Funkts_ryady
.pdfУчебно-методическое пособие
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ.
Мешков В.З. Половинкин И.П. Половинкина М.В. Попков А.В. Ляхов Л. Н. Шишкина Э.Л.
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ
__.__.201__, протокол №__.
Рецензент: _________________.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения факультета ПММ.
Для специальностей: 010200 – |
Прикладная математика и информатика, |
010500 – |
Механика, |
010503 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем
2
Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши о равномерной сходимости. Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.
Объектами |
наших |
исследований |
будут |
функциональные |
|||||
последовательности, |
то |
есть |
последовательности |
функций |
{ fn (x)}, |
||||
определенных на одном и том же |
множестве D, и функциональные ряды, |
||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
то есть ряды вида |
∑un (x) , члены которых – функции un (x), определенные |
||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
на одном и том же множестве D. |
|
|
|
|
|
||||
Определение. Пусть функции fn (x) |
(члены функционального ряда – |
||||||||
функции un (x)), |
n=1,2,…, определены на множестве D |
и пусть x0 D . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
Если числовая |
последовательность { fn (x0)} |
(числовой ряд |
∑un (x0 ) ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
сходится, то |
говорят, |
функциональная |
последовательность { fn (x)} |
||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
(функциональный ряд |
∑un |
(x) ) сходится в точке x0 . Если функциональная |
n=1
∞
последовательность { fn (x) } (функциональный ряд ∑ un (x)) сходится в
n=1
каждой точке x D к некоторому значению f(x), то говорят, что она (он) сходится к функции f(x) поточечно на множестве D. Функцию f(x) называют предельной функцией последовательности { fn (x)} (суммой
∞
функционального ряда ∑un (x) ).
n=1
При этом используются следующие записи:
lim fn (x) = f (x), x D; |
f n (x) → f (x), x D; fn (x)→ f (x). |
n→∞ |
D |
3
∞ |
|
|
|
∑un (x) = f (x), x D . |
|
n=1 |
|
Согласно определениям предела числовой последовательности и суммы числового ряда эти записи соответственно означают, что
x D ε > 0 N0 : n > N0 |
|
|
fn (x) − f (x) |
|
<ε - |
для |
функциональной |
||||
|
|
||||||||||
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
( x D ε > 0 N0 : n > N0 |
|
Sn (x) − f (x) |
|
< ε, |
Sn (x) |
= ∑uk (x) |
- для |
||||
|
|
||||||||||
функционального ряда). |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что номер N0 = N0 (x,ε) в этих определениях подбирается после произвольного задания точки x D и сколь угодно малого числа ε > 0 , а поэтому зависит от х и ε.
Пример 1. Найти предельную функцию f(x) функциональной
последовательности |
fn (x) = xn на множестве [0,1]. |
|
|
||||||||||||||
Решение. Если x [0,1) , |
то |
lim xn = 0 а |
если |
x =1, то |
lim xn =1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
Следовательно, предельная функция имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f (x) = |
0,если 0 |
≤ x <1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x =1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1,если |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2. Найти предельную функцию f(x) функциональной |
|||||||||||||||||
последовательности |
fn (x) = nsin |
1 |
|
|
на множестве |
(0,+∞) . |
|
|
|||||||||
nx |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Используя первый замечательный предел, который имеет |
|||||||||||||||||
вид lim sin y =1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y→0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= lim nx sin |
1 |
= 1 lim |
sin |
|
|
= |
1 . |
|
||||||
|
lim nsin |
nx |
|
||||||||||||||
|
nx |
nx |
1 |
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
x |
|
x n→∞ |
|
|
x |
|
nx
4
Таким образом, предельная функция имеет вид f (x) = 1x .
Для нахождения области сходимости функционального ряда при фиксированном значении х можно использовать необходимый признак сходимости числового ряда, признаки сходимости знакоположительных числовых рядов (признаки Даламбера, Коши, интегральный и др.) и признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Пример 3. Определить область сходимости (абсолютной и условной)
функционального ряда ∑∞ (−1)n 1− x n .
