 |
+ (a + b)x + ab)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x+ex+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
R |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
R9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x + |
|
|
|
|
|
|
(1 + x)4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 tg xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 − 2p |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
arcsin √137 |
|
|
3 sin 2x + 5 cos |
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
q2x − 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ln 5 |
|
|
|
|
x√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
23. |
R0 |
|
|
|
|
|
e |
xe − 1 |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
1 − cos x |
2 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
(x |
− |
sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
25. Для непрерывной при x ≥ 0 функции f, доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
xr+1f(xr)dx = |
1 |
Z0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xr f(x)dx, a > 0, r ≥ 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2π
26. Показать, что R sinx x dx > 0.
0
27.Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = t2t−2 1 , y(t) = t−t21 , x = −1, x = 1.
28.Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривой
(x6 + y6) = 2(x4 + y4). |
√ |
|
√ |
|
− 4√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
29. Найти длину дуги кривой y = 6 ln |
√ |
33+−√ |
x |
3x |
, 0 ≤ x ≤ 1. |
||
x |
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ петли кривой (x − 4)y2 = x(x − 3).
8
Вариант 5
Найти интегралы.
3. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x3 |
|
− x2 − 12x − 2 dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos |
|
|
|
x sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. R |
(1 + |
|
√x)4 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x(x − 2)( |
x |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p x √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x9 |
3) sh 2x dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7. R (x2 + x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin |
|
|
|
|
4√3−x5+ √5 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. R |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
sin x + 6 |
|
|
||||||||||||||||||
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x (2dx. + |
√x |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
√x |
|
|
3 |
dx. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17. R |
|
x4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. R |
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
x + 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19. R |
|
x arctgq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e2x√ex |
+ e2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
R4 |
|
(1 + x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
11 tg x |
|
|
|
|
|
22 |
|
||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. R05 |
|
2 tg |
|
|
|
|
4−− tg x |
|
|
− |
|
dx. |
||||||||||||||||||||
23. R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x + √ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. R |
|
|
|
|
|
x3 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
−cos−2 x sin x |
4 |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
+ x |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 sindx+ cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x ln |
|
|
|
x |
|
|
2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
|
(x |
2 |
|
+ x) |
3/2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 exdx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
√e2x |
+ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
+ 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16. R |
|
− 1) 4x |
|
|
|
− 10x + 7 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x5|dx− |. |
| | |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
14. R max( x |
|
|
|
|
|
|
|
4 + x , 6)dx. |
||||||||||||||||||||||||||
18. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 −dx |
− . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
+ dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20. R5 |
|
x√ |
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
− √4 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
x − 1 |
2x − 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
R2 |
|
√ |
5+−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
(5 + x)√25 |
− |
x2 . |
|||||||||||||||||||||||
22. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
R4 |
|
x cos x + sin x dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x sin x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
25. Для непрерывной при x ≥ 0 функции f доказать равенство
|
|
|
|
a |
x3f(x2)dx = 2 |
a2 |
xf(x)dx, a > 0. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Z0 |
Z0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln[x]([x]([x] + 1) + 1)dx. |
|
|
|
||||||||
27. |
Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически |
||||||||||||||||
x(t) = |
t3 |
, y(t) = |
t3 |
, x = −1, x = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t3+1 |
t+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28. |
Найти площадь, ограниченную кривой (x2 + y2)3 = x4y. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||
29. |
Найти длину дуги кривой y = 2 ln |
2+ 4 |
− |
|
, 1 |
≤ x ≤ 2. |
|||||||||||
x |
|
|
− |
4 − x |
|||||||||||||
30. |
|
Найти объем |
тела, образованного |
|
|
вращением |
петли кривой |
x = t sin t + cos t, y = sin t − t cos t, 0 ≤ t ≤ π вокруг оси y = 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (x + 2)√ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
x2 + x + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. R x3 |
+ 6x2 |
|
+ 13x + 8 dx. |
4. R |
|
|
cos x + sin x + 1 |
dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
cos |
|
x sin |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
4 |
+3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2)3 |
|
|
|
|
2 sin x + cos x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
6. |
|
|
|
|
√− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||||
