Лиопо В.А. - Сборник задач по кристаллографии (2000)

	1		−		3		0					−	1		−		3	0
																					−
	2				2								2				2						1 0 0
	3			1			0						3			−	1	0				0 − 1 0
	2			2						,			2				2
							1											1				0		0	1
	0			0									0			0
	−		1		3		0						1				3
			2		2													0
													2				2				1			0 0
			3		1
	−			−			0					−		3			1	0				0		1 0
			2		2									2			2
																		1				0		0 1
	0				0 1								0				0
				−	a		0									1		3				0
		a			2											a		3a
М=			0		3	a 0					, М			-1				2 3				0
				2											= 0			3a					,
			0		0		c									0		0				1
																						2

следовательно, группа 6 в кристаллографическом базисе в матричном представлении запишется:

1		− 1 0		0		− 1		0		− 1			0 0				− 1 1		0
	1	0 0			1	− 1		0			0		−	1 0				− 1 0	0		,
				,					,								,
	0	0 1			0	0		1			0		0 1					0 0	1
						0	1		0		1		0	0
						− 1 1		0				0	1	0
											,				.
						0	0		1			0	0	1

41

Задача 31.

Оператор симметрии (е), действуя на узел [[xyz]], может привести его только в узел [[q r s]], где q r s N. В качестве исходного узла возьмем [[111]], тогда

				1				3			0																−	a	0
	q												C												a							1
				a				3a									C				C							2
	r			0			2 3				0			C	11				12			13				0	a 3		0
			=					3a							21		C22				C23							2				1 .
	s										1			C	31		C32				C					0
				0				0														33						0 c				1
											c
Отсюда																									c
	C		3C		+		C13		c	+	3		(C21		+	3C22 )				+	3		C23					q
	11		2	12					a		6										3
																									a
						3		(C21		+ 3C22 ) +					2 3			C33		c							=	r .
					3											3				a
											a																	s
								C33 +				(C31 +				3C32 )
											2c

Так как а и с независимы, то С13 = С23 = С31 = С32 = 0 , а С33 = ± 1. Следовательно,

	(C11 +		C22 ) +		3(C12 +				C21 ) =		2g
									3
					3
			C22	+		C21 =			r
					3
кроме того, С11 С22 - С21 С12 = ± 1. (Det = ± 1)
		2	2		2	C	2	+	2	= 1,
		C11 +	C12 =	C11 +					C21
		C122 + C222 = C221 + C222 = 1.

Отсюда следуют значения Сij

42

						±	1	±	3	0
±
	1	0	0				2		2
	0	± 1	0			±	3	±	1	0
					,						.
	0	0					2		2
			± 1				0		0	± 1

Таким образом, в рассматриваемом кристалле могут встречаться следующие операции

1	1			0		0				Поворот вокруг 1
		0		1		0
		0		0		1
2	−		1		0			0		Поворот вокруг 2z
		0			− 1			0
		0			0			1
3	−		1		0		0			Поворот вокруг 2у
		0			1		0
		0			0		−
								1
4	1				0		0			Поворот вокруг 2х
		0		−	1		0
		0			0		−
								1
5	−		1		0		0			Отражение в mx
		0			1		0
		0			0		1
6	1				0		0			Отражение в my
		0		−	1		0
		0			0		1
										43

7.	1			0			0					Отражение в mz
		0		1			0
		0		0
						− 1
8	−		1		0			0				Отражение в центре симметрии
			0	−		1		0
			0		0
								− 1
9.			1		−			3	0			Поворот вокруг оси z на 600
			2				2
			3				1		0
			2				2
									1
			0				0
10.		−	1		−			3	0			Поворот вокруг оси z на 1200
			2				2
			3			−	1		0
			2				2
									1
			0				0
11			−	1				3	0			Поворот вокруг оси z на 2400
				2				2
			−	3			−	1	0
				2				2	1
			0					0

44

12				1			3	0			Поворот вокруг оси z на 3000
				2			2
			−	3			1	0
				2			2
								1
				0			0
13				1			3				Инверсионный поворот
				2	−		2		0		на 2400 вокруг оси z
				3			1		0
				2			2
				0			0	− 1
14				1			3				Инверсионный поворот
				2			2	0			на 1200 вокруг оси z
		−		3			1	0
				2			2
								−
				0			0		1
15				1			3				Инверсионный поворот на 600
			−						0		вокруг оси z.
				2			2
		−		3		−	1		0
				2			2	−
				0			0		1
16				1			3				Инверсионный поворот
		−		2	−		2		0		на 3000 вокруг оси z
				3	−		1		0
			2				2
								−
			0			0			1
											45

17			1			3						Поворот вокруг 2, лежащей в
			2		−	2				0		плоскости ху под углом 600 к оси х
		−	3		−	1				0
			2			2			−
			0			0				1
18			1			3						Поворот вокруг 2, лежащей в
		−			−					0		плоскости ху под углом 1200 к оси х
			2			2
		−	3			1				0
			2			2
									−
			0			0				1
19			1		3							Поворот вокруг 2 , лежащей в
		−	2		2		0					плоскости ху под углом 2400 к оси х
			3		1		0
		2			2
						−
		0			0		1
20		1			3							Поворот вокруг 2 , лежащей в
		2			2		0					плоскости ху под углом 2400 к оси х
			3	−	1		0
		2			2
						−
		0			0		1

