Metodichka_-_Terver

ФЕДЕ АЛЬНОЕ А ЕНТСТВО ПО ОБ АЗОВАНИЮ

А. Ф. Клинских, Е. А. Сирота, А. В. Флегель

Пр ктикумм т м потичт скойориист роятисòíîñò é èê

Ч сть 1. Т ория роятност й

ÂÎ ÎÍÅÆ 2011

Утверждено Научно-методичесêим советом

акультета компьютерных нау 15 декабря 2010 г., протокол •3

ецензент кандидат из.-мат. наук, доцент Л.А. Минин Учебное пособие подготовлено на ка едре ци ровых технологийакультета компьютерных наук Воронежского государственного университета

екоменäóåтся для студентов акультета компьютерных наук 2 курса н вного отделения

Для специальностей 230201 Ин ормационные системы и технологии; 230200 Ин ормационные системы; 010300 Математика. Компьютерные науки

2

 íè

содержит базовые теор тические пред

Да ное методическое пособ

методы решения

типовых задач по курсу ¾Т ория вероятно

ñòавленияей математическая стати

èêà¿ äëÿ

òîâ

акультета компью

является ормирование представленийгосударственноговероятностных

моделях

åàëü

терных

наук Воронежского

студе иверситета. Целью курса

процессов, математическом аппарат , принципах ðàçðà

ä ëåé.

Основными

задачами курса являются

овладение

ундамент ль

боткиявлений

реализации вероятностных математических мо

íûìè

компьютернойи делями

вероятностей, получение представ

л ний понятиямиподходах

постановке

решению конкретных задач математи

÷åской статист

êè.

Öåëü

пособия, как, впроч¼м,теориилюбого методического издания, состо-

èò

том, чтобы помочь студентам,

данный курс, приобр сти

умения в применении методовизучающимподходов теории вероят

держание. В результате

курса студент должен знать основные

навыкирешен ю различных задач, имеющих преимущественно п

êëàä

стейсо

базовые моделиизученияматематиче к й ормал зм теории вероя но

понятия,стей, и¼мы и методы

решения

повых задач, а òàê

же указывать

границы их применимости. Особое внимание

ïðè

íèè

курса должно бытьаналитическогообращено умение

конкретныеизучев

роятностные схемы (модели)

прикладных задачах, проводить компью

анализ

моделирован

ÿ,

также

ìеть представление

ïåð-

терную реализацию основных вероятностных

выделитьоделей

статистическ й

спективныхрезультатовнапра лениях практического использования

методов теории

вероятностей

математической

.

ния, даны ешения

типовых задачстатистикипримеров,краткиетакже предложен набор

В каждом разделе пособия приведены

теоретические сведе-

задач и упðажнений для самостоятельного решения.

3

1.	Осно ны понятия
Пр м т и чи т ории роятност й. Осно ны по-
нятия		математическая наука ст вит своей задачей
	Т ория вероятностей
изучение стат стических з кономерностей, которые наблюдаются				ñëó-
чайных явленèях (п оцесскакх). Случайным явлением называют явление,
оторое при мног кратном повторении пыта			приводит
	Задачи теории вероятностей построение, анализ(эксперимента)приме ение ма
ê отличным друг от друга результатам (исходам).
тематической модели (в роятностн й схемы), отвечающей данíîìó ñëó-
чайному явлению (проц ссу).
	событиетво элемэто одиннтарныхиз возможныхсобытий исходтветствуопыта
(эксперимента)Элементарное. Простран		ω
	взаимоисключающиеестьэле ентарныхлюбоеподмножествособытий,ходыеслимножества. Случайноементарнымсобытие (илиям прсоэтîñòîî мнсобыже-
тие)ютство			Ω
ОпСуммаОперациир циисобытийнадн событиямисо ытиямисовпадают с операциямиΩ.			над множествами.

AB есть событие

ñстоящее из эл ментарных событийC = A,+принадлежащихB, èëè

по крайней мере одному из	. Отметим следующие Aравенства:,илиB, ò.å.
	A + A = A,
азность событий	A + Ω = Ω.

				A è B есть событие
состоящее из элементарных событий,C = A \принадлежащихB,
жащих						A и не принадле-
	B. азность
естьСобытиепустоемножество,противоположное. . невозможноеΩ \ Ω = событие.
ность:		A				событию A, определяется как раз-
					A = Ω4 \ A.

