VARIANT-po-LAAG
.pdfВАРИАНТ 1
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x 2 y z 1;
2x 3y 2z 5;3x 4z 11.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разложить вектор d |
|
a |
, b |
и c , если |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9; 8; 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
a |
3;3; 5 , b |
2; 3;4 , c |
3;1;8 , d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется найти: |
|||||
Дано разложение векторов a |
и b по векторам |
p и q |
||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
; |
|||||||||||||||
a |
и b |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|
|||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
p q |
, b |
p |
2q , |
p |
2 , |
q |
|
1, p^ q |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 3; 2; 5 ; B 5; 4; 1 ; C 4; 3;2 ; D 1;1; 3 .
№ 5. |
Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с |
||
данной плоскостью . |
|
||
2x y z 3 0; |
: x 2y z 8 |
0. |
|
: |
4z 11 0. |
||
x |
|
|
|
№ 6. |
Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости . |
M 1;0;1 , : 4x 6y 4z 25 0 .
№ 7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3) точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 4; 5 ; B 6; 3 ; C 0; 5 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F 0; 3 и прямой y 5 .
14
ВАРИАНТ 2
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x 2 y 2z 1;
2x 3z 4;x y 3z 4.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
|
|
1; 2;1 , |
||
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c , если |
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9; 1; 26 . |
|
|
|
|
|
|
|||
b |
0; 1; 3 , c 5; 2;9 , d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется найти: |
||||
Дано разложение векторов a |
и b по векторам |
p и q |
|||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||
a |
и b ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 p q |
, b |
p 2q , |
p |
1, |
q |
3 , p^ q |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 2; 1; 4 ; B 4; 3;0 ; C 3; 2;3 ; D 0;2; 2 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
x 2 y 2z 1 0;
: : x z 4 0.3x y 5z 14 0.
№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно прямой .
M 0; 3; 2 , |
: |
x 1 |
|
y 1,5 |
|
z |
. |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
№7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 3; 4 ; B 5; 2 ; C 1; 4 .
№8. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x 1 в два раза меньше расстояния до точки F 4;0 .
15
ВАРИАНТ 3
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x 2 y 1;
5x 4 y z 7;
3x 7 y z 12.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
|
|
2;5;9 , |
|||||
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c , если |
a |
||||||||||||||||
|
0; 5;2 , |
|
|
|
|
8; 12;13 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
c |
3;1;1 , d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется найти: |
||||||
Дано разложение векторов a |
и b по векторам |
p и q |
||||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
||||||||||||||||||
a |
и b ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
||||||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
3p q |
, b |
p q , |
p |
1, |
q |
|
2 , p^ q |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 1;0; 3 ; B 3; 2;1 ; |
C 2; 1;4 ; D 1;3; 1 . |
|
|
№ 5. |
Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с |
||
данной плоскостью . |
|
||
3x y 3z 10 0; |
: x 2y 3z 14 |
0. |
|
: |
|
||
|
2x 5y z 15 0. |
|
|
№ 6. |
Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости . |
M 1;0;1 , : 2x 6y 2z 11 0 .
№7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 2; 3 ; B 4; 1 ; C 2; 3 .
№8. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x 4 в два раза больше расстояния до точки F 1;0 .
16
ВАРИАНТ 4
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x y 3z 4;4x 3y 1;
5x 2 y 7z 7.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c , если |
a 0;9; 2 , |
|||||||||||||||
|
1; 3;7 , |
|
|
|
5; 2;19 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
c 4;1;0 , |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 3. |
Дано разложение векторов |
|
. Требуется найти: |
||||||||||||||||
a |
и b по векторам |
p и |
q |
||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||
a |
и b ; |
||||||||||||||||||
2) косинус угла между векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
и b . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
p 3q |
, b |
p 2q , |
p |
|
3 , |
q |
1, p^ q |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№4. По координатам вершин пирамиды ABCD найти:
1) угол между ребрами AB и AD ;
2) площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3) объем пирамиды ABCD ;
4) длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ; 5) уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ; 7) угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 0;1; 2 ; B 2; 1;2 ; C 1;0;5 ; D 2;4;0 .
