2013 Модуль 4
.pdfТиповой расчет по математике
Функциимногихпеременных Дифференциальныеуравнения 4 модуль
Учебно-методическое пособие
Санкт-2013Петербург
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
Брагина О.И., Панкратова Т.Ф., Рябова А.В.
Типовой расчет по математике
Функциимногихпеременных Дифференциальныеуравнения
4 модуль
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2013
Брагина О.И., Панкратова Т.Ф., Рябова А.В. Типовой расчет “Функции многих переменных. Дифференциальные уравнения”. 4 модуль. Учебнометодическое пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. –41 с.
Предлагаемое пособие предназначено для студентов технических специальностей первого курса.
Рекомендовано к печати Ученым советом естественнонаучного факультета, 22.01.2013, протокол №1.
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.
©Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2013
© Брагина О.И., Панкратова Т.Ф., Рябова А.В. 2013
Методические указания.
Типовой расч¼т состоит из пяти заданий по темам "Функции нескольких переменных" и "Дифференциальные уравнения". Методические указания не содержат полного изложения теории, а лишь напоминают некоторые факты и типовые при¼мы. Для каждого задания разобраны типовые примеры.
1. В первом задании предлагается проверить, является ли функция тр¼х переменных u(x; y; z) решением дифференциального уравнения в частных производных (e).
Задача 1. |
|
|
|
|
|
u = z yx3+z+4, |
(e): |
@2u |
|
||
|
|
|
z |
= 3x2(1 + z ln y) ln y u: |
|
|
|
|
@x@z |
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
@u |
|
= yx3+z+4 + z yx3+z+4 ln y = yx3+z+4(1 + z ln y): |
||
|
@z |
||||
|
|
|
|
Теперь возьм¼м частную производную по x от полученной функции:
@2u |
3 |
|
|
= yx +z+43x2 ln y(1 + z ln y): |
|
@x@z |
||
|
Умножим результат на z и сравним с правой частью уравнения (е):
|
@2u |
|
|
z |
|
= 3x2 |
(1 + z ln y) ln y u: |
|
|||
|
@x@z |
|
Ответ. Функция u удовлетворяет уравнению (e).
2. Во втором задании предлагается найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных z(x; y) в замкнутой области D.
Задача 2,a.
z = x2 + 6x + y2 + 2y + 9, область D задана неравенствами 4 x 2
è 2 y 0.
3
Решение.
Ищем стационарные точки. Для этого находим частные производные @x@z è @y@z и приравниваем их к нулю.
@z
@x
= 2x + 6 = 0 ) x = 3;
@z
@y
= 2y + 2 = 0 ) y = 1:
Стационарная точка (-3;-1) лежит внутри области D. Это точка мини-
мума функции z, т.к. выполнены достаточные условия
|
@2z |
|
|
@2z |
|
@2z |
2 |
||||
|
|
|
|
) > 0 |
|||||||
|
@x2 |
( 3; 1) @y2 ( 3; 1) (@x@y |
|||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
@2z |
( 3; 1) |
> 0: |
|
|||||
|
|
|
@x2 |
|
|||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
@2z @2z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
= 2; |
|
|||
|
|
|
@x2 |
@y2 |
|
a
@2z = 0: @x@y
В этой точке zmin = z( 3; 1) = 1: Теперь исследуем границу C обла-
сти D. Она состоит из четыр¼х частей. Часть C1: |
8y = 0; |
|
2: |
Часть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
4 x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
||
|
8 |
x = |
|
4; |
|
|
|
8 |
y = |
|
2; |
|
|
: |
|
x = |
|
2; |
|||
C2: |
|
|
|
0: |
Часть C3: |
|
|
Часть C4:8 |
|
|
|
||||||||||
|
> |
2 y |
|
|
|
> |
4 x |
2: |
|
|
|
> |
2 y 0: |
||||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
> |
2 |
+ 6 + 9 |
> 2 |
|
|
|
|
> |
||||||||||||
|
: |
1 |
|
|
3 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
||
|
|
è C |
z = x |
|
x |
= (x + 3) : |
x = |
3 |
- точка минимума |
||||||||||||
Íà C |
|
|
|
|
функции z на этих отрезках, z( 3; 0) = z( 3; 2) = 0: На границах каждого из четыр¼х отрезков
z( 4; 0) = z( 2; 0) = z( 4; 2) = z( 2; 2) = 1:
Íà C2 è C4 z = (y + 1)2: Точка минимума y = 1: Минимальное зна- чение z( 4; 1) = z( 2; 1) = 0. Cравнивая найденные значения, находим, что наименьшее значение функции z в области D zmin(D) = 1; à
4
наибольшее zmax(D) = 1.