n=1 2n −1 1+ x
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
Исследуем |
|
ряд |
на |
абсолютную |
сходимость. |
Для |
этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
+− xx |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
рассмотрим |
ряд |
∑n=1 |
1 |
|
11 |
|
|
, |
|
|
общий |
|
|
|
член |
которого |
имеет |
вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
un (x) = |
|
|
1 |
|
|
1− x |
|
n |
≥ 0. |
При фиксированном значении х |
|
|
применим признак |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n −1 |
1+ x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim un+1(x) |
= lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1− x |
|
n+1 : |
1 |
|
|
1− x |
|
n = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
un (x) |
|
|
|
n→∞ 2(n +1) −1 |
|
1+ x |
|
|
|
|
2n −1 |
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
2n −1 |
|
1− x |
|
= |
|
1− x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
2n +1 |
|
1+ x |
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1− x |
|
Таким |
образом, |
для сходимости этого ряда необходимо, чтобы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
< 1. |
|
Решая |
это неравенство, |
получаем |
|
|
x > 0 . |
Следовательно, ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится абсолютно при x > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Если |
|
1− x |
|
|
= 1, |
то |
x = 0 |
|
и un (0) = |
(−1)n |
|
. Получаем знакочередующийся |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
2n −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ряд ∑n=1 |
(−1) |
|
. Исследуем его на сходимоть, применяя признак Лейбница: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
1 |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
для всех натуральных n, т.е. модули членов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n −1 |
|
2(n +1) −1 |
2n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
исследуемого ряда образуют убывающую последовательность; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Все условия признака Лейбница выполнены, следовательно ряд |
∞ |
(−1)n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑n=1 2n −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится (сходится неабсолютно).
5
|
|
|
|
∞ |
(−1)n 1 |
− x n |
||||
Поэтому исходный ряд |
∑n=1 |
|
|
|
сходится абсолютно при x > 0 и |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2n −1 1 |
+ x |
|||||
условно при x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Определить область сходимости (абсолютной и условной) |
||||||||||
функционального ряда |
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
||
∑n=1 (x +n)p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Функции u |
(x) = |
|
(−1)n |
|
определены при x ≠ −1, −2, −3,... Для |
|||||
|
(x +n)p |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
исследования ряда на абсолютную сходимость используем интегральный признак. При фиксированном х имеем
1. Функция |
f (y) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
неотрицательна. Неравенство |
|
|||||||||||||||||||||||
| x + y |p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
≥ |
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
y |
< y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x + y |p |
| x + y |
|
|p |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
справедливо только когда p>0, поэтому функция |
f (y) = |
1 |
убывает (по |
||||||||||||||||||||||||||||||
| x + y |p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
переменной у) на промежутке [1, +∞) при p>0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2. Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dy |
|
|
|
|
(x + y)1−p |
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y)p |
|
|
1− p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сходится абсолютно, если p > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, ряд |
∞ |
|
|
(−1)n |
|
сходится абсолютно при |
p > 1 и x ≠ k , |
||||||||||||||||||||||||||
∑n=1 (x +n)p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
k = −1,−2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исследуем ряд |
∞ |
|
(−1)n |
|
на условную сходимость, применяя признак |
||||||||||||||||||||||||||||
∑n=1 (x +n)p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Лейбница. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
|
|
|
|
< |
|
|
|
при |
p > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x +n +1)p |
(x +n)p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. lim |
1 |
|
|
= 0 при p > 0 |
и x ≠ k , k = −1,−2,.... |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(x +n) |
p |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, ряд |
∑ |
|
|
|
|
сходится абсолютно |
при |
1 < p , |
x ≠ k , |
||||||||||
(x +n) |
p |
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k = −1,−2,... и условно при 0 < p ≤1, x ≠ k , |
k = −1,−2,−3... . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение. |
Говорят, |
|
|
|
что |
функциональная последовательность |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ fn (x)} (функциональный |
ряд |
∑un (x) ) |
равномерно |
сходится |
на |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множестве D к функции f(x), если выполнено следующее условие: |
|
|
|||||||||||||||||
ε > 0 N0 : n > N0 x D |
|
|
|
fn (x) − f (x) |
|
< ε |
для |
функциональной |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
( ε > 0 N0 : n > N0 x D |
|
|
|
|
Sn (x) − f (x) |
|
< ε, |
Sn (x) = ∑uk (x) |
- |
для |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
функционального ряда). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если функциональная последовательность (функциональный ряд) |
|||||||||||||||||||
сходится равномерно на множестве D, то используют следующие записи: |
|||||||||||||||||||
fn (x) |
→ |
|
|
|
|
|
|
fn (x) |
→ |
|
|
|
|
||||||
→ f (x), x D; |
→ f (x); |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
∞ |
→ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
→ |
|
|
|
||||||
|
(x), x D; |
∑un (x) |
|
|
|
||||||||||||||
∑un (x) → f |
→ f |
(x) . |
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
D |
|
|
|
В этом определении существенно, что номер N0 подбирается уже после задания числа ε > 0 и не зависит от точки x D .
