Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

32.99. Груз весом 200 Г подвешен на пружине, коэффициент

жесткости

которой

равен с = 20 Г/ся. На груз действуют возмущаю-

щая сила 5=0,2sinl4^ Г и сила сопротивления R=50v

Г.

Определить сдвиг фаз вынужденных колебаний и

возмущающей

силы.

Ответ: е = 91°38'.

V

32.100.

В

условиях

предыдущей задачи найти ко-

эффициент

жесткости

с\

новой

пружины,

которой

нужно

заменить данную

пружину, чтобы

сдвиг

фаз

вынужденных

колебаний

и возмущающей

силы

стал

равным

я/2.

Ответ: с± = 40

Г/см.

32.101. Для уменьшения действия на

тело

мае-

сы т

возмущающей

силы

F = Fosin (pt-j- б)

устанав-

к задаче зг.ки.

ливают

пружинный

амортизатор

с жидкостным демп-

фером. Коэффициент жесткости

пружины

с.

Считая, что сила сопро-

тивления пропорциональна первой степени скорости

(Fconp = av),

найти

максимальное

динамическое давление

всей системы

на фунда-

мент

при установившихся

колебаниях.

Ответ: NiW=F0 y ^ - ^ + ^ J ^ ,

где А» =£,

я= ^

§33. Относительное движение

33.1(862). К концу А вертикального упругого стержня АВ прикреплен груз С весом 2,5 кГ. Груз С, будучи выведен из положения равновесия, совершает гармонические колебания под

влиянием силы, пропорциональной расстоянию от по-								„ _ч
ложения равновесия. Стержень АВ таков, что для								%fe~4r~>	x
отклонения конца его А на 1 см нужно приложить
Силу 0,1 кГ. Найти амплитуду вынужденных колеба-								i
ний	груза	С	в	том случае,		когда точка закрепления
стержня		В	совершает		по	горизонтальной прямой
гармонические				колебания амплитуды 1 мм			и периода
1,1	сек.
Ответ: 5,9				мм.
33.2 (863). Точка привеса математического маят-								к з а д а ч е з з л *
пика	длиной		/ движется		по вертикали		равноуско-

ренно. Определить период Т малых колебаний маятника в двух слу-

чаях: 1) когда			ускорение точки привеса направлено вяерх и имеет
какую	угодно		величину р; 2) когда это ускорение направлено вниз
и величина		его	p<.g.
Ответ:		1)	Г = 2 л ] / - 4 — ,		2)	Г=*2лТ/~ —— .
		'		У p+g'	'		У	g-p
33.3	(864).		Математический		маятник		ОМ	длиной / в начальный
момент	отклонен от			положения	равновесия ОА			на некоторый	угол а
и имеет	скорость,			равную нулю;		точка	привеса его в этот		момент

261

имеет	также скорость		равную		нулю, но		затем	опускается			с постоян-
ным	ускорением			Определить		длину		s	дуги	окружности,
		описываемой точкой М в относительном движении
		вокруг		точки О.
			Ответ:		1) При p=g			s — 0;		2) при p^>g
		s =	2/(is —a).
			33.4 (865). Железнодорожный поезд идет со
		скоростью			15 м!сек	по рельсам, проложенным по
		меридиану,			с юга	на	север.		Вес поезда 2000 т.
			1) Определить			боковое			давление		поезда на
К задаче33.3.		рельсы,		если он пересекает				в данный момент се-
		верную		широту 60°.			2) Определить			боковое дав-

ление поезда на рельсы, если он идет в этом же месте с севера на юг. Ответ: 1) 384 кГ на правый восточный рельс; 2) 384 кГ на

правый западный рельс.

33.5 (866). Материальная точка свободно падает в северном полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится на восток точка при падении. Географическая широта места равна 60°.

Ответ: На 12 см.

33.6 (867). В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем среднее его положение остается отклоненным от вертикали на угол 6°.

1)Определить ускорение w вагона.

2)Найти разность периодов колебаний маятника: Т — в случае неподвижного вагона и Тх — в данном случае.

Ответ: 1) w = 1 0 3 см/сек*; 2) Т — Тх = 0,0028 Т.

