Варламов Линейные електрические цепи переменного тока Част ИИ 2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Н.В. Варламов, Э.Я. Школьников

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Часть II

Учебное пособие

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии»

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2008

1

УДК 621.3.11.7(075) ББК 31.211я7 В 18

Варламов Н.В., Школьников Э.Я. Линейные электрические цепи переменного тока Часть II: Учебное пособие М.: МИФИ, 2008. – 88 с.

Учебное пособие является логическим продолжением ранее изданного учебного пособия «Линейные электрические цепи переменного тока» (авторы О.В. Гаркуша и Э.Я. Школьников, издание МИФИ 2004 г.). В учебном пособии рассматриваются: линейные электрические цепи переменного тока с взаимной индуктивностью; резонанс в линейных электрических цепях; переходные процессы в линейных электрических цепях. Каждая глава сопровождается примерами решения типовых задач.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся на факультете «Автоматика и электроника». Оно будет полезно также студентам других факультетов, изучающим курс «Электротехника».

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы МИФИ.

Рецензент д-р техн. наук, профессор Стенин В.Я.

ISBN 978-5-7262-1004-9

©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008

2

Введение

Вучебном пособии рассматриваются линейные электрические цепи переменного тока с взаимной индуктивностью; резонанс в линейных электрических цепях; переходные процессы в линейных электрических цепях.

Для цепей переменного тока с взаимной индуктивностью рассмотрены особенности составления уравнений на основе законов Кирхгофа при наличии индуктивно связанных элементов цепи, проанализировано согласное и встречное соединение таких элементов, введено понятие коэффициента связи, дано описание модели трансформатора без ферромагнитного сердечника.

Впособии рассматриваются особенности работы линейной цепи

врежиме резонанса напряжения и резонанса тока, приведены выкладки и соотношения, раскрывающие условия возникновения этих режимов и их основные характеристики, проанализированы энергетические соотношения при резонансе напряжений и резонансе токов, а также частотные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров.

Вотличие от электрических цепей, процессы энергообмена в которых имеют установившейся характер, а параметры элементов цепи и схема их соединений остаются постоянными, на практике во многих электрических цепях происходит подключение или отключение участков цепи, а параметры элементов цепи могут резко измениться в результате воздействия. При этом в электрических цепях возникает переходный процесс, для анализа которого необходима система интегро-дифференциальных уравнений. В пособии изложен классический метод расчета переходных процессов, дано обоснование законов коммутации, рассмотрены виды начальных условий, понятие порядка цепи и алгоритм получения характеристического уравнения цепи на основе анализа модели цепи в свободном режиме.

Для формирования первичного навыка решения типовых задач в каждой главе пособия приведены примеры, которые не только позволяют освоить простейшие практические приёмы, но во многих случаях дополняют содержание теоретических разделов.

4

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

СВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ

1.1.Индуктивно связанные элементы цепи

Явление наведения ЭДС в электрической цепи при изменении тока в другой цепи получило название взаимной индукции. Электрические цепи, в которых появляется этот эффект, называются индуктивно связанными цепями.

Рис. 1

На рис. 1 изображены два витка (контура), удаленных на некоторое расстояние один от другого. По первому витку протекает ток i1 , по второму i2 . Зависимости токов i1 и i2 от времени – произ-

вольные. На рис. 1 представлена также пространственная картина магнитных потоков, вызванных этими токами. Здесь введены следующие обозначения:

Ф11 – магнитный поток, замыкающийся в первом витке, вызванный током i1 ;

Ф22 – магнитный поток, замыкающийся во втором витке, вызванный током i2 ;

5

Ф12 – магнитный поток, создаваемый в первом витке током i1 , проходящий через второй виток;

Ф21 – магнитный поток, создаваемый во втором витке током i2 , проходящий через первый виток.

Тогда полный поток, создаваемый в первом витке током i1 :

Соответственно, полный поток, создаваемый во втором витке током i2 :

С учетом принятых обозначений, а также соотношений (1.1) и (1.2) полный ток (магнитное поле) в первом витке:

Знак «+» в выражениях (1.3) и (1.4) соответствует одинаковому направлению потоков, знак «–» – противоположному.

