Жданов Основы физических процессов 2007

где gi, ge, ga – статистические веса ионов, электронов и атомов соответственно; I – энергия ионизации атома; μ = memi /(me + mi ) –

приведенная масса. Выражение (1.47) называется формулой Саха.

К этой формуле приводят следующие качественные рассуждения. В термодинамическом равновесии отношение числа электронов к числу нейтральных атомов может быть определено из распределений Больцмана

ne		G exp(−	Ee	)
	=	e	T			,
n		Ga exp(−	Ea		)
a

T

где Ge – число квантовых ячеек в фазовом пространстве для свободных электронов, Ga – то же для атомов. Так как Ee-Ea=I+p2/2me , то при кинетической энергии электрона, много меньшей энергии ионизации p2/2me<<I, можно положить Ee-Ea≈ I. Полагая затем Ga=1 и учитывая объем фазового пространства, приходящегося на один электрон,

p

3

2m T

3

1

Ge =

V =

h

e

,

h3

n

e

имеем

3

n

2m T

−

I

K

e

=

e

1

e

T

=

,

n

h

n

n

a

e

e

откуда из условия квазинейтральности ne=ni и определения K (1.43) с точностью до числовых коэффициентов окончательно получаем выражение (1.47).

В удобном для расчетов виде выражение (1.47) можно записать следующим образом

K = ge gi 3 1021T 3 / 2e−TI , ga

где температура выражена в эВ.

Отвечающая равновесию степень ионизации α, в соответствии с (1.46), определяется соотношением

α2	=	g	g	e	μT		3 / 2	T	e−I / T ,
		i								(1.48)
1−α2		ga				2πh2		p

где р = (ne+ni+na)T = n0(1+α)T – давление, определяемое числом частиц всех сортов в единице объема.

51

Формула (1.47) – формула Саха – связывает основные фундаментальные характеристики взаимодействующих частиц: приведенную массу (для процесса ионизации она примерно равна массе электрона me с точностью до малого отношения me/mi, где mi – масса иона), статистические веса частиц (иона, электрона, атома), энергию ионизации атома и температуру плазмы с константой равновесия К, с помощью которой можно рассчитать степень ионизации газа. Фундаментальные характеристики хорошо известны: статистический вес электрона равен двум, а статистические веса атома и иона рассчитываются независимо, они равны числу состояний с данным главным квантовым числом, например, для атома водорода в состоянии с главным квантовым числом, равным n, статистический вес равен 2n2. Константа равновесия К=neni/na зависит только от температуры Т.

Хотя формула Саха (и ее аналоги) применима к плазме, находящейся в полном термодинамическом равновесии, ее используют при оценке и для плазмы в случае неполного термодинамического равновесия. Следует иметь в виду, кроме того, что она верна лишь при некоторых упрощающих предположениях относительно этого равновесия: газ считается классическим, подчиняющимся распределению Максвелла-Больцмана, тем самым наименьшая длина волны де Бройля, электронная, должна быть меньше среднего межчастичного расстояния; плазма должна быть разреженной настолько, что среднее расстояние между частицами оказывается большим по сравнению с амплитудой рассеяния, тогда электроны, ионы и атомы можно рассматривать как смесь идеальных газов; наконец, температура этой смеси должна быть мала в сравнении с энергией ионизации – при этом условии количество возбужденных атомов мало по сравнению с числом атомов в основном состоянии. Между тем, в некоторых условиях оказывается существенной ступенчатая ионизация - образование заряженных частиц из возбужденных атомов, постепенно «довозбуждаемых» до ионизации при столкновениях через последовательность возбужденных состояний. Реализация этой возможности зависит от времени жизни возбужденных атомов, плотности электронов, потенциалов ионизации атомов в основном и в возбужденных состояниях.

Реально с полностью термализованной плазмой сталкиваются, пожалуй, только астрофизики да, возможно, при атомных и термоядерных взрывах. В термоядерных установках стремятся получить такую термализованную плазму; наиболее близка к ней плазма в импульсных "взрывных" системах. В системах с магнитной термоизоляцией (адиабатических ловушках, токамаках и т.д.) плазма всегда неравновесная, хотя иногда и осуществляется частичное равновесие – устанавливаются функции распределения, близкие к максвелловским, соответственно при электронной и ионной температурах.

