UChEBNOE_POSOBIE_TEOR_POLYa_MY

Ю.Г. Репьев, Г.В. Поддубный, С.А. Попов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами всех форм обучения направления 140400 – Электроэнергетика и электротехника

Краснодар

2012

УДК 621.3.01(075.8) + 537.8(075.8) ББК 31.21я73 + 22.33я73

Р41

Рецензенты:

Б.Х. Гайтов, доктор технических наук, профессор (Кубанский государственный технологический университет),

В.А. Атрощенко, доктор технических наук, профессор (Кубанский государственный технологический университет)

Репьев, Юрий Георгиевич.

Р41 Теоретические основы электротехники. Основы теории электромагнитного поля : учебное пособие для самостоятель-

ного изучения студентами всех форм обучения направления 140400 – Электроэнергетика и электротехника / Ю.Г. Репьев, Г.В. Поддубный, С.А. Попов; ФГБОУ ВПО КубГТУ. – Краснодар : Издательский Дом – Юг, 2012. – 92 с.

ISBN 978-5-91718-211-7

Учебное пособие состоит из пяти практических занятий по основным темам основ теории электромагнитного поля и наборе задач по каждой теме для контроля усвоения материала. Учебная информация в каждом практическом занятии представлена в форме диалога в виде пронумерованных кадров. Предназначается для студентов электротехнических специальностей вузов.

	ББК 31.21я73 + 22.33я73
	УДК 621.3.01(075.8) + 537.8(075.8)
ISBN 978-5-91718-211-7	© Ю.Г. Репьев,
	Г.В. Поддубный,
	С.А. Попов, 2012
	2

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ..................................................................................................	4
Практическое занятие № 25
Расчет электрического поля с помощью теоремы Гаусса .....................	6
Практическое занятие № 26
Расчет стационарных электрических и магнитных полей ..................	19
Практическое занятие № 27
Метод зеркальных изображений.
Уравнения Лапласа и Пуассона ...............................................................	32
Практическое занятие № 28
Переменное электромагнитное поле в диэлектрике и
проводнике. Плоская электромагнитная волна ....................................	43
Практическое занятие № 29
Энергия и мощность электромагнитного поля .....................................	52
Приложение
Сборник задач для рубежного контроля ................................................	61

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для самостоятельного овладения практическими навыками расчета электромагнитного поля при изучении курса теоретические основы электротехники (ТОЭ).

На практических занятиях при изучении «Основ теории электромагнитного поля» студенты приобретают необходимые знания об основных методах расчета и физических процессах в электромагнитном поле. Одним из элементов процесса обучения является самостоятельное аудиторное решение задач по темам курса под руководством преподавателя. В учебном пособии собраны контрольные задачи, которые предназначены как для самостоятельной оценки степени усвоения изученного материала, так и для оценки знаний студентов со стороны преподавателя.

Контрольные задачи сгруппированы в соответствии с темами практических занятий по курсу «Основы теории электромагнитного поля»:

1)практическое занятие № 25 «Расчет электростатического поля с использованием теоремы Гаусса»;

2)практическое занятие № 26 «Расчет стационарных электрического и магнитного полей»;

3)практическое занятие № 27 «Расчет статических и стационарных электрических и магнитных полей методом зеркальных изображений и с помощью уравнений Лапласа и Пуассона»;

4)практическое занятие № 28 «Расчет электромагнитных полей»;

5)практическое занятие № 29 «Расчет энергии и мощности электромагнитного поля».

Учебное пособие может быть полезно:

–студентам бакалавриата и магистратуры;

–студентам очной и заочной форм обучения, изучающих ТОЭ;

–преподавателям вузов и техникумов, ведущих практические занятия по ТОЭ, для организации индивидуальной аудиторной самостоятельной работы студентов под контролем преподавателя;

–инженерно-техническим работникам, желающим овладеть навыками расчета электромагнитного поля.

Вкаждом из практических занятий учебная информация представлена в форме диалога в виде последовательности пронумерованных кадров.

Практические занятия начинаются с краткого изложения основных теоретических положений и алгоритма решения задач данного раздела.

Основу решения практического занятия составляет разбор решения задач по изложенному алгоритму и закрепление усвоенного алгоритма путем самостоятельного решения предложенных задач.

Вконце каждого практического занятия дана ссылка на основные рекомендуемые литературные источники.

4

В конце учебного пособия по каждому разделу предложены по 20 контрольных задач для рубежного контроля усвоения студентами учебного материала данного раздела. По теме практического занятия № 26 таких задач 40.

