Лиопо В.А. - Сборник задач по кристаллографии (2000)

cos*

cosα

(0) −

cosα

(0)

cosα 0(*)j

=

j+ 1

j+

2

j

или

sin α j+(0)1

sin α

j+(0)2

sin α

0(*)

=

r (0)

, а также

j

sin

α j+(0)1 sin α j+(0)2

a 0(*)j =

a*(j+ 0)1 a*(j+

0)2 sin 2*(0)j

,

V*(0)

0, * - индексы прямой и обратной решеток соответственно.

V0(*)

=

det

M0(*)

-

объемы

соответствующих

ячеек.

a10(*) =

a10(*) ,

a10(*)

=

b10(*) ,

a30(*)

=

c0(*) , α

10(*) =

α 0(*) ,

α 02(*) =

β

0(*) ,

α

30(*) = γ 0(*) , a j+

3 = a j ,

α j+ 3

=

α j

и в прямой и в обратной решетках.

Следовательно:

М =

10,0

−

5,8

0

М− 1 =

0,1

0,04

0

0

16

0

,

0

0,06

0

, отсюда

0

0

20

0

0

0,05

0

3

, V

*

.

-4

0 -3

.

V = 10х16х20 = 3200 A

= 0,1х0,06х0,05 = 3 10

A

а*=

bcsin α

, b*= ca sin β

, с*= ab sin γ

, α *= arcsin

(r)

,

sin β sinγ

V

V

V

γ *= arcsin

(r)

, но здесь r = sinγ .

sin α

sin β

Отсюда а*=

17 20

=0,106

0

0

-1

0

-1

, α *=β

*=90

о

,

3200

A , в* = 0,063 A

, с* = 0,05 A

γ *=70о.

61

Задача 49.

Объемы ячейки решетки (V) и ячейки обратной решетки V*

(см. задачу 48) равны V = a b c r, V* = a* b* c* r*, причем VV* = 1.
r =	(1− cos2 100 − cos2 90 − cos2 104 +	cos100 cos 90 cos104)1 2 = 0,95 .
	0	0
	V =332.5 A , V* = 3 10-3 A -3.

Задача 50.

Параметры обратной ячейки ромбоэдрического кристалла (тригональная синтония в R - устройстве) (см. задачу 48) равны

cos 2 α − cos α

(1− 3cos2 α + 2 cos3 α

1

)

α * = β * = γ * = аrccos

= arcsin

2

sin 2 α

sin 2 α

а* = в* = с* =

sin α

.

a(1−

3cos2 α

+

2 cos3 α

1

)

2

Для ромбического кристалла

а* = 1/а, b* = 1/b, с* = 1/с. α * = β * = γ * = 90о.

Задача 51.

Параметры обратной решетки (см. задачу 48) равны:

0	0	0
а* = 0,154 A -1, b* = 0,137 A -1, c* = 0,100 A -1,

α * = 64,2о, β * = 88,0, γ * = 77,8о

0

(r = 0,766, V = 540,77 A 3).

Задача 52.

(см. задачи 48 и 51)

0

r = 0,8633; V = 532,54 A 3;

0 0 0

а* = 0,157 A -1; b* = 0,139 A -1; с* = 0,101 A -1; α * = 62,4о, β * = 79,8о, с* = 79,8о.

Задача 53.

62

В соответствии с правилами перехода от кристаллографического (КГ) базиса к кристаллофизическому (КФ) (см. задачу 28) запишем условие

x

x

y

,

= (M)

y

z

КФ

z КГ

где (M) - метрический тензор решетки, который по условию

x

5,2

− 1,7

0

x

=

0

8,1

0

y

y

0

0

10,2

z

КФ

z КГ

1 2

!

2,0 A

1)

1 3

!

;

2,7 A

1 4

!

КГ

2,6 A

КФ

0,83

!

2,74 A

2)

0,92

!

;

7,45 A

0,03

!

