Математика практикум

					13
	x1	2x2	x3	3x4 0,
1)	4x1	x2	5x3	6x4	0,
	x1	3x2	4x3	7x4	0,
	2x1	x2	x3	0;
	x1	2x2	3x3	4x4	0,
	2x1	3x2	4x3	x4	0,
2)	2x1	5x2	2x3	3x4	0,
	5x1	26x2	9x3	12x4 0,
	3x1	4x2	x3	2x4	0;
	2x1	x2	3x3	2x4	4x5	0,
3)	4x1	2x2	5x3	x4	7x5	0,
	2x1	x2	x3	8x4	2x5	0;
	x1	2x2	3x3	4x4	0,
4)	2x1	3x2	4x3	5x4	0,
	3x1	4x2	5x3	6x4	0,
	4x1	5x2	6x3	7x4	0.

1.20. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, количество базисных решений и указать хотя бы одно базисное решение:

1)	3x1	x2	x3	2x4	4,	2)	x1	2x2	x3	5,
	x1 x2		x3	2x4	1;		2x1	x2	3x3	4;
	2x1	2x2	x3	2x4	2,		3x1	x2	2x3	2x4	0,
3)	x1	x2	x3	x4	2,	4)	x1	x2		2x4	0,
	x1	x2		x4	2;		x1	x2	x3	2x4	1;
	3x1	2x2		3x3	x4 0,		2x1	x2	x3	x4	1,
5)	3x1	2x2		x3	x4	0, 6)		x2	x3	2x4	2,
	x1	x2	2x3		5x4	0;	2x1	2x2 3x4			3;

							14
	2x1	7x2		3x3	x4	6,
7) 3x1		5x2		2x3	2x4		4,
	9x1	4x2		x3	7x4	2;
8)	2x1	3x2	5x3	7x4	1,
	4x1	6x2	2x3	3x4	2;
	2x1		x2	x3	2x4		3x5	2,
9)	6x1	3x2		2x3	4x4		5x5	3,
	6x1	3x2		4x3	8x4		13x5	9,
	4x1		2x2	x3	x4		2x5	1;
	6x1		4x2	5x3	2x4		3x5	1,
10)	3x1		2x2	4x3	x4		2x5	3,
	3x1	2x2		2x3	x4			7,
	9x1		6x2	x3	3x4		2x5	2.

Применение элементов линейной алгебры в экономике

1.21. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок ; при этом используется сырье трёх типов: S1 , S2 , S3 . Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей . Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Вид сырья	Норма расхода сырья на одну пару			Расход
	Сапоги	Кроссовки	Ботинки	сырья
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	800
S3	3	2	2	1600

1.22. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150 . Известны затраты на

15

перевозку меха с фабрики в каждое ателье (см. таблицу). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 д.е. Найти план перевозок меха.

Фабрика	Затраты на перевозку в ателье, д.е.
	1	2
1	15	20
2	8	25

1.23. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден.ед.

			Потребление		Конечный	Валовый
	Отрасль		Сфера об-	Лёгкая
					продукт	продукт
			служ-я	пром-ть
	Произ-	Сфера	7	21	72	100
	водст-	обс.
	во	Лёгкая	12	15	63	100
		пром-ть

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление сферы обслуживания увеличится вдвое, а лёгкой промышленности сохранится на прежнем уровне.

1.24. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.

Отрасль			Потребление		Конечный	Валовый
			1	2	продукт	продукт
Производ-		1	100	160	240	500
ство		2	275	40	85	400

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в два раза, а второй отрасли - на 20%.

16

Векторы. Линейные операции над векторами

	1.25. По данным векторам								построить векторы
							а	, b
						– 2		и найти их координаты:
	c	= a	+ 2 b ,	d = 0,5 b			a
	1) a	= (1, 2), b = (2, –1);					2) a = (–1, 1),			b = (3, 1);
		= (–2, –2),							= (2, 4),
	3) a			b = (1, 1);				4) a		b = (1, –1).
	1.26. В треугольнике АВС проведена медиана АD. Выразить век-
тор		через векторы
	AD				AB	= b	, AC = c .

1.27.Доказать, что треугольник с вершинами А(1; 2; 1), В(3; –1; 7), С(7; 4; –2) – равнобедренный.

1.28.Доказать, что четырехугольник с вершинами А(–1; 0), В(0;2), С(1; 2), О(0; 0) – параллелограмм.

1.29.Определить, являются ли зависимыми векторы a , b , c :

1)	a = (2, –1,3)		, b = (1, 4, –1),		c = (0, –9, 5);
2)		= (1, 2, 0),
	a		b = (3, –1, 1),		c	= (0, 1, 1).
1.30. Показать, что векторы b , b							, b		образуют базис:
					1	2		3
1)	b1	= (1, –1, 3), b2		= (3, –1, 1),		b3 = (0, 1, 1);
3)	b1 = (5, –1,–3), b2			= (2, 3, –1), b3 = (1, –2, 3).