При сдаче решенной задачи для проверки ее решения преподавателем, рекомендуется принять во внимание следующие требования к оформлению:

1)решенная контрольная задача оформляется на отдельном листе, на котором должна стоять дата, фамилия с инициалами и номер группы студента;

2)основные положения решения должны иметь пояснения;

3)рисунки, графики, в том числе заданные условием, должны быть выполнены аккуратно в удобочитаемом масштабе;

4)вычисления должны быть сделаны с точностью до 3-й значащей цифры. При самостоятельном решении задач рекомендуется руководство-

ваться материалами соответствующего практического занятия. Для более углубленного изучения материала рекомендуется использовать основные учебники по курсу ТОЭ «Основы теории электромагнитного поля», рекомендованные преподавателем, ведущим этот предмет.

Учебное пособие имеет компьютерную версию.

5

1

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 25

ТЕМА: РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ГАУССА

2

Цель занятия

Научится рассчитывать электростатические поля неподвижных заряженных тел простой геометрической формы в линейных однородных средах с помощью теоремы Гаусса и закона Фарадея-Максвелла.

3

1. Электростатическое поле – поле системы заряженных тел, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.

Заряды тел, создающие поле, могут быть свободными Qсвб Кл (заряды в проводящих средах) или связанными Qсвз Кл (заряды в диэлектриче-

ских средах) и характеризоваться объемной ρ				Кл	,	поверхностной δ		Кл			,
			3				2
				м				м
или линейной τ	Кл	плотностью.
	м
Тогда, соответственно, заряд тела Q = ∫ ρdV ,						Q = ∫ δdS , Q = ∫ τdL .
			V			S	L
									4
2. Основные уравнения электростатического поля в
интегральной форме			дифференциальной форме
Теорема Гаусса
R
∫ DdS = ∑Qсвб				di ν D = ρ.
S
Уравнение Фарадея-Максвелла
R
∫ E d L = 0			rot E = 0 .

L

6

Уравнение связи			D = εaE = εrε0E ,
где D – электрическое смещение				Кл		; E – напряженность электриче-
				м 2
ского поля	B	; ε a –	абсолютная диэлектрическая проницаемость				Ф	;
	м						м
εr – относительная диэлектрическая проницаемость; ε0 – электриче-
ская постоянная ε0			= 8,85·10–12	Ф	.
				м

5

3. В поле заряженных тел простой формы, обладающих сферической, цилиндрической и плоской симметрией, можно выделить поверхности, все точки которых имеют одинаковые значения D и E (при εa = const ), направления которых совпадают с направлением элементар-

ной поверхности dS , по которой производится интегрирование в уравнении Гаусса.

Это позволяет рассчитать поле по уравнениям:

D = ∑Qсвб ;	E = ∑ Qсвб	= ∑ Qсвб + ∑ Qсвз .
∫ dS	εa ∫ dS	ε0 ∫ dS
S	S	S
4. В соответствии с уравнением Фарадея-Максвелла можно ввести
	R
скалярное поле потенциала ϕ B : ϕ = −∫ EdL + C .
	L
Разность потенциалов – напряжение между двумя точками в поле
b R R
Uab = ∫ EdL . Постоянная интегрирования C определяется из граничных

a

условий, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами.

6

При необходимости определения E = f (ϕ) используется уравнение,

вытекающее из предыдущего: E = – grad φ. В прямоугольной системе ко-

R	R	∂ϕ , E y = −	∂ϕ , Ez = −	∂ϕ .
ординат: E = i Ex + jE y + kEz , где Ex = −
		∂x	∂y	∂z

5. Граничные условия на границе раздела диэлектрик (εa1) – диэлектрик (εa2).

7

5.1 Равны тангенциальные составляющие векторов напряженностей E1τ = E2τ. Равны нормальные составляющие векторов электрического сме-

щения D

= D

. Из условий непрерывности потенциала следует ϕ = ϕ

2

.

1n

2n

1

Связанный заряд на границе раздела

σ

свз

=

P

− P

=

(D

− ε

E

) − (D

− ε

E

)

=

ε

0

(ε −1)E

− ε

0

(ε

2

−1)E

.

1n

2n

1n

0 1n

2n

0 2n

1

1n

2n

7

Граничные условия на границе диэлектрик (εa ) – проводник (γ).

6. Внутри проводящего тела поле отсутствует, а линии напряженности поля в диэлектрике перпендикулярны поверхности границы

E= En (D = Dn ).

6.1Величина вектора электрического смещения определяется плот-

ностью

свободных

зарядов на

поверхности

проводящего

тела

D = Dn

= εr E = εr En

= σсвб .

Все

точки

проводящей среды равнопотенциальны ϕ = const .

