Елманов Теплопроводност металлов и сплавов 2007

Федеральное агентство по образованию

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

Г. Н. Елманов, М. Т. Зуев, Е. А. Смирнов

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ

Лабораторный практикум

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии»

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 669.017(076.5) ББК 34.2я7 Е 52

Елманов Г.Н., Зуев М.Т., Смирнов Е.А. Теплопроводность металлов и сплавов: Лабораторный практикум. М.: МИФИ, 2007. – 32 с.

В пособии излагаются основы теории теплопроводности твердых тел и содержится описание лабораторной работы по измерению теплопроводности металлов и сплавов.

Предназначено для студентов МИФИ, обучающихся по специальностям «Физика металлов» и «Физика конденсированного состояния». Используется в дисциплинах «Физические свойства твердых тел» и «Материалы с особыми физическими свойствами».

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.Н. Девятко

©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2007

ISBN 978-5-7262-0805-3

3

ВВЕДЕНИЕ

Теплопроводность представляет собой одно из важнейших физических свойств твердого тела, характеризующее способность тела передавать тепловую энергию от одной его точки к другой, если между ними существует разница температур. Электрические проводники и диэлектрики имеют различные механизмы теплопроводности, и, как следствие, температурные зависимости теплопроводности в них носят различный характер. Знание теплопроводности твердых тел необходимо для проведения теплофизических расчетов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение одной из методик определения теплопроводности твердых тел и измерение теплопроводности ряда металлов и сплавов.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1.1.Основные определения

Сфизической точки зрения явление теплопроводности представляет собой перенос кинетической энергии и описывается уравнениями, аналогичными для переноса заряда и массы.

В одномерном случае плотность потока тепла, т.е. количество тепла, проходящего за 1 с через 1 м2, прямо пропорциональна градиенту температуры:

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутренней теплопроводности или чаще всего просто теплопроводностью. Величина теплопроводности характеризует способность тела передавать тепловую энергию от одной точки к другой, если между ними существует разность температур.

Теплопроводность измеряется в Вт/(м.К). В технике существен-

ное значение имеет величина коэффициента температуропровод-

ности ат, который связан с теплопроводностью следующим образом:

4

где d – плотность; с – теплоемкость. Коэффициент температуропроводности в тепловых процессах характеризует собой скорость изменения температуры и измеряется в 1 м2/с.

В твердых телах с металлической проводимостью перенос тепловой энергии осуществляется двумя типами носителей: электронами проводимости и колебаниями кристаллической решетки (фононами). Соответственно различают электронную ( эл) и решеточную ( реш) составляющие теплопроводности. Основным механизмом теплопроводности металлов и сплавов является перенос тепла электронами проводимости. Решеточная теплопроводность в чистых металлах обычно мала (приблизительно в 30 раз меньше) по сравнению с электронной, но в сплавах она может быть сравнимой с ней. Перенос тепла в неметаллических твердых телах (ионных и ковалентных кристаллах) осуществляется фононами, и теплопроводность в них на 1–2 порядка ниже теплопроводности металлов. В полупроводниках определенную роль в теплопроводности играют электронные возбуждения – экситоны.

1.2. Теплопроводность кристаллической решетки

Теплопроводность решетки обусловлена ангармоническим ха-

рактером колебаний атомов. Такой характер колебаний атомов подтверждается наличием теплового расширения твердых тел. Ангармонизм колебаний описывается с помощью сохранения членов третьего и более высоких порядков в разложении потенциальной

энергии решетки U(х) относительно смещений атомов х:

U(x) = аx2 – bx3 – сx4, (3)

где a, b и с – положительные константы. Член при х3 описывает асимметрию взаимного отталкивания атомов, член при х4 – сглаживание колебаний при больших амплитудах.

Решеточная теплопроводность не могла бы возникнуть, если бы атомы совершали строго гармонические колебания, распространяющиеся в решетке в виде системы не взаимодействующих между собой упругих волн. Отсутствие взаимодействия между волнами позволяло бы им распространяться в кристалле не рассеиваясь, то есть, не встречая никакого сопротивления. Теплопроводность такого кристалла была бы бесконечно большой.

В реальных кристаллах при не слишком низких температурах колебания атомов носят ангармонический характер. Появление ан-

5

гармоничности приводит к тому, что нормальные колебания решетки утрачивают независимый характер и при встречах взаимодействуют друг с другом, обмениваясь энергией и меняя направление своего распространения (рассеиваясь друг на друге). Именно вследствие протекания таких процессов взаимодействия упругих волн становится возможной передача энергии от колебаний одной частоты к колебаниям другой частоты и установление в кристалле теплового равновесия.

Описание процесса рассеяния нормальных колебаний друг на друге удобно вести на языке фононов, рассматривая термически возбужденный кристалл как ящик, заполненный фононами.

Из теории колебаний известно, что энергия нормального колебания (осциллятора) квантуется:

где n – квантовое число.

Минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить решетка при тепловых колебаниях, соответствует переходу возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на близлежащий соседний уровень и равна ф h .