КГ

0,31A

КФ

−

0,893

0,107

−

!

0,72 A

3)

−

0,252

=

0,748

=

!

6,06 A

.

−

0,438

0,562

!

КГ

КГ

5,73A

КФ

Задача 54.

Метрический тензор прямой (М) и обратной (М-1) решеток имеет вид (см. задачу 48)

63

	5,2		− 3,8	0,4
M =		0	7,4	4,5
						,
		0	0	7,6
	0,19		0,10	−	0,05
M− 1 =		0	0,14	−	0,06			,
		0	0		0,13
объемы ячеек равны:
					0
						3,
прямой решетки - V = 5,2 ×7,4 ×7,6 = 294,4 A
обратной решетки - V− 1 = 3,42 ×10−			0
			3 A -3.

Задача 55.

Формулы расчета параметров обратной решетки по известным

параметрам прямой решетки приведены в задаче 48.

Объем ячейки прямой решетки равен

cosβ cos γ )1 2 ,

V =

abc(1−

cos2 α −

cos2 β −

cos2 γ +

2 cos α

0

то есть V = 294,4 A 3 (см. задачу 54).

То есть

b c sin

α

0 -1

a*

=

= 0,33A

,

V

b* =

0

0

-1,

0,21A -1,

c* = 0,13A

α

* = 102,40 , β * =

99,00 , γ * = 61,30 .

Задача 56.

0

Объем

ячейки

прямой

решетки V

равен

V =

385,4 A 3, обратной

решетки - V* =

V− 1 =

2,59 10− 3

0

A -3.

a* =

0

0

c* =

0

0,12 A -1, b* = 0,24 A -1,

0,09 A -1,

α * = 900 , β * = 900 , γ * = 87,50 .

64

Задача 57.

Точечная группа 23 описывает кубическую решетку, в которой

0

a = b = c , a* = b* = c * , то есть b* = 0,13A -1.

Задача 58.

Базисные векторы в ромбической решетке для ячеек I-типа и Р- типа приведены соответственно на рис. 58(а) и 58(б), из которых видно, что метрический тензор для ячейки I-типа имеет вид:

	a		0	0			6,2		0	0
MI =		0	b	0		=		0	7,4	0		,
		0	0	c				0	0	8,6

а для ячейки Р-типа запишется в форме
	6,2		0	3,1
MP =		0	7,4	3,7
					.
		0	0
				4,3

а

б

Рис. 58

65

Для перехода от (xyz) I(КГ) к (xyz) P(КГ)										надо использовать урав-
нение					x				x
										,
					y	= MP− 1MI			y
					z P(KГ)				z I(KГ)
где MP− 1	- обратный метрический тензор для ячейки P -типа. Следова-
тельно,						−
	x		0,161		0		0,116		6,2	0	0		x
		=		0	0,135	−	0,116		0	7,4	0			,
	y												y
				0	0		0,232		0	0	8,6
	z P(KГ)												z I(KГ)

или

	x		1,0		0
		=		0	1
	y
				0	0
	z P(KГ)

Следовательно,

а) 1 1 1 (001) ≡( 000) ≡( 111) ;

2 2 2 I(KГ)

б) (0,33;0,42;0,18) I(KГ) ( 0,15;0,24;0,36)

(KГ)

−1,0 x

−1,0 y

2,0 z

P(KГ) ;

.

I(KГ)

	1 1 1				1	.
в)				0,0,
	4 4 4 I(KГ)				2	P(KГ)

Задача 59.

