Елтаренко Исследование операцыи 2007

Следовательно,

		m
эфф 1 Pотк	1		P0 .
		m!

Предельные вероятности состояний Sk равны:

	k
P		P (k 0, 1, , m) .
k	k! 0

Так как очередь отсутствует, среднее время нахождения заявок в СМО равно:

W	1	.	(1.35)
s

Среднее число заявок в СМО равно:

	Ls		эфф	Ws ;
1					m
Ls			эфф	1		P0		.	(1.36)
					m!

СМО с неограниченной очередью (N→∞)

S0

S1

...

Sm

…

Sn

Рис. 1.13. Размеченный граф многоканальной СМО с неограниченной очередью

Для определения характеристик данной СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью при N :

	m 1		k		m			1	1
P0									;
	k 0		k!		m 1
										m
P	0;			; P				P			;
										m!
отк		эфф			m			0

40

m

Lq

L

P

; W

;

(1.37)

q

0

m! 1

2

q

W

W

1

; L

W

L

.

(1.38)

s

q

s

s

q

Чтобы существовал установившийся процесс в СМО, необходимо выполнение условия

1.

m

1.4.3. СМО с взаимопомощью каналов

Рассмотрим следующие дисциплины взаимопомощи:

(в) – "все как один" (все каналы обслуживают одну заявку до тех пор, пока не закончат);

(р) – равномерная взаимопомощь (равномерно обслуживаются все заявки, находящиеся в СМО): если в системе одна заявка – ее обслуживают все каналы, если в системе две заявки – все каналы разбиваются на две группы и обслуживают обе заявки и т.д. Особенностью этого вида взаимопомощи является выполнение условия – при наличии в СМО хотя бы одной заявки все каналы заняты.

(б) – СМО без взаимопомощи.

Будем рассматривать случаи, когда при взаимопомощи каналов общая интенсивность обслуживания СМО линейно зависит от числа каналов:

						СМО	m ,
где – интенсивность обслуживания одного канала.
Рассмотрим			основные			характеристики СМО: L , L ,W ,W , P
										s q s q	отк
при различных дисциплинах взаимопомощи.
					СМО без очереди
(б)
	S0			S1		...			Sm
					2	41	m

	Для расчета L(б) ,W(б) , P(б)					см. формулы (1.35) и (1.36).
			s	s	отк
(в)
		S0		S1
			mμ
	Для расчета L(в) ,W(в) , P(в)					см. формулы (1.17) и (1.18) с заменой
			s	s	отк

на m . Всего два состояния, так как каналы не прерывают обслуживание, пока не закончат обслуживание одну заявку.

(р)		S0		S1		...		Sm
			m		m		m
	Для расчета L(р) ,W(р) , P(р)					см. формулы (1.22 – 1.25) с заменой N
			s	s	отк

на m-1, и на m .

Сравним характеристики:

Pот(вк) Pот(бк) Pот(рк) ;

L(sв) L(sб) L(sр) ;

Lq ,Wq 0;

W (в)		1		W (р)	W (б).
	s	m		s	s
				СМО с неограниченной очередью
(б)	S0			S1	...		Sm	…		Sn
					2	m		m	m

Очередь начинается после состояния Sm .

Для расчета L(sб) ,Ws(б) , L(qб) ,Wq(б) см. формулы (1.37) и (1.38).

42

L(qв) ,Wq(в)

(в)

S0

S1

...

Sn

m

m

m

m

Очередь начинается после состояния S1

(р)

S0

S1

...

Sm

...

Sn

m

m

m

m

m

m

Очередь начинается после состояния Sm .

Отметим, что размеченные графы для обеих дисциплин взаимо-

помощи одинаковые,			из чего следует, что предельные вероятности
				i
состояний P	P			(i 1, 2,...,n) одинаковые. Это означает,
i	0	m
что Ls и Ws	равны для равномерной и "все как один" дисциплин

взаимопомощи. Для их расчета следует использовать формулы одноканальной СМО с неограниченной очередью, заменив в них на m .

Для расчета следует использовать формулы одноканальной СМО с неограниченной очередью, заменив в них на m . Отме-

тим, что L(â )	L(â ) .
q	s

Средняя длина очереди для равномерной дисциплины взаимопо-

мощи определяется выражением: L(ð)			m L(p) .
		q	s
Сравним характеристики СМО:
Pот к	0;
L(б)	L(в)	L(р) ;
s	s	s
L(б)	L(в)	L(р) ;
q	q	q

43

W (б)

W (в)

W (р) ;

s

s

s

W (б)

W (в)

W (р).

q

q

q

СМО с ограниченной очередью

(б)

S0

S1

...

Sm

...

SN m

2

m

m

m

Для расчета

L(б)

см. формулу (1.34), а для

L(б) ,W (б) ,W (б) , P(б) –

q

s s q от к

формулы в том же пункте.

(в) S0 S1 ... SN 1 m m m

Очередь начинается после состояния S1 .

Для расчета L(sв) ,Ws(в) , L(qв) ,Wq(в) , Pот(вк) см. формулы (1.22 – 1.25) с заменой на m .