Эту порцию (квант энергии) тепловых колебаний решетки и называют фононом. Тогда поле упругих волн, заполняющих кристалл, можно трактовать как газ, образованный квантами нормальных колебаний решетки – фононами, обладающими энергией ф h и

импульсом pф h / υзв , где υзв – скорость звука.

Фононы описываются той же функцией распределения БозеЭйнштейна, что и фотоны:

где k постоянная Больцмана.

В гармоническом приближении, в котором нормальные колебания решетки являются независимыми, фононы образуют идеальный газ (газ невзаимодействующих фононов). Переход к ангармоническим колебаниям эквивалентен введению взаимодействия между фононами, в результате которого могут происходить процессы расщепления фонона на два и более и образование одного фонона

6

из двух. Такие процессы принято называть фонон-фононным рас-

сеянием.

Вероятность протекания такого рассеяния, как и вероятность протекания любых процессов рассеяния, характеризуют эффективным сечением рассеяния ф. Если по отношению к процессам рассеяния фонон представлять в виде шарика радиусом rф , то

ф rф2 . Рассеяние фонона фононом может произойти лишь в том

случае, если они сближаются на расстояние, при котором их эффективные сечения начинают перекрываться. Так как рассеяние появляется в результате ангармоничности колебаний атомов, количественной мерой которой является коэффициент ангармоничности b в уравнении (3), то естественно положить радиус эффективного

сечения фонона пропорциональным b, а ф ~ b2 .

Зная эффективное сечение рассеяния, можно вычислить длину свободного пробега lф фононов, т.е. то среднее расстояние, которое

они проходят между двумя последовательными актами рассеяния. Расчет показывает, что

где nф концентрация фононов. Согласно распределению (5) кон-

центрация фононов зависит от температуры по закону

1

nф eh / kT 1 . (7)

В кинетической теории газов показывается, что коэффициент теплопроводности газов равен

где l длина свободного пробега молекул газа, υ — скорость их теплового движения, cV теплоемкость единицы объема газа.

Применим эту формулу к фононному газу, подставив в нее cV

теплоемкость единицы объема кристалла (фононного газа), l lф

длину свободного пробега фононов и вместо υ скорость звука

7

(скорость фононов) υзв . Тогда получим следующее выражение для коэффициента теплопроводности решетки:

Данные табл. 1 дают общее представление о величине коэффициента теплопроводности и длине пробега фононов в некоторых веществах.

Таблица 1

Тепловые свойства кристаллов SiO2 и NaCl

Проведем теоретический анализ зависимости решеточной теплопроводности от температуры. Поскольку известно, что частота

то вид температурной зависимости должен изменяться при температуре D .

В области высоких температур (T > D) знаменатель в выраже-

нии (7) можно разложить в ряд и, ограничиваясь первым членом

Так как в этой области cV практически не зависит от Т, то коэффициент теплопроводности решетки должен быть обратно пропорциональным абсолютной температуре реш ~ 1/T . В выражение

(10) входят также коэффициент ангармоничности b и скорость зву-

8

ка υзв , которые существенно зависят от жесткости связи, действующей между частицами твердого тела. С уменьшением жесткости связи υзв уменьшается, а b увеличивается. Оба эти фактора должны вызывать уменьшение реш . Это подтверждается опытом.

В качестве примера в табл. 2 приведены теплота сублимации QС, являющаяся мерой энергии связи, и решеточная теплопроводностьреш валентных кристаллов с решеткой типа алмаза алмаза,

кремния, германия. Из данных таблицы видно, что уменьшение энергии связи при переходе от алмаза к кремнию и германию сопровождается значительным уменьшением решеточной теплопроводности.

Таблица 2 Теплота сублимации и теплопроводность элементов с решеткой алмаза

Более детальный анализ показывает также, что реш сильно за-

висит от массы М атомов, уменьшаясь с ростом М. Этим в значительной мере объясняется то, что коэффициент решеточной теплопроводности легких элементов, находящихся в верхней части таблицы Менделеева (В, С, Si), имеет величину порядка десятков и даже сотен Вт/(м К) ; у элементов, занимающих среднюю часть

таблицы Менделеева, реш падает до единицы Вт/(м К) , а у тяже-

лых элементов, расположенных в нижней части таблицы, уже до десятых долей Вт/(м К) . У кристаллов с легкими частицами и жесткими связями решеточная теплопроводность достигает очень большого значения. Так, у алмаза при комнатной температуре реш

выше теплопроводности самого теплопроводного металла серебра: Ag 407 Вт/(м К) .

9

При температурах T < D

(рис. 1) концентрация фононов резко уменьшается, вследствие чего их длина свободного пробега возрастает и при T D / 20 достигает величины, сравнимой с размером кристалла. Поскольку стенки кристалла обычно плохо отражают фононы, дальнейшее понижение температуры не приводит к увеличению средней длины пробега фононов lф, так как она определяется просто размерами кристалла.

Поэтому температурная зависимость теплопроводности решетки

в области очень низких температур (T << D) определяется зави-

симостью от T теплоемкости кристалла. Так как в области низких

Анализ температурных зависимостей решеточной теплопроводности в различных температурных областях показывает, что зависимость теплопроводности диэлектриков в широком диапазоне температур должна иметь экстремальный характер, что и наблюдается на опыте (рис. 2).

10