- •Теоретическая механика
- •2 Кинематика точки
- •Векторный способ задания движения
- •Координатный способ задания движения
- •Естественный способ задания движения
- •Связь между координатным и естественным способами задания движения
- •Примеры
- •3 Кинематика твердого тела
- •3.1 Поступательное движение твердого тела
- •3.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Равномерное и равнопеременное вращение
- •3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
- •Определение скоростей точек
- •Плоское движение. Определение ускорений точек
- •Примеры (продолжение)
- •3.4 Сферическое движение
- •4 Сложное движение точки
- •Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •Примеры векторных схем скоростей и ускорений при сложном движении точки
- •Сложение движения точки. Примеры.
Естественный способ задания движения
В этом способе считаются известными: 1) траектория движения; 2) начало отсчета о; 3) положительное и отрицательное направления отсчета (+, -); 4) уравнение движения точки по траектории s = s(t).
|
Скорость и ускорение точки определяются в проекциях на оси естественного трехгранника:
t - касательная; n - главная нормаль; b - бинормаль; , , - орты этих осей; Скорость точки M (алгебраическое значение) . |
Полное ускорение точки M равно векторной сумме касательного и нормального ускорений (аb=0)
; ; .
Где r - радиус кривизны траектории в т. M.
Модуль ускорения
Направление .
Связь между координатным и естественным способами задания движения
Движение точки задано в декартовой системе координат x = x(t), у = y(t), z = z(t).
Касательное ускорение
.
Нормальное ускорение находится по формуле или из очевидного соотношения (приz=const)
.
Частные случаи движения точки
1. Равномерное прямолинейное движение (v = const; r = ¥)
; ;.
2. Равнопеременное прямолинейное движение (at=const, r = ¥) ; ; ; . |
Ускоренное | |
Замедленное |
3. Равномерное криволинейное движение (v = const) ; ;.
4. Равнопеременное криволинейное движение (ат = const) ; ;
Примеры
1). Судно движется равноускоренно на повороте реки с радиусом закругления 1000 м и проходит путьSk = 1000 м. Имея начальную скорость v0 = 3,6 км/ч и конечную vk = 18 км/ч, определить время движения t и ускорение судна в конце пути.
Решение
Так как движение равноускоренное, имеем
(1)
Найдем время t, подставляя значения Sk и vk в (1), получим , откуда
2). Уравнения движения т. M: x = -6t2 + 2; у = 2t. Найти уравнение траектории, а также положение точки, скорость, ускорение и его составляющие при t = 1 с. x и v - в метрах.
Решение
Уравнение траектории в координатной форме
.
Положение точки при
Скорость точки .
Ускорение точки.
4). Частица грунта, слетающая с транспортера, движется с ускорением, проекции которого ax = 0, ау = g. Найти величину выдвига транспортера C, при котором частица упадет на расстоянии l = 7,5 м от борта баржи. Дано: H = 5 м; a = 30°; v0 = 3,5 м/с; g = 9,8 м/с2.
Решение
Найдем уравнения движения частицы
(1)
Постоянные интегрирования C1, C2 определяем, подставляя в 1) начальные условия ;. Так как, имеем
.
Учитывая, что , получимC3 = 0 и C4 = 0. Окончательно уравнения движения частицы M примут вид .Исключая t, находим уравнение траектории в координатной форме (2).
По условию задачи при x = l - с y = H. Подставляя в (2), имеем (3).
Решая квадратное уравнение (3) при заданных значениях l, H, a,v0, находим с = 3,85 м.
3 Кинематика твердого тела
Различают пять видов движения тела: поступательное, вращение вокруг неподвижной оси. Плоскопараллельное, сферическое, свободное.
При изучении движения твердого тела кроме кинематических характеристик отдельных точек вводят кинематические характеристики тела в целом.
Рассмотрим, как определяются кинематические характеристики тела и отдельных его точек для этих видов движения.
3.1 Поступательное движение твердого тела
Это такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе. Теорема: при поступательном движении все точки тела перемещаются по одинаковым траекториям и имеют в каждый момент равные (по величине и направлению) скорости и ускорения.
ИзAOB:
. (*)
Так как , то траектории точекA и B при наложении совпадают. Дифференцируя (*) по времени, имеем ;.
Теорема доказана.
Так как все точки движутся идентично. То в качестве кинематических характеристик тела достаточно задать кинематические характеристики любой его точки, т.е. задачи кинематики поступательного движения тела сводятся к задачам кинематики точки.