Задача 2,b.
Функция та же, а область D задана неравенствами
4 x 2 и 0 y 2. Теперь точка минимума функции z лежит
вне области D. Оста¼тся исследовать функцию z на границе, которая
состоит из четыр¼х отрезков. C1: |
8y = 0; |
C2: |
8x = 2; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
4 x |
2: |
>0 |
y |
2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
> |
|
|
||
C3:8y = 2; |
x |
|
|
C4: |
8x = 4:; |
|
|
: |
|
|
|||||||
> |
4 |
|
|
2: |
>0 |
|
y |
|
2: |
|
|
|
|
|
|||
< |
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
> C1 z = x |
|
+ 6x + 9>= (x + 3) : Êàê |
|
|
|
|
|||||||||||
: |
|
|
|
|
2 |
|
: |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в задаче 2,а, наименьшее |
значение z( 3; 0) = 0: На концах отрезка z( 4; 0) = z( 2; 0) = 1: На C3 z = (x + 3)2 + 8: Наименьшее значение z( 3; 2) = 8: На концах отрезка z( 4; 2) = z( 2; 2) = 9: В этом примере как наименьшее, так и наибольшее значения функции в области D достигаются на границе.
zmin(D) = 0; à zmax(D) = 9:
3. В третьем задании рассматриваются четыре обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка. Предлагается указать тип каждого уравнения и найти общее (в пунктах a,b,d) или частное (в пункте с) решение.
Задача 3,а. Найдите общее решение уравнения
(1 + e2x)y2y0 = ex:
Решение.
Запишем данное уравнение в симметричной форме
(1 + e2x)y2dy exdx = 0:
Это уравнение имеет вид
m1(x)n1(y)dx + m2(x)n2(y)dy = 0;
5
т.е. является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим пе-
ременные: |
ex |
|
|
y2dy = |
dx: |
||
1 + e2x |
|||
|
|
Проинтегрируем последнее уравнение (с раздел¼нными переменными):
Z |
y2dy = Z |
ex |
|
|
dx ) |
||
1 + e2x |
) y3 = arctg ex + c ) 3 3
p
) y = 3 3 arctg ex + c :
Получили общее решение исходного уравнения.
Задача 3,b.
Найдите общее решение уравнения
y xdxdy = x + ydxdy :
Решение.
Запишем уравнение в симметричной форме
dy |
|
= |
y x |
|
dx |
x + y |
|||
|
èëè
(y x)dx (x + y)dy = 0:
Это однородное уравнение, т.к. коэффициенты при dx, dy есть однородные функции первой степени. Заменой y = z(x)x исходное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными:
(zx x)dx (x + zx)(zdx + xdz) = 0
Сокращая на x (x = 0 не является решением), получим
(z 1)dx (1 + z)(zdx + xdz) = 0;
(z 1 z z2)dx (1 + z)xdz = 0; ( z2 1)dx = (1 + z)xdz:
6
Разделим переменные:
|
|
|
|
|
|
|
z + 1 |
dz = |
dx |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 1 |
x |
|
|
|
|
|||||||
Проинтегрируем последнее уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
dz = Z |
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
z2 + 1 |
|
|
x |
|||||||||||||
1 |
d(z2 + 1) |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
+ Z |
|
|
= |
ln jxj + ln c; |
|||||||
2 |
z2 + 1 |
|
|
z2 + 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
ln(z2 + 1) + arctg z = ln j |
c |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j; |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
x |
arctg z = ln j p c j: x z2 + 1
Заменяя z на xy ; окончательно получим общий интеграл
arctg |
y |
= ln |
|
jcj |
: |
|
|
|
|||
x |
|
px2 + y2 |
|
Задача 3,с.