52

§ 8. Неравновесность плазменных систем

Обычно в плазме всегда есть частицы очень сильно различающиеся по массе: тяжелые молекулы, атомы и их ионы, и значительно более легкие электроны. Взаимодействие тяжелых и легких частиц не симметрично: легкие частицы сильно рассеиваются на тяжелых и очень медленно передают им свою энергию, тогда как тяжелые частицы на легких частицах почти не рассеиваются, но довольно интенсивно тормозятся. В большинстве случаев плазму создают, применяя электрическое поле: или прямо помещая в газ электроды с некоторой разностью потенциалов (например, дуговые плазмотроны, приборы с тлеющим разрядом, Z-пинчи и т.д.), или индуктивно наводя переменную ЭДС в объеме (например, СВЧплазмотроны, токамаки (см.главу 9) и т.д.). Подвижности электронов и ионов в электрическом поле сильно различаются, сечения взаимодействия их с атомарными частицами разные, и обычно электроны в электрическом поле приобретают большую энергию, чем ионы. В различных по конструкции системах разряды развиваются по-разному, но, как правило, не только направленные скорости, но и энергия, приобретаемая электроном в разряде, больше энергии, приобретаемой ионом. Особенно четко это проявляется в низкотемпературной плазме пониженного давления, которая образуется в тлеющем разряде (§51). Рассмотрим в качестве примера положительный столб этого разряда, типичные значения для него: степень ионизации 0,01, давление 1-10 Торр, напряженность поля

1-10 В/см.

Так как в таких условиях заряженные частицы сталкиваются в основном с нейтральными атомами, то в первом приближении положим, что сечения их соударений равны газокинетическим (см.§5). Предположим, что тепловая энергия частиц до включения электрического поля мала по сравнению с энергией, сообщаемой полем заряженным частицам. Под действием электрического поля с напряженностью Е ион приобретает на длине λ свободного пробега между соударениями энергию

wi = eEλi,

а электрон

we = eEλe.

(1.49)

53

Считаем, что ионы – однозарядные, так что по модулю заряд иона равен заряду электрона. В принятом предположении

λe = veτe = eE τ 2 ,

me e

и, следовательно,

w	=	e2 E2	τ	2	.	(1.50)
				e
e		me

Средняя энергия иона будет практически равна средней энергии нейтральных частиц, так как, приобретая между соударениями некую энергию, ион при соударении с нейтральными атомами ее отдает в силу близости масс (формула (1.24)). Нейтральная же частица, получившая энергию при соударении, в последовательности соударений переносит ее на стенки. Электрон в отличие от иона при упругом соударении с нейтральным атомом теряет лишь ма-

лую часть порядка (me/Ma) своей средней энергииwe .

Время между соударениями связано со средней энергией электрона очевидным соотношением

τ	e	= λ	/ 2we .	(1.51)
		e	me

В состоянии равновесия потеря энергии электронами в соударениях будет равна приобретению энергии в электрическом поле (1.50):

me w e2 E2 τ 2 .

Ma e me e

Подставляя формулы (1.51) и (1.49), для средней энергии электрона имеем

w ≈	w	M a .	(1.52)
e	e	me

Таким образом, средняя энергия электронов оказывается много больше энергии, которую он получает при ускорении в электрическом поле на длине свободного пробега (примерно столько же, сколько и ион). Поэтому главной причиной того, что температура электронов оказывается много больше ионной температуры, ока-

54

зывается определяемый по выражению (1.24) невысокий темп передачи энергии более тяжелым частицам.

Как упоминалось ранее, это обеспечивает инверсную заселенность в молекулярных газах, правда, только при низких температурах газа: вероятность колебательной релаксации очень быстро возрастет с температурой. Поэтому и приходится охлаждать лазеры, делать системы с протоком газа, т.е. обеспечивать условия, при которых колебательная температура существенно выше температуры хаотического движения: Тν>>Т. Например, в лазерах на окиси углерода достижимы колебательные температуры, равные 7000 – 8000 К, при температуре газа, равной комнатной. Неравновесность в отношении средней энергии электронов, которая составляет единицы электрон-вольт, и температура основной среды, которая немного больше комнатной, обеспечивает и интенсивное проведение некоторых химических реакций. Электроны передают энергию на возбуждение колебательных степеней свободы молекул, а высокая колебательная температура обеспечивает и высокие скорости химических реакций. Необходимо отметить, что при этом существенно возрастает и КПД установок, основанных на газовом разряде, по выходу конечного продукта: электронное возбуждение обеспечивает передачу энергии именно на “нужные” степени свободы, а не равномерно на все. Так, КПД СО-лазера довели до25%, затраты энергии при получении NO из N2 и O2 снизили в 6-7 раз. Мы рассмотрели неравновесность слабоионизованной плазмы (или, если хотите, газа — степень ионизации которого меньше 0.01, а в лазерных средах бывает и 10-6) и возможности ее использования. Но и практически полностью ионизованная горячая плазма тоже, как правило, неравновесна. Например, в токамаках (см. главу 9) устанавливаются разные температуры электронов и ионов, не говоря уже об отсутствии равновесия с излучением.

§ 9. Процессы релаксации в плазме

Процессы релаксации приводят к установлению максвелловской функции распределения частиц по энергиям, то есть термодинамического равновесия, когда можно говорить о температуре. В слабоионизованной плазме температура ионов равна температуре газа, массы ионов и атомов практически одинаковы. Температура

55

электронов может быть другой, чем у атомов газа, даже тогда, когда электронов очень мало [1].