Произведение событий Aсобытий,B есть событие
с стоящеепроизведениеэлементарных		C = Aпринадлежащих· B, несовместными
äîìó	этих событий. События		A, è B, ò.å. êàæ-
èõ	есть невозможноеA событие:B называются		, åñëè
Под алгеброй соб т й		A · B = .
èç	U понимают такой набор (класс) подмножеств

Ω U , для которûõ èз условий A U и B U следует, что A ·B U , ВстиA +ВероятностьроятностьэтогоB UсобытияиA \ Bсобытия. ЧисловаяU . характеризуетункция меру объективной возможно

é	P , о редел¼нная на классе собы

âя(аксиом1U , наз вается). вероятностью, если выïолняются следующи усло-

2. UУсловиеесть алгебранеотрицательностисобытий. вероятности:

3.	Условие нормировки: P (A) ≥ 0 A U.
4.	Условие аддитивности. ЕслиP (Ω) = 1.
	местны, то		A · B = , т.е. события A и B несов-
5.	УсловиесобытийнепрерывностиP (A. +ÄëÿB) любой= P (Aубывающей) + P (B). последовательно-
	÷òî	A1 A2 ... An ... из алгебры событий U такой,
			∞
			\
	справедливо равенство		An = ,

n=1

lim 5P (An) = 0.

n→∞

Èí èê òîð ñî ûòèÿ

даннуюИндикаторомна пространствесобытияэлементарныхA называютсобытийчисловую ункцию IA(ω), çà

мулой				Ω и определяемую ор-
Индикаторы			0, ω 6 A èëè ω A.
	IA(ω) =		1, ω A
что события IA(ω) è IB (ω) событий A è B совпадают только при условии,
Выполняютсяже элемен арныхиследующиеидентичны,событийсоотношения:. . . множества				A	è		B		состоят из одних
òåõ1)	A B

2 IA = 1 − IA;

3 IAB = IAIB ;

4 IA+B = IA(ω) + IB (ω) − IA(ω)IB (ω);

5 IA\B = IAB = IA(1 − IB );

6 IA − IA = I = 0;

7) IΩ = 1;

венствоПримПримерI Iðû= 1Iñ. Ñð=использованиемшI . ниями индикаторного метода проверить ра-

A A AA A

ешениеA + B. = A · B.

I

= 1 − IA+B = 1 − IA − IB + IAIB =

= 1 − IA

A+B

− IB (1 − IA) = (1 − IA)(1 − IB ) = IAIB = IA·B .

Пример 2. Представить сумму двух событий

местныхешениесобытий. .

A+B как сумму несов-

IA + IB I

,

A

События

IA+B = IA + IB − IAIB = IAI

+ IB .

B

BA è A несовместны, т. к.6A · (BA) = .

Таким образом,
Пример 3. Найти событие			AB +				B	.
	A + B =				A + BA ,
ешение.		X такое, что A · X = A · A · B.
	IA·X = IA·A·B ,
	IAIX = IAIAIB ,
	IA(IX − IAIB ) = 0,
ãäå	IX − IAIB = I					AC ,
C любое. Отсюда
События	IX = IA·B + I			AC = IA B+					AC .
			·

ТакимAобразом,· B è AC несовместны.

З чисобытий. 12 ПредставитьНайXсобытсостоящего= A сумму· B + ACтрех,гдесобытийC любоекак. сумму несовместных

Задача 3. Ïóñ	X òàê å, ÷òî X + A + X + A = B .
жение для события,A, B è C âïðòîизвольныем,чтособытийсобытия. Найдите выра-
1)	только событие		A, B, C
2. 5432) произошловсеКлтриссичнетолькопоболеекрайнейскопроизошли;однодвухопрмере,событий;A;однол. изнисобытий; роятности

Пусть р зультаты опыта обл дают симметрией возможных исх дов,
тогда множество	случаев предст вляет собой исчерпывающий набор его
говорят, что он сводитсясключающихсхеме случаев. Случай называется благопри
ра новозможных	друг друга исходов. Про такой опыт

ниеятнымэтогсîбытиюсобытияA., если появление этого7 случая влечет за собой появле-

Классическое определение					. Если опыт сводится к хеме
какслучаев,долютоблагоприятныхвероятность событияслучаеввероятностиAобщемданномих числе:опыте можно вычислить
ãäå		P (A) =	mA	,	(1)
			n
		вынимаетсяаходитсясобытиюодин5шаров,; .изобщееНайтикоторыхчисловеро2-
белыхПримслучаевm .мер3рычислочерных1с. (рУрнаслучаев,.шИз ниямиурнышарыблагоприятныхнаугад.) В урне					A n
A
ятность того, что этот шар будет белым.
		(одновременно
белогоешениешара	Обозначим A интересующее нас событие: A = { появление
.		случаев
Общее число}		n = 5; из них два благоприятны событию A:

åроятностьз Примервозвращешение. По того,ния2.орм.ОбВурчтозначимле(1)они7шаров:будут4илибелымибелых.последовательно).и 3 черных. Издванеешаравынимаются. Найти
mâá A = 2	P A) = 2/5	вычисляется по ормуле:
	k; обозначается оно Cl
ïормулойльз ватьсядлячислаэлементарнымисочетанийобашара.белыеЧислоормулами.сочетанийПрикомбинаторики,решениииз этой зав
÷äàчистнбудемсти	B = {	}
элементовп				k элемен-
это число способов, которыми можно выбрать			l	различных
l èç

k

l	k		k!
ноТакимвыбратьобразом,2шараобщееиз число7: случаев равно числу способов, какими мож-
Ck ≡	l	=	l!(k − l)!.