46

21			1			3				Отражение в плоскости , проходящей
		−	2	−		2		0		через z под углом 600 к оси х
			3		−	1		0
			2			2
			0			0		− 1
22			1			3				Отражение в плоскости , проходящей
			2		2		0			через z под углом 1200 к оси х
			3	−		1	0

2

0

20 1

23			1		3			Отражение в плоскости ,
			2	−	2	0		проходящей через z			под
								углом 240	0	к оси х
		−	3	−	1	0
			2		2	1
			0		0
24			1		3			Отражение в плоскости ,
		−		−		0		проходящей через z			под
			2		2			углом 300	0	к оси х
		−	3		1	0
			2		2
						1
			0		0

Задача 32.

Исходная точка [[111]] после преобразования переходит в [[qst]], тогда (см. задачу 31)

47

	1
	2
	3
	2
	0

−	3	0
	2
	1	0
	2
		1
	0

				1
		q		a
				0
		s	=
		t
				0
		a	bcos γ
		0	bsin γ
		0	0

−

–tgγ

cos α

cos α

−

cosβ

a

a sin γ r

cosβ

1

cos γ − cos α

b sin γ

d sin γ r

sin γ

0

cr

ccosβ

1

c

1

,

sin γ

(cosα

− cosβ cosγ

)

1

cr

sin γ

следовательно,

	b cos γ + cos β		3			c
1 a +		−					(cos α − cos β cos γ )
					b sin γ +			-
a	2		2			sin γ

- –tgγ

3 (a +

bcos γ +

ccosβ ) + 1 bsin γ +

c

(cosα −

+

cosβ cos γ )

a

2

2

sin γ

+

c(cos γ cos α

−

cos β )

=

q .

a sin γ 2

1

3 (a +

b cos γ +

c cosβ ) + 1 b sin

γ +

c

(cos α − cos β cos

γ )

+

bsin γ

2

2

sin γ

+

(cos β

cos γ −

cos α )c

=

s ,

b sin 2

γ

q, s N (N - множество целых чисел).

На

параметр с никаких ограничений не накладывается, а,

так как парамет-

ры

а и с, в и с независимы, то cos β

= cosα

= 0.

Отсюда

48

	a +	b cosγ	(1−	3ctgγ ) − bsin γ ( 3 + ctgγ ) = q,
		2a		2a
	a +
		b cosγ	3 +	1 = S.
	2b sinγ			2

Итак, а = b, γ = 1200 или а1 = b1, γ 1 = 600.

Следовательно, параметры ячейки кристалла должны удовлетворять условию а = b, α = β = 900, γ = 1200 (гексагональная сингония).

Задача 33.

Исходный узел [[111]] после преобразования имеет вид [[gst]] (см. задачи 31 и 32) gst — все целые.

Метрические тензоры (М) и (М-1) кубических кристаллов имеют вид:

	а		0	0			1		0 0
(М) =		0 а		0	, (М-1)=		а		1		,
							0			0
									а
	0		0	а						1
							0		0
										а
то есть					g						1
						s		=	(M− 1)(c)(M)			1	,
						t
												1

или			+		+			=
	c			c		c			g,
	11			12		13
	c21 + c22 + c23 = s,
	c		+	c	+	c		=	t,
	31			32		33
кроме того,	∑3	Cij2 = ∑3
						Cij2 = 1,
	i= 1				j= 1
отсюда сij = 0, ± 1,-1.		dеt( c) = ±					1,
				49

Следовательно, (сij) может принять вид (знаки могут быть любые)

± 1		0		0			± 1		0	0			0		± 1 0
	0	± 1 0				,		0	0			,		± 1	0	0		,
										± 1
	0	0	±					0	± 1 0					0	0
				1												± 1
0		± 1 0					0		0	± 1			0		0	± 1
	0	0	±			,		± 1	0	0		,		0	± 1 0
				1													.
	± 1	0		0				0	± 1 0					± 1	0	0

Группа m3m, ее порядок 48.

Задача 34.

Исходная точка [[111]] после преобразования [[gst]].

Следовательно (см. задачи 32 и 33),

− 1

g

0

0

1

s

=

(M−

1)

1

0

0

(M)

1 .

t

0

0 1

То есть

1

1

c

g = −

(b sin γ

+

(cos α

−

cosβ

cos γ )) -

a

sin γ

−

cosγ

(a +

bcosγ

+

c cos β

) +

c

cosγ

cosα −

cos β

,

asinγ

sinγ

a sinγ

s =

1

(a +

b cos γ

+ c cosβ ) +

(cosβ cos γ − cos α

)c .

bsin γ

bsin 2 γ

Этим условиям удовлетворяют значения а = b, α = β = γ = 900, то есть это - тетрагональные кристаллы.

Задача 35.
Группа 3m в Н-установке (γ										= 1200) имеет вид (см. задачу 30):
	0		− 1	0		− 1 1		0		−	1	1	0		0		− 1 0
3m		1	− 1	0			− 1 0	0			0	1	0			− 1	0	0
		0	0 1				0 0	1			0	0	1			0	0	1
										50