33.7 (868). Точка Oi привеса маятника длиной / совершает прямолинейные горизонтальные гармонические колебания около неподвижной точки О: OOi = a sinpt. Определить малые колебания маятника, считая, что в момент, равный нулю, он находился в покое.

Ответ: <? = ц ^ р 2 ) (sinpt

00,

К задаче 33.?.

К задаче 338.

33.8 (869). Для измерения ускорений поршня двигателя внутреннего сгорания применяется прибор, состоящий из подвижной тележки А и равномерно вращающегося барабана D, жестко скрепленного

262

с крейцкопфом. Тележка весит Q и благодаря особым направляющим совершает поступательное движение, при котором конец закрепленного на тележке карандаша С описывает прямую, параллельную оси штока. Тележка А связана с крейцкопфом пружиной В, жесткость пружины с. Часовой механизм вращает барабан с угловой скоростью а>, радиус барабана г. Найти уравнение кривой, вычерчиваемой карандашом на ленте барабана, если движение крейцкопфа относи-

тельно	направляющих		крейцкопфа	выражается уравнением х =
= a-|-^c o s W> где а — некоторая постоянная, зависящая от						выбран-
ного	начала	неподвижной системы		координат,	/—ход	поршня,
Q—угловая		скорость	махового колеса	двигателя.
Ответ: % = A cos ] Л | * + Bsin|/~| i +^~					cos Qt,

7j =

Аи В—постоянные, определяемые по начальным данным.

33.9.Шарик массы т, прикрепленный к концу горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой с, находится в положении равновесия в трубке на расстоянии а от вертикальной оси. Определить относительное движение шарика, если трубка, образующая с осью

прямой угол, начинает		вращаться	вокруг	вертикальной оси с постоян-
ной угловой	скоростью со.
Ответ:	В системе	координат, начало		которой совпадает с точкой
равновесия	шарика,
		V№ ша.	,	-,Г~с
		*прИ k = V m > U > ;
2) x=^MV^&t-\)			при k = YV

-а—Л

V/.
	К	задаче	33.9.			К задаче 33.10.
33.10. Горизонтальная трубка CD равномерно вращается вокруг
вертикальной		оси	АВ	с	угловой скоростью		со. Внутри	трубки
находится	тело М. Определить скорость					v тела	относительно трубки
в момент	его	вылета, если			в начальный	момент	г> = 0, х=х^	длина
трубки равна		L. Трением		пренебречь.

Ответ: v=VLi — x%<».

263

33.11.В условиях предыдущей задачи определить время движения тела в трубке.

33.12.В условиях задачи 33.10 составить дифференциальное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент трения сколь-

	жения	между	телом	и трубкой	равен /.
'"	Ответ: х — <Ас± / YФ + 4ш2х2; верхнему
	гнаку	соответствует х <[ 0, нижнему			х ^> 0.
)	33.13 (870).		Кольцо	движется по	гладкому

'стержню АВ, который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец А, делая один

оборот в секунду; длина стержня 1 ж, в момент

t — 0 кольцо находилось

на

расстоянии

60 с ч

от

конца А

и

имело

скорость, равную

нулю

Определить

момент

tu

когда

кольцо

сойдет

со

i стержня.

Ответ:

ti =

^

In 3 =

0,175

сек.

К задаче 33 14.

33.14

(871).

Трубка АВ

вращается

с

по-

стоянной

угловой

скоростью

со

вокруг

верти-

кальной

оси CD,

составляя с ней неизменный

угол

45°.

В

трубке

находится

тяжелый

шарик

М.

Определить

движение

этого шарика

относительно трубки, если начальная скорость его равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а. Трением пренебрегаем.

Ответ: 0М =

Ца-

33.15

(874).

Определить,

как

меняется ускорение

силы тяжести

в зависимости

от широты

места <р вследствие

вращения Земли вокруг

своей оси. Радиус

Земли

R~

6370

км.

Ответ:

Если

пренебречь

членом с

«>4

ввиду

его

малости, то

289

где

g—

ускорение

силы

тяжести

на

полюсе,

<р — географическая

широта места.

