5.5. Основные характеристики помехоустойчивых кодов

Основными характеристиками помехоустойчивых кодов являются: длина кода n, его основание m, общее число кодовых комбинаций N, число разрешенных кодовых комбинаций N_р, избыточность кода К_и и минимальное кодовое расстояние d_min.

Длина кода² n – это число символов в кодовой комбинации. Например, комбинация 11010 состоит из пяти символов, следовательно, n=5. Если все кодовые комбинации содержат одинаковое число символов, то код называется равномерным. В неравномерных кодах длина кодовых комбинаций может быть разной.

Основание кода m – это число различных символов в коде. Для двоичных кодов символами являются 1 и 0, поэтому m=2.

Число кодовых комбинаций для равномерного кода равно N=mⁿ. Например, для равномерного двоичного кода, имеющего длину n=6, число различных кодовых комбинаций равно N=2⁶=64.

Число разрешенных кодовых комбинаций N_р – это количество кодовых комбинаций кода, используемых для передачи сообщений. Для помехоустойчивых кодов N_р<N. Оставшиеся кодовые комбинации N-N_р называют запрещенными. Если N_р=N, то код является безызбыточным. Для разделимых кодов N_р=2 ^k.

Избыточность кода К_и в общем случае определяется выражением

. (5.1)

и показывает, какая доля длины кодовой комбинации не используется для передачи информации, а используется для повышения помехоустойчивости кода. Для разделимых кодов

, (5.2)

где величина k/n называется относительной скоростью кода.

Кодовое расстояние d(А,В) – это число позиций, в которых две кодовые комбинации А и В отличаются друг от друга. Например, если А=01101, В=10111,то d(А,В)=3. Кодовое расстояние между комбинациями А и В может быть найдено в результате сложения по модулю 2 одноименных разрядов комбинаций, а именно

, (5.3)

где a_i и b_i – i-е разряды кодовых комбинаций A и B; символ  обозначает сложение по модулю 2. Например, чтобы получить кодовое расстояние между комбинациями 1101011 и 0111101 достаточно подсчитать число единиц в сумме этих комбинаций по модулю 2:

Кодовое расстояние между различными комбинациями конкретного кода может быть различным. Так, для первичных кодов (приложения 1, 2) это расстояние для различных пар кодовых комбинаций может принимать значения от единицы до величины длины кода.

Минимальное кодовое расстояние d_min – это минимальное расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями данного кода. Минимальное кодовое расстояние является основной характеристикой корректирующей способности кода. В первичных (безызбыточных) кодах все комбинации являются разрешенными, поэтому минимальное кодовое расстояние для них равно единице (d_min = 1). Такие коды не способны обнаруживать и исправлять ошибки. Для того чтобы код обладал корректирующими способностями, его минимальное кодовое расстояние должно быть не менее двух (d_min  2).

Для обнаружения всех ошибок кратностью³ s и менее, минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять условию

d_min  s +1 . (5.4)

Если код используется для исправления ошибок кратности не более t, то минимальное кодовое расстояние должно иметь значение

d_min  2t +1 . (5.5)

Например, из (5.4) и (5.5) следует, что для обнаружения однократных ошибок (s = 1) требуется код с d_min = 2, а для того чтобы исправить такие ошибки, требуется код с кодовым расстоянием d_min = 3.

Для обнаружения s ошибок и исправления t ошибок должно выполняться условие

d_min  s + t +1 . (5.6)

Таким образом, задача построения кода с заданной корректирующей способностью сводится к обеспечению необходимого кодового расстояния. Увеличение d_min приводит к росту избыточности кода. При этом желательно, чтобы число проверочных символов r было минимальным. В настоящее время известен ряд верхних и нижних границ, которые устанавливают связь между кодовым расстоянием и числом проверочных символов. Сведения о границах для кодового расстояния будут приведены позже в процессе оценки качества приема кодированных сообщений.