1.31.Даны четыре вектора a1 , a 2 , a3 , a 4 в некотором базисе.

Показать, что первые три из них образуют базис и найти координаты четвертого вектора в этом базисе:

№	a1	a 2	a3	a 4
1	(4, 5, 2)	(3, 0, 1)	(–1, 4, 2)	(5, 7,	8)
2	(3, –5, 2)	(4, 5, 1)	(–3, 0, –4)	(–4, 5,	–2)
3	(–2, 3, 5)	(1, –3, 4)	(7, 8, –1)	(1, 9,	2)
4	(1, 3, 5)	(0, 2, 0)	(5, 7, 9)	(0, 4, –2)

1.32. Найти вектор x из уравнения:
	3 ( a1	– x ) + 2 ( a 2			+ x	) = 5 ( a3	+ x ), где
	= (2, 5, 1, 3),			= (10, 1, 5, 10),				= (4, 1, –1, 1).
a1			a 2				a3

17

Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

1.33. Даны векторы

a

, b . Вычислить:

1)

;

a b ; 2)

a a

3) a a b ; 4)

2a b a 3b ;

5)

и

угол между векторами a

b .

№

1

2

3

4

a

(4, –2,–4, 8)

(1, 4, –2, 2)

(1, 1, 1, 1, 1)

(0, 1, 1 ,1 ,1)

(5, –1, 3, –1)

(3, 1, 1, 5)

(–1, –1, 0, 1, 1)

(5, 1, –1, 1, –1)

b

1.34. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, производственно-экономические показатели которых приведены в табл,.1.1. Требуется определить следующие ежесуточные показатели:

1)расход сырья (S) ;

2)затраты рабочего времени (Т) ;

3)стоимость выпускаемой продукции (Р) .

Таблица 1.1

	Вид из-	Количество	Расход сы-	Норма времени	Цена из-
	делий			изготовления ,	делия ,
		изделий , ед.	рья , кг.
				ч / изд.	ден. ед.
	1	20	5	10	30
	2	50	2	5	15
	3	30	7	15	45
	4	40	4	8	20

1.35. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья заданы матрицей А

= (aij), где аij – норма расхода j-го вида сырья на одно изделие i-го вида. Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделий при задан-

ном плане выпуска соответственно 60, 50, 35 и 40 единиц.

1)	2 3		4 5		2)	1	0	1	2
	1	2	5	6		2	1	1	0
А = 7 2 3 2 ;						А = 1 3 0 0 .
	4	5	6	8		5	0	1	1
1.36. Найти площадь треугольника с вершинами:
1)	А (2; 2; 2),			В (1; 3; 3),		С (3; 4; 2);
2)	А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).

18

1.37. Дано

a

= 3,

b = 8. Найти векторное произведение

a

b , если угол

между векторами равен:

1)0;

2) 30 ;

3) 90 ;

4) 120 ; 5) 150 .

1.38. Найти и построить вектор c = a

b , если:

,

1) a

= 2 i

b

= 3 k

; 2) a =

i

j ,

b

= i 2 j ;

3)

,

=

.Определить в каждом случае пло-

a

= 3 j

i

b

i

4k

щадь параллелограмма,

построенного на векторах a

и b .

1.39. Найти вектор c

, перпендикулярный векторам a

и b , синус

угла между векторами

a

и b , если:

1)

= (1,–5,– 3),

a

b

= (–2, 4, 3);

2)

= (3, –2, 6),

a

b

= (6, 3, –2);

= (3, 0, –4),

3) a

b = (1, –2, 2).

1.40. Установить, компланарны ли векторы:

1)

= (1, 1, 3),

= (0, 2, –1),

= (1, –1, 4);

a

b

c

2)

= (1, 2, 2),

= (2, 5, 7),

a

b

c

= (1, 1, –1);

3)

= (1, –1, 2),

= (3, 5, 0),

= (5, 3, 4);

a

b

c

4)

a

= (1, 1, –1), b = (1, –1, 1),

c

= (1, 1, 1).

1.41. Найти смешанное произведение a

, b и

c , если:

1)

= (1, 1, 2),

= (1, –2, 3),

a

b

c = (2, 1, 1);

2)

= (1, –2, 1),

a

= (5, –2, –1), b

c = (1, 2, –2);

3)

= (1, 1, 4),

a

b = (2, –1, –1), c = (1, 3, –1).

1.42. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках:

1) А (–1; 1; 0), В (2; –2; 1), С (3; 1; –1), D (1; 0; –2); 2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).

1.43. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах a	= (3, 2, 1), b = (1, 0,–1),	c = (1, –2, 1).

19

Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения

1.44. Линейный оператор A в базисе {ei } задан матрицей А. Найти образ y A(x), где:

				3	2						1	0	2
1) x	= 4 e1	–3 e2	, А=	1	5	; 2)	x	=2 e1	+4 e2	– e3	, А= 2	1	1 .
											3	0	1

1.45. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:

	3	2		1			2			1			2		2
А =	1	4	. a =	4	,	b =	7	,	c =	1	,	d =	0	, e =	1 .