(р) S0 S1 ... Sm ... SN m m m m m m

Очередь начинается после состояния Sm .
Для расчета L(р) ,W(р) , P(р) , P				см. формулы (1.22 – 1.25) с заменой
s	s	отк	0
на m и N на N+m-1. Средняя длина очереди равна:
	N			N	N
L	nP		P	n n 1 P m 1	n n 1 .
q	m n		m	0
	n 1			n 1	n 1

Для получения окончательной формулы см. (1.32) и (1.33):

44

		L		P m 1	1 N N 1 N 1		N
								.
						2
		q		0	1
Сравним характеристики СМО:
P(в)	P(б)	P( р) ; L( р)		L(б)	L(в) .
отк	отк	отк	s	s	s

Что касается других характеристик, можно указать только соотношения между некоторыми из них:

L(qб) L(qр) ;Ws(б) Ws(р) ;Wq(б) Wq(р) .

Равномерная взаимопомощь (р) наиболее эффективная из всех, а про взаимопомощь «все как один» (в) ничего определенного сказать

нельзя, так как все зависит от соотношения , , m, N.

1.4.4. СМО самообслуживания

Системы, в которых нет отказа и отсутствует очередь, называются СМО самообслуживания. Такие требования к СМО будут выполняться, если в СМО число каналов будет стремиться к бесконечности.

Размеченный граф такой СМО представлен на рис. 1.14.

S0		S1		...	Sn
			2	n		(n+1)

Рис. 1.14. Размеченный граф СМО самообслуживания

Для анализа СМО самообслуживания достаточно использовать

формулы			Литтла. Так как				СМО без потерь, то	эфф	,
а Lq Wq		0 ,		остальные			характеристики СМО	равны:
W		1	, L			.
s			s

45

Определим вероятность состояния S0 − вероятность того, что система будет свободна:

	n			n			n	1
								e .
pn p0			p0		p0
	nn!			n!		n 0 n!

Так как формулы Литтла справедливы для СМО с произвольными потоками заявок и временем обслуживания, то формулы для Ws и

Ls тоже справедливы для СМО самообслуживания с произвольными потоками заявок и временем обслуживания. В то же время, при выводе формулы для P0 использованы процессы гибели и размно-

жения, поэтому полученное выражение справедливо только для пуассоновских СМО самообслуживания.

1.4.5. Замкнутые СМО

Чтобы представить этот класс СМО, рассмотрим ее пример. Пусть есть n станков – источники заявок, каждый из которых выходит из строя с интенсивностью . Для обслуживания выходящих из строя станков имеются каналы обслуживания. Если число каналов m = 1, то замкнутая система одноканальная, если m > 1, то замкнутая система многоканальная.

Одноканальные замкнутые СМО

Размеченный граф для такой системы имеет вид:

n (n-1) (n-2)

S1

S2

S3

...

Sn

Рис. 1.15. Размеченный граф одноканальной замкнутой СМО

Составим систему уравнений для определения предельных вероятностей:

46

P

n

P

n P ;

1

0

0

P (n 1) P n(n 1)

2P ;

2

1

0

. . .

P

n(n

1)...(n

k

1) k P (k

1, 2,...,n) ,

k

0

или

P

n!

k P

(k

0, 1,...,n) .

k

(n

k)!

0

n

n

n!

k

Pk

1

P0

1 ,

0 (n

k)!

k

0

k

n

n!

1

k

P

–

вероятность того, что все станки рабо-

0

(n k)!

k 0

тают, а аппарат обслуживания простаивает.

n

Ls kPk .

k 0

Определим Ls исходя из особенности одноканальной замкнутой

СМО. Если система находится в равновесии, то общая эффективная интенсивность обслуживания и эффективный поток заявок должны быть равны:

'эфф 'эфф .

Эффективный поток заявок определяется выражением:

'эфф	(n	Ls )		,	а	эффективная			интенсивность обслуживания:
'эфф	(1	P ) .
		0
Получаем уравнение для определения Ls :
(1	P0 )			(n	Ls ) ;
		(1		P )			(1	P )
L	n				0	n		0	, где		.
s

47

Остальные характеристики определяются по следующим формулам:

Ws	Ls		Ls	;
	'эфф		(n Ls )

Wq Ws 1 ;

Lq

'эффWq ;

L

W

'эфф

L

'эфф ;

q

s

'эфф

s

Lq

Ls

(n Ls )

Ls (1

) n ;

1 P0

1 P0

L n

(1

) n n (1 P ) n

n

q

0

n

1

P

1

.

0

Многоканальные замкнутые СМО

Размеченный граф данного класса СМО приведен на рис. 1.16

( m n ).

n

(n-1)

(n-2)

(n-m+1)

(n-m)

S1

S2

S3

...

Sm

...

Sn

2

3

m

m

m

Рис. 1.16. Размеченный граф многоканальной замкнутой СМО

Определим предельные вероятности состояний системы.

n! k

P

P

(k 1,...,m) ;

k (n

k)!k! 0

48

P

n! m

P ;

m

(n

m)!m!

0

Pm 1

(n

m)

Pm ;

m

Pm 2

(n

m)(n

m

1) 2

Pm ;

m2

Ps

(n

m)!

s m

Pm (s m

1,...,n) .

(n

s)!ms m

После упрощения Pm получим:

m

n!

k

n!

n

s

1

P0

1

;

k 1 (n k)!k! m! s m 1 (n s)!ms m

n

L

kP ;

s

k

k 0

'эфф

(n

Ls )

;

Ws Ls ;

'эфф

Wq Ws 1 ;

Lq Wq эфф .

В частном случае, когда m n и , СМО распадается на m

одноканальных, т.е. за каждым каналом закрепляется один источник заявок (станок).

Для отдельного канала и всей СМО в целом выполняется:

Ws 1 .

49