	какимичсло случае , л	n = C7 =	1 ··			2	= 21
		2	7			6
		гоприятных соáûòèþ
	можно âûáðàть 2 белых шара из 4: B, есть это число способов,
	Отсюда	mB = C42 =			4	·	3	= 6.
					1	·	2
		P (B) =8			6	=			2	.
								7
			21

3. (Урна шары. Задача

выборке без возвращения.) В

партииПримерз K изделийНайтиM де ектных. Из партиитого, выбирается для контроля

k издел

é (k < K).

вероятность

k

что среди них будет ровно

m äå

m ≤ k

случаев

ешениеект ых. (Общее)число.

чаев, благ прият ых событию

n = CK . Найдем mD число слу

контрольной партии

D =контрольной{ âíî m де ектных из

ëèé â

ых издели

}

M

m

можно выбрать. Н йдем число сп собов, какими из

äå åêò

D случаев

m

= Cm

Ck−m

è

m äëÿ

недепартиектных;нужно равно C .

нитьПри этомкомбинациюкаждойизкомбинации де ектных изделий

присоедиM-

C

k

−

m

k − m изделий без де кта. Э можно сделать

каждой.Кажкомбинациейаякомбинацияиз

èç

m

изделий может

четатьсясп

K−M

собами

k − m

событиюдругих

комбинаций равнодоперемножить. Поэтому число благоприятныхчислотех

D

M ×

K−M

Cm

×

Ck−m

(

P (D) =

M

K

−

M

.

ри лунки

Пример 4. (Шары и лунки. Задача поразмещениях). В

Ck

K

÷тоайным. Обозначимвдвухобразомлункахсобытиепомещаютсянаходится 2

шару)..Найти вероят-

ностьN =ешение3òîãî,)ñëó

шараоному(n = 2

одному шару

A = {ânäâóõ2

лунках нах дится по

этомслучая1.слН.óчаемерованныйчисло.Общееблагоприятныхвариантчислослуча}

n = N

= 3 = 9

размещения,случаевв равнот.е. шары6. Тогдапронумерованы.ассмотрим два.В

6 2

гоприятных2.Шары исходовнеявляютсяравнопронумерованн3.PТогда(A) = = ûìè. . В этом случае число бла-

9 3

3 1

ставленияПримерешениенополучилосьвьсл вобразуется.5.Обозначимкнига(Зад ча.словоНайтиперемешиванисобытиеPкнига(вероятA) =. íîñòü= è .буквтого, вчтословепосле.). Изперемешива5буквсо-

9 3

вновь	слово к ига	A = {п сле перемешивания б кв
		бл гновокбезприятныхповторенийиз5буквисходов(используемравно 1.
Общееормулучислокомбинаторикислучаевравíдлячислу}перестановок.Число
		9	Pn = n!), à

именно 5!. Таким образом

1 1

этажевыходятмомПримерэтажеешениезаходят.Найти. 6. .Обозначим3(вероятностьЗадачачеловека.лиНачинаяP (òîãî,Aòå) .=) чВслиòî=чевсеòâåò 12ð.тогои-этажногочелопоекадевятыйдомавышлинаэтаж,напервомседьони-

5! 120

Общ число исходов равноA =				{	все три человека вышли на 7 этаже				}	.
	ниями	63
âòîð				(используем ормулу размещений с по-
	Anm = nm). Тогда
						1	1
обрковаЗ чиЗадачазуютвероятностьслово1. Из четырехбайттого,. чтокарточекPвыбранн(A) =с букваûå=последовательноìè .составлено словокарточкибайтвновь. Ка-
						63	216
	2.	Бросаются пять		правильныхвыпадет ровно				остей. Найти
вероятность события, что на н								две двойки.
	3. В одном ящике имеется						5 белыхигральных10 красных шаров, в
	5 красных и 10 бел		х. Из каждого ящика вынуто по одному
øàðдругом.Найти вероятность события A = {âûí								хотя бы один красный
									-
ЗадачаНайти.от друга,веро546... 8Найтирядом20различныхцичеловекры. ктого,ятностьдарассаживаютсякнигбанковскойчторасставляютого,двеопределенныечтокарнабудутслучайнымпя.òиугаданысккнигиàмейкахобразомдве,окажутсяпоотличныеначетырепол
ставленнымикедруг.Задача}
человека на каждой. Найти вероятность того, ч о дв данных лица ока-
жутся сидящими ядом.						7 стандартных. Найти вероятность
	7	ïàðòèè èç 10
Задача 8. В ли т 12-этажного дома на первом этаже заходят 3 ч									.
того, что из взятых наугад шестидеталå							окажется четыре
века. Начиная с четвертого					талейэтаж, они выходят.стандартныхНайти вåëî-
ятность того, что все три челповекадевятûшли на одном этаже.
					10