∞ |
|
|
Пусть rn (x) = ∑uk (x) = |
f (x) −Sn (x) |
- остаток функционального |
k =n+1 |
|
|
ряда порядка n. Тогда введенное в определении условие равномерной сходимости функционального ряда равносильно условию
7
r (x) |
→0, x D. Это |
|
|
соображение будет использовано нами в |
|||
n |
→ |
|
|
|
|
|
|
дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
Пример 5. Доказать, |
что функциональный ряд ∑ xn−1 |
равномерно |
||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
− |
1 |
, |
1 |
|
|
сходится на множестве |
2 |
2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Решение. Общий член ряда имеет вид un (x) = xn−1 . Ипользуя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, найдем n-ю частичную сумму ряда Sn (x) и сумму ряда f(x):
Sn
f (
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
n |
|
|
(x) = ∑xk −1 =1+ x + x2 +...+ xn−1 = |
|
, |
|||||||||||
|
1− x |
||||||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x) = lim S |
n |
(x) = lim |
1− xn |
= |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
1− x |
1 |
− x |
|
|
|
|
|
||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы учли, что lim x |
n |
|
= |
0 |
так как |
|
x |
|
|
1 |
, |
1 |
|
. Подставив полученные |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
результаты в определение равномерно сходящегося ряда, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− xn |
|
1 |
|
| |
x |n |
|
1 |
< ε , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ε > 0 N0 |
: n > N0 |
x − |
|
|
, |
|
|
|
Sn (x) − f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
|
|
≤ |
|
|
||||||||||
2 |
2 |
|
|
1− x |
1− x |
|1 |
− x | |
2 |
n−1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
поскольку |
| x |≤ 1 , |
|1− x |≥ |
1 . |
Следовательно, |
ряд |
∞ |
|
сходится |
к своей |
||||||||||||||||||||||||||
∑ xn−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сумме |
1 |
равномерно на отрезке |
|
1 |
, |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
→ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xn → |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
1 |
, |
1 |
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||
Пример 6. Доказать, что функциональный ряд |
∑n=1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(1+(n −1)x)(1+nx) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
равномерно сходится на множестве (δ, +∞), |
|
|
δ > 0.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Заметив, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
un (x) = 1+(n1−1)x −1+1nx ,
найдем Sn (x) и f(x):
Sn (x) = ∑ |
1 |
− 1 |
=1− 1 + |
|
1 |
|
−...+ |
1 |
− |
1 |
=1− 1 , |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
1+(k −1)x |
|
1+kx |
|
1+ x |
|
1+ x |
|
|
|
1+(n −1)x |
|
1+nx |
|
1+nx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f (x) = lim 1 |
− |
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
+nx |
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема |
(критерий |
Коши |
|
|
|
|
|
равномерной |
сходимости |
функциональной последовательности и функционального ряда). Для того, чтобы функциональная последовательность
∞
{ fn (x)}(функциональный ряд ∑un (x) ) равномерно сходилась (сходился) на
n=1
множестве D, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие Коши:
- для функциональной последовательности
ε > 0 N0 : n > N0 p Ν x D fn+p (x) − fn (x) < ε ;
- для функционального ряда
n+p
ε > 0 N0 n > N0 p Ν x D ∑uk (x) < ε.
k=n+1
Доказательство. Докажем сначала теорему для функциональной последовательности.
Необходимость. Пусть fn (x) →→
f (x), x D . Тогда по определению
равномерной сходимости ε > 0 N0 : n > N0 |
x D |
|
fn (x) − f (x) |
|
< |
ε . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
9
Поскольку при |
|
n > N0, |
p Ν также справедливо и |
неравенство |
|||||||||||||||||||
n + p > N0 , то будет выполняться и неравенство |
|
fn+p (x) − f (x) |
|
|
< ε . |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Отсюда при n > N0, p Ν получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
fn+p (x) − fn (x) |
|
= |
|
fn+p (x) − f (x) + f (x) − fn (x) |
|
≤ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
≤ |
|
fn+p (x) − f (x) |
|
+ |
|
fn (x) − f (x) |
|
< ε |
+ ε =ε, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
то есть выполняется условие Коши. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Тогда для каждой |
||||||||||||||||||||||
точки |
x0 D |
|
числовая |
|
|
|
последовательность |
{ fn (x0)} |
является |
фундаментальной, а значит, согласно критерию Коши сходимости числовой последовательности, сходится. Поэтому функциональная последовательность { fn (x)} по крайней мере поточечно сходится к некоторой функции f(x) на множестве D. Докажем, что на самом деле эта сходимость является равномерной на множестве D. Запишем условие Коши в виде
ε > 0 N0 : n ≥ N0 |
p Ν x D |
|
fn+p (x) − fn (x) |
|
< |
ε . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Перейдем в этом неравенстве при каждом фиксированном номере n ≥ N0 и каждой фиксированной точке x D к пределу при p → ∞. Учитывая, что
lim fn+p (x) = f (x), по теореме |
о переходе к пределу |
в неравенствах |
|||||
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
ε > 0 N0 : n ≥ N0 |
x D |
|
fn (x) − f (x) |
|
≤ |
ε |
< ε . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Это и означает равномерную сходимость последовательности { fn (x)} к функции f(x) на множестве D.
10