№5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
3x 4 y z 8 0; |
: 7x y 2z 3 |
0. |
|
: |
|
||
2x 4 y 3z 3 |
0. |
|
|
№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно прямой .
M 2; 1;1 , |
: |
x 4,5 |
|
y 3 |
|
z 2 |
. |
|
|
0,5 |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
№7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 1; 2 ; B 3;0 ; C 3; 2 .
№8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F 0; 2 и прямой y 4 .
17
ВАРИАНТ 5
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
2x 3y 8z 11;3x 4 y 5z 3;2x 3y 6z 13.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разложить вектор d по базису трех векторов |
a |
, b |
и c , если |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9; 2; 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1;9; 6 , b |
2; 3;1 , c |
2;1;2 , d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по векторам |
|
|
. Требуется найти: |
|||||
Дано разложение векторов a |
и b |
p и q |
|||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
; |
||||||||||||||||
a |
и b |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a |
и b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|
||||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 p q |
, b 2 p q , |
p |
3 |
, |
q |
2 , p^ q |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 1;2; 1 ; B 1;0;3 ; C 0;1;6 ; D 3;5;1 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
2x 3y z 5 0;
: : x 4y 5z 8 0.3x 7 y 9z 10 0.
№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости .
M 0;2;1 , : 2x 4y 3z 0 .
№ 7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 0; 1 ; B 2;1 ; C 4; 1 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x 1 в два раза меньше расстояния до точки
F 4;0 .
19
ВАРИАНТ 6
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x z 3;
2x 3y 2z 3;3x y 4z 10.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
|
|
1;3; 2 , |
|||||||
|
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c , если a |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 0; 3;4 , c |
1; 2;5 , d 1; 2;0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется найти: |
||||||||||
|
Дано разложение векторов a |
и b по векторам |
p и q |
||||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||||
a |
и b ; |
||||||||||||||||||||
2) косинус угла между векторами |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a p 2q |
, b |
2 p q , |
p |
2 |
, |
q |
3 , |
p^ q |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ 4. |
|
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ; 4) длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 2;3; 7 ; B 0;1; 3 ; C 1;2;0 ; D 4;6; 5 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
2x 3y z 5 0;
: x y 3z 12 0. : 6x 2y 3z 7 0.
№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно прямой .
M 1;1;1 , |
: |
x 2 |
|
y 1,5 |
|
z 1 |
. |
|
2 |
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
№7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 1;0 ; B 1;2 ; C 5;0 .
№8. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x 4 в два раза больше расстояния до точки
F 1;0 .
20
ВАРИАНТ 7
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
2x y 3z 5;x 2 y 3z 3;x 2 y 2z 7.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
, если |
|
|
|
|||
|
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1;1; 2 , |
b 2; 3;1 , c 1;2; 2 , d 3; 12;5 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по векторам |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано разложение векторов a |
и b |
p и q . Требуется найти: |
|||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
; |
|||||||||||||||
a |
и b |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|
|||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 p q |
, b |
p 3q , |
p |
1, |
q |
2 , p^ q |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
|
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 3; 3; 6 ; B 1; 5; 2 ; C 2; 4;1 ; D 5;0; 4 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
2x y z 3 0; |
: x 3y z 4 |
0. |
|
: |
y 2z 3 0. |
||
x |
|
|
|
№ 6. |
Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости . |
M 2;1;0 , : y z 2 0 .
№ 7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 2;1 ; B 0;3 ; C 6;1 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F 0; 1 и прямой y 3 .
