1.ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ (Основные понятия)

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у) є D сопоставляет одно и только одно число z є R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в Е, и записывается в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z — зависимой переменной (функцией).

Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х;у) | х > 0, у > 0}.

Функцию z = ƒ(х;у), где (х;у) є D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z = ƒ(х;у) в точке М0(х0;у0) обозначают z0=ƒ(хо;уо) или z0=ƒ(М0) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М0(х₀; у₀) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x₀;y₀;z₀), где z₀ = ƒ(х_о;у_о) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(x;у).

Например, функцияимеет областью определения круг х² + у² ≤ 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0;0;0) и радиусом R = 1.

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствуназывается-окрестностью точки М₀(х₀;у₀). Другими словами, -окрестность точки М_о — это все внутренние точки круга с центром М_о и радиусом 8 (см. рис. 206).

Пусть функция z = ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х₀ и у → у₀ (или, что то же самое, при М(х; у) → М₀(х₀; у₀)), если для любого є > 0 существует  > 0 такое, что для всех х ≠ х₀ и у ≠ у₀ и удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство | ƒ (х; у) — А| < є. Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М_о (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х → х₀ по двум направлениям: справа и слева!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число є>0, найдется -окрестность точки M_о(х_о;у_о), что во всех ее точках М(х;у), отличных от М_о, аппликаты соответствующих точек поверхности z=ƒ(х;у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на є.

Функция в точке О(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных значенияхК предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

 Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции ƒ (М) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М_о этого множества пределы А и В соответственно, то и функции ƒ(М) ± g(M), ƒ(М) • g(М), имеют в точке Мо пределы, которые соответственно равныА ± В, А • В,^A/_B (В≠0).

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 2-УХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если она: а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности, б) имеет предел, в) этот предел равензначению функции z в точке М_о, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенствот. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

3.Частные производные функций нескольких переменных

 При рассмотрении функции z=f(x,y) двух переменных мы уже рассматривали частные приращения. Мы можем найти предел отношения частного приращения к соответствующему приращению аргумента.

Определение: Частной производной функции z=f(x,y) по аргументу x называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента Dx, когда DxÞ0. ,

аналогично и по переменной y

, кроме того, частные производные могут обозначаться как:

.При вычислении частных производных по одной из переменных вторая переменная считается постоянной.

.Замечание:

частные производные могут вычисляться для всех независимых переменных функции нескольких переменных.

Можно предположить, что функции, получаемые в результате дифференцирования по одной из переменных, тоже будут являться функциями нескольких переменных.

Определение: частная производная от частной производной функции называется частной производной второго порядка.

Таких частных производных второго порядка для функции двух переменных будет уже четыре:

. Функция два раза подряд дифференцируется по x;

                                     здесь дифференцируется сначала по x затем по y ;

функция два раза подряд дифференцируема по y; функция дифференцируема сначала поy, затем по x.

Частные производные находят по правилам и формулам, аналогично формулам для обычных производных. Надо только помнить, по какой производной проводится диффере

нцирование, считать эту величину изменяющейся, а остальные - постоянными.

Теорема Шрарца

Предположим, что - некоторый-угольник, а функцияосуществляет конформное отображениена. Тогдаможно представить в виде

,

где - прообразы вершинна вещественной оси,- радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на(то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), аи- так называемыеакцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название - его называют интегралом Шварца - Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца - Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

4. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

называется градиентом функции , вычисленным в точке. Градиентобозначается такжеи.

Если частные производные существуют во всех точках области , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке, представляет собой вектор-функциюсо значениями в.

В некоторых точках градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точкебудут равны 0:

при всех 

Такие точки называются стационарными точками функции

ПРОИЗВОДНАЯ ПОНАПРАВЛЕНИЮ

производная по направлению — это обобщение понятия производнойна случайфункциинескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определениюпроизводной по направлению

5.экстремум функций 2-х переменных

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. Точка M₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек то точкаM₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.

А если же для всех точек то точкаM₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M₀ - точкамаксимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C₀ находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C₀, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C₀. В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M₀(x₀;y₀D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_x и z'_y, то

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C₀ на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Определение 1.12.

Если в точке M₀ выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀)D. Причем M₀ - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассма

6.

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение видагде— неизвестнаяфункция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той жеразмерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по. Число(порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называетсяпорядком дифференциального уравнения (1).

Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) каквремя, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная— некоторая величина (или совокупность величин, еслиявляется вектор-функцией), изменяющихся со временем. Например,может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описываетдвижение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменнаякомплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения видав которых старшая производнаявыражается в виде функции от переменныхи производныхпорядков меньшеТакие дифференциальные уравнения называютсянормальными или разрешёнными относительно производной.

В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.

Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раздифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своейобласти определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условиегде— некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), аи— соответственно, фиксированные значения функциии всех её производных до порядкавключительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называетсяначальной задачей или задачей Коши:

При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнения имеет единственное решение, определенное на некотором интервале оси времени, содержащем начальное значение(этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее первую производную y¢, т.е. уравнение вида

 F(x,y,y¢)=0 или y¢=f(x,y).                                    (1)

Решением дифференциального уравнения называется функция y=j(x), такая, что при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Задачей Коши называют задачу нахождение решения y=y(x) уравнения y¢=f(x), удовлетворяющего начальному условию . Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскостиXOY (рис. 2).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: пусть дано дифференциальное уравнение y¢=f(x;y), где f(x,y) определена в некоторой области Д плоскости XOY, содержащей точку , если функцияf(x,y) удовлетворяет условиям:

 а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области Д;

б) если f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в областиД, то найдется интервал , на котором существует единственное решениеy=j(y) данного уравнения, удовлетворяющее условию .

7.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и, в другую часть уравнения - только функции от,. Затем в полученномдифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.

8.Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

Подстановка ;;, гдепреобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

 , ,

 

 

Замечание. Функция называется однородной степени, если, где- некоторая константа. Например, функцияявл. однородной функцией степени два, поскольку

.А функция является однородной функцией нулевой степени однородности, так как

 .

Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают какгде- однородная функция нулевой степени однородности.

9. пределение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

• Метод вариации постоянной.

МЕТОД БЕРНУЛИ

Обыкновенное дифференциальное уравнениевида:

называется уравнением Бернулли (при илиполучаем неоднородное или однородное линейное уравнение). Приявляется частным случаемуравнения Риккати. Названо в честьЯкоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его братИоганн Бернуллив 1697 году.^[1]