1.46. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:

	2	4		2	1	1	2	2	1	0	2
1)А=			; 2)А=			; 3)А= 1	0	3	; 4)А= 2	4	1 .
	1	3		3	4	1	3	0	3	0	1

1.47. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

0,2 0,3 0,4 А = 0,5 0,4 0,2 .

0,3 0,3 0,4

Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл.ед.

1.48. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

	0,2	0,3	0,2	0,2
A=	0,4	0,3	0,1	0,2 .
	0,3	0,3	0,5	0,2
	0,1	0,1	0,2	0,4

20

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной

бездефицитной	торговле при условии, что сумма бюджетов
x1 x2 x3 x4	= 6270 усл.ед.

1.49.Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид:

	400			0,25	0,10	0,24	0,25
Х =	300	,	А =	0,20	0,15	0,36	0,17 .
	250			0,15	0,20	0,20	0,15
	250			0,30	0,15	0,20	0,15

Пользуясь моделью Леонтьева, найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

1.50. Данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый промежуток времени даны в табл.1.2. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить соответственно:

1)до 60, 70 и 30 единиц;

2) на 30, 10 и 50%.

Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса. Таблица 1.2.

			Потребление от-
	№	Отрасль	расли			Конечный	Валовый
	п/п		1	2	3	продукт	выпуск
		Добыча и пере-
	1	работка углеводо-	5	35	20	40	100
		родов
	2	Энергетика	10	10	20	60	100
	3	Машиностроение	20	10	10	10	50

21

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Прямая на плоскости

2.1.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно: 1) оси ОУ, А(2; –3) ; 2) оси ОХ , А(1; 2) ; 3) прямой 2x – 3y + 1 = 0, А(2; –3); 4) прямой x + y – 2 = 0, А(1; 2).

2.2.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А,

перпендикулярно прямой: 1) 3х – 2у + 5 = 0, А (2; –1);

2)2х + у – 7 = 0, А (0; 3).

2.3.А – вершина прямоугольника, противоположный угол образован осями координат. Составить уравнения сторон и диагоналей этого прямоугольника, если: 1) А (–4; 3); 2) А (2; 3).

2.4.Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат OX и OY отрезки: 1) а = 2 и b = –5; 2) а = –1 и b = 4.

2.5.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3), и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 кв. ед.

Прямая и плоскость в пространстве

2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0
и перпендикулярной вектору n , если:
1) M 0 (2; –3; 1), n = (5, 1,–4);	2) M 0 (1; 0; 1), n = (1,–2, 3).
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и
точку M 0 , если: 1) M 0 (2; –4; 3);	2) M 0 (–1; 2; –4).

2.8. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

1)длину сторон; 2)уравнения сторон; 3)уравнение высоты, проведенной из вершины А; 4)уравнение медианы, проведенной из вершины В; 5)угол при вершине С; 6)площадь треугольника АВС; 7) с помощью неравенств описать внутреннюю область треугольника АВС.

№	А, В, С	№	А, В, С
1	(6;2),(30;–5),(12;19)	4	(4;3), (–12;–9), (–5;10)
2	(1;7),(–12;10),(–8;13)	5	(–7;5), (10;3), (–8;7)
3	(–2;1), (–2;–6), (–6;–3)	6	(–12;6), (12;–1), (–6;2)

2.9.Построить множества решений систем линейных неравенств

инайти координаты их угловых точек .

№

1

2

3

22

					№
x1		x2	2,			– x1				5x2			5,
– x1	2x2			4,		x1	x2				6,
	x1		6,		4		x1			x2			0,
	x1		0,			0	x1				5,
	x2		0.				x2			0.
x1	4x2			8,		2x1				x2			6,
x1	6x2			3,		– x				3x		2	3,
							1
2x1		x2		0,		3x 2x					2		3,
					5		1
x1	2x2			2,		x	x					0,
								2
						1
0		x1	4,					x			0,
								1
	x2		0.					x	2		0.
– x1	x2 – 3			0,
x1	x2	– 2		0,		– 4x1				3x2			12,
x1	x2	–1		0,	6		x1		2x2				8,
							0						6,
x1			0,						x1
x2			4.				0		x2				5.

Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

2.10. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7), r = 5; 2) С (–6; 3), r = 2; 3) С (3; –2), r = 3; 4) С (0; –2), r = 0,5.

2.11.Окружность с центром в точке S (12; –5) проходит через начало координат. Составить уравнение этой окружности.

2.12.Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой 12х + 5у + 60 = 0, заключенный между осями координат.

2.13.Известно, что концы одного из диаметров окружности находятся в точках M1 (2; –7) и M 2 (–4; 3). Составить уравнение окружно-

сти.

2.14. Составить уравнение прямой, проходящей через центры

окружностей х 2 + у 2 = 5 и х 2 + у 2 + 2х + 4у = 31. Найти отношение радиусов окружностей.