Найдите решение задачи Коши
y0 = tg x y + cos x; y(0) = 1:
Решение.
Исходное дифференциальное уравнение - это линейное неоднородное уравнение первого порядка
y0 = p(x)y + q(x):
Рассмотрим 2 способа решения данного уравнения.
1 способ. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа). Cначала решим соответствующее линейное однородное уравнение
|
|
y0 = tg x y |
|
|||
|
dy |
= tg xdx ) |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
||||
) Z |
|
dy |
= Z |
sin xdx |
) |
|
|
|
|
||||
|
y |
cos x |
7
) ln jyj = ln j cos xj + ln c:
Получим общее решение линейного однородного уравнения
y = cosc x:
Теперь будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения
â âèäå
y = cosc(xx) :
Подставляя y и y0 = |
c0 cos x + c sin x |
в исходное уравнение, получим |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
c0 |
+ c |
|
sin x |
|
= tg x |
|
c |
|
+ cos x; |
|||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
cos x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
c0 = cos2 xdx; |
откуда |
|
|
|
|
|||||||||||||
c(x) = Z |
cos2 xdx = Z |
|
|
|
|
cos 2x |
1 |
1 |
||||||||||||||
1 + |
|
dx = |
|
x + |
|
sin 2x + c1: |
||||||||||||||||
2 |
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
y = ( |
|
x + |
|
|
sin 2x + c1) |
|
: |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
cos x |
|
|
Подставив начальное условие y(0) = 1 в это решение, получим, что
c1 = 1: Таким образом, решением задачи Коши будет
y(x) = (12x + 14 sin 2x + 1)cos1 x:
2 способ. Для решения линейного неоднородного уравнения можно также применить подстановку Бернулли y(x) = u(x)v(x). Тогда y0 = u0(x)v(x)+ u(x)v0(x) и исходное уравнение примет вид
u(x)[v0(x) p(x)v(x)] + u0(x)v(x) = q(x):
Выберем функцию v(x) такой, чтобы обратилась в ноль квадратная скоб-
ка, т.е. чтобы
dv
dx
+ p(x)v(x) = 0:
8
Очевидно, что получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. В качестве функции v(x) можно выбрать любое частное решение. Затем из уравнения
v(x)dudx = q(x)
найд¼м u(x) (опять имеем уравнение с разделяющимися переменными). В нашем примере сначала решаем уравнение
dxdv tg x v(x) = 0;
откуда
|
|
dv |
|
= tg xdx ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
v |
|
|||||||||||||||||
) v(x) = |
|
|
|
c |
: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos x |
|
|||||||||||||||||||
Полагая c = 1; выбираем частное решение |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
v = |
|
1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|||||||
Далее, ищем общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
du |
= cos x: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos x dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = cos2 xdx; |
откуда |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u(x) = |
|
x + |
|
sin 2x + c1: |
|
|||||||||||||||
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||
В итоге |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y(x) = u(x)v(x) = ( |
|
x + |
|
|
sin 2x + c1) |
|
: |
|||||||||||||
2 |
4 |
cos x |
Задача 3,d.
Найдите общее решение уравнения
y0 = x4y + xpy:
Решение.
Данное дифференциальное уравнение - это уравнение Бернулли
y0 = p(x)y + q(x)y ; ( 6= 0; 6= 1):
9