20
ВАРИАНТ 8
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
3x 2 y 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y z 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y z 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
5;2; 5 , |
||||||||
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c , если a |
||||||||||||||
|
6; 3;7 , |
|
|
|
17; 11;14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
c 3;2;1 , d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется найти: |
|||||
Дано разложение векторов a |
и b по векторам |
p и q |
|||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||
a |
и b ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a и b ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
p 2q |
, b |
3 p q , |
p |
|
3 , |
q |
4 , p^ q |
2 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 3;2; 3 ; B 1;0;1 ; C 2;1;4 ; D 5;5; 1 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
x y 2z 9 0; |
: x 4z 13 0. |
|
: |
|
|
2x 3y z 7 |
0. |
|
№ 6. |
Найти точку P , симметричную точке M относительно прямой . |
||||||
M 1;2;3 , : |
x 0,5 |
|
y 1,5 |
|
z 1,5 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
1 |
1 |
|
||
№ 7. |
Даны вершины треугольника ABC . Найти: |
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 4;2 ; B 6;4 ; C 0;2 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x 2 в два раза меньше расстояния до точки F 8;0 .
21
ВАРИАНТ 9
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x 2 y 3z 7;2x 3y z 1;x 4 y 3z 1.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3;9;2 , |
|||
Разложить вектор d по базису трех векторов |
a |
, b |
и c , если a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6;4;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
1; 1;1 , c |
3;1;2 , d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
по векторам |
. Требуется найти: |
|||||||||
Дано разложение векторов a |
и b |
p и q |
|||||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||
a |
и b ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a |
и b ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
|||||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
3p 2q |
, b |
p q , |
p |
3 , |
q |
|
1, p^ q |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 2;1; 4 ; B 0; 1;0 ; C 1;0;3 ; D 4;4; 2 .
№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .
2x y z 1 0; |
: 2x 3y z 7 |
0. |
|
: |
|
||
x 3y 4z 7 |
0. |
|
|
№ 6. Найти точку P , симметричную точке M относительно плоскости .
M 1;2;0 , : 4x 5y z 7 0 .
№ 7. Даны вершины треугольника ABC . Найти:
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 3;3 ; B 5;5 ; C 1;3 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой x 8 в два раза больше расстояния до точки F 2;0 .
22
ВАРИАНТ 10
№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
1)найти ее решение с помощью формул Крамера;
2)записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.
x y 3z 6;4x 3y 7;
5x 2 y 7z 11.
№ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
по базису трех векторов |
|
|
|
|
|
1;3;5 , |
||
Разложить вектор d |
a |
, b |
и c , если a |
|||||||||||||
|
1; 3;2 |
|
0;5;9 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
, c |
d 2; 16; 7 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Требуется найти: |
||||
Дано разложение векторов a |
и b по векторам |
p и q |
||||||||||||||
1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
||||||||||||||
a |
и b ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) косинус угла между векторами a и b ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|
|
||||||||||||||
a |
и b . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
p q |
, b |
2 p q , |
p |
1, |
q |
3 , p^ q |
3 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 4. |
По координатам вершин пирамиды ABCD найти: |
|
|
|
|
1)угол между ребрами AB и AD ;
2)площадь треугольника ABC - основания пирамиды;
3)объем пирамиды ABCD ;
4)длину высоты пирамиды ABCD , опущенную из вершины D ;
5)уравнение плоскости ABC ;
6)уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC ;
7)угол между ребром AD и плоскостью основания ABC .
A 1;0; 5 ; B 1; 2; 1 ; C 0; 1;2 ; D 3;3; 3 .
№ 5. |
Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с |
|||||||
данной плоскостью . |
|
|
||||||
2x y z 7 0; |
|
: x 2y 4z 9 0. |
||||||
: |
2 y 4z 15 |
|
||||||
x |
0. |
|
|
|
|
|||
№ 6. |
Найти точку P , симметричную точке M относительно прямой . |
|||||||
M 1;0; 1 , : |
x 3,5 |
|
|
y 1,5 |
|
z |
. |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
№ 7. |
Даны вершины треугольника ABC . Найти: |
1)уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2)точку пересечения высоты hA и стороны BC ;
3)точку пересечения медиан треугольника ABC .
A 2; 5 ; B 4; 3 ; C 2; 5 .
№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F 0;0 и прямой y 2 .
23