q x2√4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. R |
|
|
|
|
(1 + x ) |
|
|
|
|
|
8. R |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
5x3 + 6x |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
earcsin xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + 2. |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x−dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. R |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
e |
|
|
|
+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x2 cos xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. R |
|
8x |
|
|
|
|
arctg 2x dx. |
14. R |
min(5 x2, 1, x2)dx. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. R |
|
|
|
|
|
1 +dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. R |
|
sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx− . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
− |
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x(3 + √x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 3) |
|
|
|
cos |
|
|
|
+ dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
|
√x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
R (x − a ) |
dx |
x |
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
R |
x arcsin(x |
|
|
|
|
1)dx. |
18. |
R |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
√ |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
, |
ab = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 tg x + 1 |
|
|
|
6 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||
19. |
|
|
xe |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
+ √ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
1 + x |
1 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
qx−−14 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
21.− arctg √132 sin 2x − 5 cos 2x + 1 dx. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23.−R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
24. R0 |
|
tg x ln cos xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
f(x)dx = (b − a) Z0 |
f(a + (b − a)x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
26. Сравнить R esin2 xdx и 32π .
0
27.Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = t−t21 , y(t) = t2−t 1 , x = −1, x = 1.
28.Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривой
x4 + y4 = 6x2. |
|
|
|
|
||||||
29. Найти длину дуги кривой y = √ |
|
+8 ln(x+ |
√ |
|
|
≤ x ≤ 9. |
||||
x2 − 32 |
x2 − 32), 6 |
|||||||||
30. Найти площадь поверхности, образованной |
вращением |
кривой |
||||||||
x = t2 + 1, y = |
t |
(3 − t2), |t| ≤ √ |
|
вокруг оси y = 0. |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найти интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)√ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
cos4 x sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
x3 + 6x2 + 14x + 10 |
|
R ( |
|
|
|
|
+ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 1)(x + 2) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R sin |
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
√4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
p |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
6. |
|
(x2 |
|
|
|
1)√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
2x |
− |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
x arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
sin3−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
+ x2)2 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
√5 cos x |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
R |
|
(1x3 |
− |
x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x2 |
|
|
|
|
|
1)(x2 + 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
x |
|
|
+ 2x + 2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
√+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
. |
R |
√x ln xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√3 x2 − √3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
x + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
14. |
|
|
min(sin x, cos x)dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
+ 2 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
16. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
1 |
− |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
cos3 x + sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 −3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
. |
|
|
arcsin |
( |
|
|
|
)dx. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
ab |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
17 |
R |
|
p |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
R |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
a2 |
|
√b2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
6= 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
+ |
|
|
|
|
) |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
20. |
R1 |
e ln(1 + e− )dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
arctg 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ctg x |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R00 |
|
|
|
1+−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
21. |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx. |
22. |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)√1 − x |
2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
aR4 |
|
|
|
|
|
(sin x + 2 cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. R0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.−R1 |
|
|
tg(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ax − x |
dx. |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
25. Доказать, что если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и в точках, симметричных относительно точки x = a+2 b , принимает равные значения, то
b |
a+b |
2 |
ZZ
|
|
|
f(x)dx = 2 |
f(x)dx. |
|
|
|
a |
a |
|
|
cos a |
|
|
26. Найти |
d |
R |
ln(1 + x2)dx. |
|
da |
|
|||
|
|
sin a |
|
|
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = lnt2t , y(t) = t2 ln t, x = 12 , x = 1.
28.Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривой x4 + y4 = 4xy.
29.Найти длину дуги кривой x = cos3 t, y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π.
30. Найти площадь поверхности, образованной вращением фигуры
2px = y2, 2q(a − x) = y2, p > 0, q > 0 вокруг оси ОХ.