33.16 (875). Во сколько раз надо увеличить угловую скорость

вращения Земли вокруг

своей

оси, чтобы тяжелая точка, находящаяся

на поверхности

Земли

на экваторе,

не имела

бы

веса?

Радиус Земли

R =

6Z70 км.

Ответ: В 17 раз.

33.17

(876).

Артиллерийский снаряд движется по настильной

траектории

(т. е. по траектории, которую

приближенно можно считать

горизонтальной

прямой). Горизонтальная

скорость

снаряда во время

движения

vQ =

900 м/сек.

Снаряд должен поразить

цель, отстоящую

от места

выстрела

на расстоянии

18 км. Пренебрегая сопротивлением

264

воздуха, определить, насколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте Я=60°.

Ответ: Снаряд отклонится вправо (если смотреть на него сверху перпендикулярно к скорости) на величину

inA=22,7 м

независимо от направления стрельбы.

33.18 (877). Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север — юг. Считая отклонения маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадет с плоскостью запад — восток. Маятник расположен на 60° северной широты.

Ответ: Т= 13,86(0,5 + k) часов, где А= 0, 1, 2, 3, ...

ГЛАВАХ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

§ 34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел

34.1. Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изображенный
на чертеже, состоит из трех колен, расположенных					под углом			120°
друг		к другу. Определить по-
ложение			центра			масс коленча-
того		вала,		считая,			что	массы
колен		сосредоточены в точках
А, В и D, причем							/яд = /«в =
=	/пр — т,				и		пренебрегая
массами остальных частей вала.
Размеры			указаны				на чертеже.
	Ответ: Центр масс совпа-
дает с началом координат О.
	34.2. Найти уравнения дви-
жения центра масс шарнирного
параллелограмма ОАВОЬ								а так-
же	уравнение				траектории его
центра			масс		при		вращении
кривошипа				ОА		с	постоянной
угловой			скоростью				о>. Звенья
параллелограмма — однородные
стержни,			причем			ОА = ОХВ =
	АВ

К	задаче 34.1.				Ответ:
					; ==д -f- -г a cos <at,		у с =
= -j-a sin a>t]	уравнение траектории				-afi+yb	= (-га)	— окруж-
	3	с центром	в точке		К с координатами (а, 0).
ность радиуса -^ а
34.3. К ползуну / весом			Pi	посредством тонкой невесомой нити
прикреплен груз		// весом	Р? .	При	колебаниях	груза по закону

266

<p = (posinorf	ползун	скользит по неподвижной	горизонтальной глад-
кой плоскости.
Найти уравнение движения ползуна хг—/(г),			считая, что в началь-
ный момент	(^= 0)	ползун находился в начале отсчета О оси х.
Длина нити равна /.
Ответ: х	х = —	р
		* /sin(roosincoO.

В

-•Г

Кзадаче 34.2.

34.4.Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на чертеже, если вес каждого из шаров А и В

равен Рх, вес муфты D равен Р2 . Шары А а В считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.

Ответ: хс = 0, ус	= 2 ^ р = г l c o s Ф-
34.5 (950). Определить траекторию центра масс механизма эллип-
сографа, состоящего	из муфт А а В	весом Q каждая, кривошипа
	ОС весом	Р	и линейки АВ весом	2Р;
'J^ х	дано: ОС = АС — СВ — 1. Считать,			что
	линейка	и	кривошип представляют
11	однородные стержни, а муфты — точеч-
	ные массы.

К задаче 34.4.

К задаче 34.5.

Ответ: Окружность с центром в точке О и радиусом, равным

5P + 4Q I

3P + 2Q 2 '

34.6.Кривошипно-шатунный механизм приводится в движение

посредством	кривошипа	ОА	весом Рх	и длиной г,	вращающегося
с постоянной угловой		скоростью ©. Написать уравнения движения
центра масс	механизма,	если	вес шатуна	АВ длиной	/ (г <^ /) равен
Р2, а вес ползуна В равен Р3 .