Плот-

ность

связанного

заряда

диэлектрика

на

границе

σ

свз

= D − ε

0

E

n

= ε

0

(ε

r

−1)E

n

. Емкость изолированного тела C = ∑

Q

свб .

n

ϕ

Емкость двух тел C = ∑ Qсвб . При наличии системы заряженных тел

Uab

влинейных средах (εa = const) поле рассчитывают, используя принцип

наложения: поле системы зарядов равно сумме полей каждого из зарядов.

8

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ.

Установив вид симметрии поля, по заданному заряду с помощью теоремы Гаусса найти распределение D или E в пространстве (см. кадр 5).

1.Определить распределение потенциала в пространстве с помощью уравнения Фарадея-Максвелла (см. кадр 5).

2.Определить постоянные интегрирования в выражении потенциала, используя граничные условия (см. кадры 6, 7).

Примечание. Если задан потенциал тела или напряжение между телами (а не его (их) заряд), то решение по п.п. 1–3 алгоритма вести в общем виде с последующим определением заряда.

3.Рассчитать при необходимости связанные заряды на границе сред (см. кадры 6, 7) и емкость тел (см. кадр 7) по найденным характеристикам

D , E , ϕ .

8

9

ЗАДАЧА 1 Рассчитать электростатическое поле, т.е. определить закон изменения

напряженности E и потенциала ϕ внутри (εr1 = 2) и вне (εr2 = 1) шара, из-

готовленного из диэлектрика, радиуса r

=10−2

м с равномерной объемной

0

плотностью заряда в нем ρ = 3ε0

Кл

. Потенциал в центре шара равен нулю.

м3

Изобразить картину поля. Построить графики D(r ), E(r ),

ϕ(r ).

Определить емкость шара. Найти поверхностную плотность связан-

ного заряда на поверхности шара.

10

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1

1.

Поле заряженного шара обладает сферической симметрией,

т.е.

на сферах радиуса r

электрическая индукция D (напряженность E )

по-

стоянна и перпендикулярна ее поверхности.

Тогда по теореме Гаусса для сферы радиуса r (см. кадр 5)

D = ∑ Qсвб

= ∑ Qсвб

;

E =

∑Qсвб

.

Sсферы

4pr 2

ea 4pr2

Полный заряд сферы радиуса r :

–

внутри шара (r < r0 ) ∑ Qсвб (r ) = ∫ rdV = r

4

pr3 ;

V

3

–

вне шара (r > r

)

∑Q

(r ) = ρ

4

πr3 .

0

свб

3

Расчет поля:

–

внутри шара

(r < r )

(r ) =

r

4

pr3

= e

r = 8,85 ×10−12 × r

Кл

,

D

3

0

0

1

4pr 2

м2

E1(r)

=

D1

=

0,5r

B

;

er1

× e0

м

–

вне шара

(r > r )

D (r ) =

r

4

pr03

= e0 ×10−6 =

8,85×10−18

Кл

,

3

0

2

4pr 2

r 2

r 2

м2

9

E2 (r) =	D	=	10−6			B
	1				.
	er2 ×e0			r 2		м

11

2. Распределение потенциала электростатического поля вокруг заряженного шара:

– внутри шара

j1(r) = -∫

R R

+ C1 =(- 0,25r2 + C1)B ;

E1dr + C1 = - ∫ 0,5rdr

–

вне шара

j (r ) = -

R

R

10−6

1

10

−6

∫

E

2

dr

+ C

2

= -

∫

dr + C

2

=

+ C

2

B .

2

2

r

r

3.

Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 восполь-

зуемся граничными условиями. Внутри шара по условию задачи при r = 0

ϕ1 = 0 . Следовательно, C1 = 0 , а j1(r ) = -0,25r 2 B . Вне шара по условию непрерывности потенциала при переходе границы раздела двух диэлектриков (см. кадр 7)

ϕ

(r ) = ϕ

2

(r )

;

- 0,25 ×10−4 =

10−6

+ C ;

1

0

0

10−2

2

10

−6

C

2

= -1,25 ×10−4 B ;

j

(r ) =

-1,25 ×10−4 B .

2

r

12

4. Емкость шара определяется величиной полного заряда шара и

	∑ Q (r )				r×	4	pr03	−12
						3
	свб	0
потенциалом его поверхности C =	j1(r0 )			=	- 0,25r2			= 4,44 ×10	Ф .
						0

Связанный заряд на поверхности шара на границе раздела диэлектриков

	e r1	(см. кадр 6)
	e r 2

d= (D1n - e0E1n )- (D2n - e0E2n ) = e0[E1(e1r -1)- E2 (e2r -1)] =

=e0E1 = e × 0,5r0 = 4,43×10−14 Клм2 .

10