Для линейных магнитных сред (отсутствие ферромагнитных материалов) справедливо:

где, L1 и L2 – индуктивности первого и второго витка. Соответственно, при этих же условиях можно полагать что:

Коэффициент М получил название взаимной индуктивности и измеряется в Гн. С учетом (1.3)–(1.7) можно получить выражение для полных ЭДС, индуктируемых в первом и втором витках:

Первые члены в выражениях (1.8) и (1.9) являются ЭДС самоиндукции:

Вторые члены в выражениях (1.8) и (1.9) получили название ЭДС взаимоиндукции:

Что же касается полных напряжений, наводимых в витках, то их выражения в соответствии с (1.8) и (1.9) выглядят следующим образом:

Отметим что выражения (1.8), (1.9), (1.12) и (1.13) остаются справедливыми, если рассматриваются любые два индуктивных элемента (катушки индуктивности). В этом случае величины L1 ,

L2 , M должны быть взяты для этих элементов.

1.2. Согласное и встречное соединение индуктивных элементов

Для определения знаков в соответствующих выражениях на схемах прибегают к условным обозначениям.

Одноименные зажимы катушек (например, северные полюса или начало обмотки) обозначают символом y (рис. 2), а сам факт индуктивной связи катушек представлен на схеме дугой с двумя стрелками и параметром М.

Знак «+» в выражениях (1.12) и (1.13) соответствует случаю, когда токи в катушках ориентированы относительно своих зажимов y одинаково (например, втекают в эти зажимы, как показано на рис. 2, а). В этом случае говорят, что катушки включены согласно.

7

Рис. 2

Знак «–» в выражениях (1.12) и (1.13) соответствует случаю, когда токи в катушках ориентированы относительно своих зажимов y противоположно (например, i1 – втекает, i2 – вытекает из зажима,

как показано на рис.2,б). В этом случае говорят, что катушки соединены встречно.

В качестве примера рассмотрим схемы на рис. 3.

Рис. 3

8

На этом рисунке два индуктивных элемента соединены последовательно (i1 = i2 = i ) . Тогда полное падение напряжения u12 для рис. 3,а:

Остается добавить, что в первом случае катушки соединены согласно, во втором – встречно.

Пусть токи в цепи (как и напряжение) изменяются со временем следующим образом:

i(t ) = I m sin(ω t + ϕ) .

Тогда ток i(t ) можно представить:

i(t ) = Im[ Ie jωt ] ,

где I – так называемая комплексная амплитуда тока I = I me jϕ . Выражение для комплексной амплитуды падения напряжения от

взаимной индукции u = M dtdi в этом случае можно представить в

следующем виде:

U = j ω M I .

Здесь j ω M можно рассматривать как комплексное сопротив-

ление взаимной индукции, которое в радиотехнике называют сопротивлением связи.

Для схем, представленных на рис. 3, в случае гармонического тока комплексные амплитуды падения напряжения на зажимах 1–2 получаются следующим образом.

9

Для рис. 3,а:

Для рис.3б:

U12 = ( jωL1I − jωMI ) + r1I + ( jωL2 I − jωMI ) + r2 I = (r1 + r2 ) I + jω( L1 + L2 − 2M ) I .

1.3. Коэффициент связи

Помимо взаимной индуктивности М степень индуктивной связи двух катушек характеризуют с помощью так называемого коэффициента связи Kсв , который определяется следующим образом

(см. рис.1):

Здесь в числителе стоят магнитные потоки, пошедшие на взаимную индукцию, а в знаменателе магнитные потоки в контурах, вы-

Случай расположения катушек, когда Kсв близок к 1, изображен на рис. 4,а. Это достигается бифилярным способом намотки катушек. Напротив, значение Kсв близко к 0, для случая рис. 4,б, когда оси катушек расположены перпендикулярно друг к другу.

10