267

	if
У к а з а н и е .	Выражение у \—A,2 sin2 Ы, где X = rfl, следует разложить
ряд и отбросить	все члены ряда, содержащие А,2, в степени выше второй.
Ответ	— X2)

34.7. Кривошип ОА весом Рх и длиной г механизма, изображенного на чертеже, вращает зубчатое колесо М весом Р% и радиуса г, находящееся во внутреннем зацеплении с неподвижным зуб-

чатым колесом L радиуса 2г.

Кзадаче 34.6.

Кзубчатому колесу М шарнирно прикреплена рейка BDвесом Р3 и длиною I, движущаяся в прямолинейных горизонтальных направляющих. Кривошип ОА и рейку BD считать однородными стержнями. Центр тяжести колеса М находится в точке А. Определить положение центра масс механизма.

Ответ: хс 2(Pi ДД +	Р1+а )	Г С ° 8 ф ;
34.8. Вычислить момент	инерции стального	вала радиуса 5 см и
массой 100 кг относительно	его образующей. Вал считать однородным
сплошным цилиндром.

Ответ: 3750 кгсм%.

34.9. Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска

весом	Р и радиуса г относительно оси, проходящей вдоль диаметра,
ограничивающего полудиск.
г,	Рг*
Ответ: - j - .
34.10. Вычислить осевые Jx я Jy			моменты инерции изображенной
на чертеже однородной прямоугольной пластинки весом Р относительно
осей х и у.
	АР	4 Р
	IxZ=JYa'	Jy=JJb'

268

34.11. Вычислить моменты инерции изображенного на чертеже однородного прямоугольного параллелепипеда весом Р относительно осей X, у и z.

Ответ: Jx = £- (а2 + 4с*Ъ Jy = £ (2>2+ 4с»); Jz = | - (а2 + Ь>).

К задаче 34.10.	К задаче	34.11.	К	задаче 34.12.
34.12. В тонком однородном круглом			диске радиуса	R высверлено
концентрическое отверстие	радиуса	г.	Вычислить момент		инерции
этого диска весом Р относительно		оси г, проходящей			через его
центр тяжести перпендикулярно к плоскости диска.
Р					А
Ответ: Je = -^- {R2 -+• г2) •			~

* 34.13. Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки весом Р, имеющей форму равнобедренного треугольника с высотой h, относительно оси, проходящей через ее центр тяжести С параллельно основанию.

Ответ: -^ — h2.

18 g

/\

Кзадаче 34.13.

34.14. Вычислить момент инерции пластинки, рассмотренной в предыдущей задаче, относительно оси, проходящей через ее вершину

параллельно основанию.

р

Ответ: ~— /г2.

34.15.Сохранив данные задачи 34.13, вычислить момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через вершину А перпендикулярно к ее плоскости, если основание BD = a.

34.16.Вычислить моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей х, у и z тонкой однородной эллиптической

пластинки весом Р, ограниченной контуром - ^ -f- 73-= 1.

Ответ: Jx — — l

-a* J,=-r

269

34.17, Определить момент инерции однородного полого шара массы М относительно оси, проходящей через его центр тяжести.

Внешний и внутренний		радиусы соответственно равны R и г.
Ответ: -=- М	[ ^	'»

	-Л
К задаче 34.16.	К задаче 34.18.

34.18. Вычислить момент инерции однородной тонкой оболочки, выполненной в виде полусферы радиуса R, относительно оси, проходящей через центр полусферы перпендикулярно к ограничивающей ее плоскости. Масса М оболочки равномерно распределена по поверхности полусферы.

2 '

Ответ:

34.19. Вычислить радиус инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси z, перпендикулярной к оси цилиндра и отстоящей от его центра тяжести С на расстоянии 10 см, если радиус цилиндра равен 4 см, а высота, 40 см.

Ответ: 15,4 см.

?

К задаче 34.19.		К	задаче 34.20.		К задаче 34.21.
34.20. На вал весом 60 кГ		насажено маховое колесо А весом I r
и шестерня	В весом 10 кГ.		Радиус вала	равен	5 см, махового
колеса — 1 м	и шестерни — 10 см.		Вычислить	момент	инерции системы

относительно ее оси вращения z. Вал считать сплошным однородным цилиндром, шестерню — сплошным однородным диском. Масса маховика равномерно распределена по его ободу.

Ответ: 102 кГ м сек1.

270