Матричное представление точечной группы 43m (д) имеет вид:

0 0			1			0		0	− 1			0		0	1			0 0			− 1			0 1			0
	1	0	0		,		− 1 0		0		,		− 1	0	0		,		1	0	0		,		0	0	1		,
	0	1	0				0	1	0				0	− 1 0					0	− 1	0				1	0	0
															66

0 1				0			0 − 1				0			0		− 1 0					− 1 0 0
	0 0					,		0		0	1		,		0						0 − 1 0							,
				− 1												0 − 1				,
	− 1 0			0				− 1 0			0				1	0	0				0	0 1
− 1 0				0			1 0				0			1		0 0			0		1 0					0		− 1 0
	0 1			0		,		0 − 1			0		,		0	0 1		,		1	0 0		,		−		1 0 0
																													,
	0 0							0 0 −							0	1 0				0	0 1					0		0 1
				− 1							1
0 1				0			0 − 1				0			0		0 1			0		0 1							0 0 − `1
	− 1 0			0		,		1 0			0		,		0	1 0		,		0	− 1 0				,			0 1 0			,
	0 0							0 0 −							1	0 0				− 1 0			0					− 1 0 0
				− 1							1
0 0				− 1			− 1 0				0			− 1		0 0					1 0			0
	0 − 1			0		,		0 0 −					,		0	0 1												,
											1									,	0 0 − 1
	1 0			0				0 1			0				0	− 1 0					0 − 1 0
1		0	0
	0	1	0
				.
	0	0	1
Для расчета правильной системы точек (x)S																					необходимо использовать
условие														(x)S = G( x) ,
где (x)
			- начальная точка.
(xyz) ( zxy) ,(							−	z,− x, y) (,			z,−		x,−		)y(,	− z, x,−)y( ,					y, z), x(		, y,−				z,−) (x , − y, z,)−				x ,
(− y,− z, x),( − x,− y, z) ,( − x, y,− z) (, x,− y,− )z(, x, y,)z( , y, x), z( , − y,− x), z ,
(y,− x,− z),( − y, x,− z) ,( z, y, x) (, z,− y,− )x(, − z, y,− )x( , − z,− y,)x( , − x,− z), y ,
(− x, z,− y),( x,− z,− y) ,( x, y, z) ;
(xxx) ( xxx) ,(							−	x,−		x, y) (,	x,−			x,− )x(, − x, x,− )x ;
(xy0) ( 0xy) ,(							0,−		x, y) (, 0,−			x,− )y(, 0, x,−)y( ,								y,0), x( , y,0,−) (x ,								− y,0,)−(x ,		−	y,)0, x ,
(−		x,− y,0),( x,−					y,0) ,(			x,0, y) (,		yx)0(, −				y,− x),0( , −					y, x),0(	, 0)yx(					, 0,− y,)−(x , 0, y),− x ,
(0,− y, x),( −					x,0, y) ,(				−	x,0,− y) (,				x,0,−		)y(, xy)0 ;
(x00) ( 0x0) ,(							0,−		x,0) (, 0,0, )x(, 0,0,−)x( ,								−	x,0),0( , x,0),0 .
																67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи, приведенные в пособии, связаны с точечной симметрией, которая, конечно, не исчерпывает круг проблем, встречающихся при изучении физики твердого тела. Анализ пространственной симметрии, методов исследования структур, элементов кристаллохимии, а также описание связей между симметрией кристалла и его свойствами будут приведены в учебных пособиях, которые готовятся к изданию.

68

Учебное издание

Лиопо Валерий Александрович

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Учебное пособие по курсу «Физика диэлектриков и полупроводников»

для студентов специальности Н0201 — Физика

Редактор Н.П.Дудко Компьютерная верстка: Е.З.Панусевич

Сдано в набор 14.04.2000. Подписано в печать 20.09.2000. Формат 60х84/16. Бумага офсетная №1.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл.печ.л. 3,9. Уч.-изд.л. 3,7.

Налоговая льгота — Общегосударственный классификатор Республики Беларусь ОКРБ 007-98, ч. 1, 22.11.20.600.

Тираж 150 экз. Заказ .

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы.

ЛВ №96 от 02.12.97 г.

Ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно.

Отпечатано на технике издательского отдела Гродненского государственного университета имени Янки Купалы ЛП №111 от 29.12.97 г.

Ул.Ожешко, 22, 230023, Гродно.

69