В полностью ионизованной плазме практически есть только электроны и ионы. Равновесие будет устанавливаться вследствие кулоновских соударений заряженных частиц. Так как массы ионов и электронов сильно различны, то рассмотрим отдельно электронэлектронные и ион-ионные взаимодействия. Предположим, что К соударений приводят к максвеллизации данного, например, электронного ансамбля. Тогда время установления максвелловского распределения среди электронов

τee = K nv1σc .

Подставляя значение сечения кулоновского рассеяния σc из

выражения (1.32) и v =			3Te , получим:
			m
			e
τ	ee	≈ K	3 3	me T 3 / 2 .		(1.53)
			4πe4Λ	n	e

Строгий расчет показывает, что К<2. Аналогичный расчет для ионов дает

τ		= K	3	3		Mi	T	3 / 2	,	(1.54)
			4πZ 2Z 2e4		Λ	n
	ii						i
			1	2

где Z1,2 – кратности ионизации. Сравним τee и τii: для равных температур Te=Ti , предполагаем Z1=Z2=1:

τee =	me .	(1.55)
τii	Mi

Откуда следует τee << τii.

Так как масса ионов значительно превышает массу электронов, то получаем

τee <<τii.

Приведенные формулы для характерных времен столкновений, конечно, имеют лишь характер оценки. Детальный расчет [11] показывает, что при кулоновском столкновении заряженной частицы

56

сорта “α“ с заряженной частицей сорта “β“ характерное время между столкновениями (время торможения) оказывается равным:

	ταβ =	3Tα3 / 2mα		,	(1.56)
		4 2πe4Zα2 Zβ2 nβ	μαβ Λ
	где Zα , Zβ – заряды этих частиц,		mα, mβ –		массы, а

μαβ= mβmα /(mβ+mα) – приведенная масса. Здесь индексы α и β обозначают сорт плазменных частиц. Используя эту общую формулу, можно получить характерные времена между электронэлектронными, электрон-ионными и ион-ионными столкновениями. Например, для плазмы из электронов и однозарядных ионов получаем следующий набор характерных времен:

τei =	3T 3 / 2		m	,
	4	e	e
		2πe4nΛ

τee = 21/2 τei, τii = (2Mi/me)1/2(Ti/Te)3/2τei.

Отметим, что приведенные характерные времена отвечают разным процессам, ведущим к релаксации первоначально неравновесного распределения плазменных частиц к равновесному. В частности, время τei электрон-ионных столкновений отвечает времени торможения (точнее, потери направленной скорости) электронов в среде ионов, тогда как время τie отвечало бы времени торможения ионов на электронах. Очевидно, эти времена существенно различаются. Для наглядности представим, что мячик для настольного тенниса влетает в облако арбузов среднего размера; мячик будет долго метаться между арбузами, почти не сдвигая их с места. И наоборот, арбуз, влетающий в облако таких мячей, будет двигаться, практически не меняя направления, но расшвыривая мячи и замедляя свою скорость. В плазме частицы – заряженные, характер взаимодействия иной, но качественно картина аналогичная.

Таким образом, самое короткое из релаксационных времен – это время, за которое электроны теряют направленную скорость в столкновениях с ионами. Время максвеллизации электронной подсистемы, т. е. установления электронной температуры Te, несколь57

ко больше, примерно в √2 раз. Следующий по длительности процесс – максвеллизация ионной подсистемы плазмы. Длительность этого процесса, в течение которого устанавливается ионная темпе-

ратура Ti, примерно в Mi/me (~ 50 для водородной плазмы) раз

больше. В общем случае эти температуры могут оказаться различными. Для определения характерного времени электрон-ионной или ион-электронной релаксации по температуре, т. е. установления единой, как и должно быть при полном термодинамическом равновесии, температуры всех компонент плазмы, следует учесть, что из-за сильного различия масс при столкновении электрона и иона передается весьма малая доля энергии, порядка отношения масс, me/Mi. Поэтому этот процесс еще более длительный. В общем случае длительность этого процесса составляет [3]:

	τε =	3(m T +M T )3 / 2
		e i	i e		.	(1.57)
		8 2π m M	n(Z e )2	Λ
		e i	i e

Например, в плазме, нагреваемой током, когда выделение джоулева тепла происходит главным образом в электронной подсистеме, быстрее всего установится температура электронов, затем температура ионов (ниже электронной) и очень долго будет устанавливаться (реально часто не успевает установиться) единая температура. В этом случае часто говорят о наличии «отрыва» электронной и ионной температур.

В формуле (1.57) Te и Ti имеют смысл начальных температур на стадии, предшествующей процессу релаксации. Если предположить, что в процессе релаксации нет потерь энергии, то из ее сохранения следует, что после релаксации T =(Te +Ti)/2.

Часто вместо характерного времени между столкновениями τ используют соответствующую частоту столкновений ν = τ−1.

В заключение приведем полезные формулы для практических расчетов [12]:

58

λe,i= 4.5 105

T

2

≈ 3 104

T 2

;

e

e

n

nΛ

σ

= 2 10−6

Λ

≈

3 10−5T −2

;

e,i

T

2

e

e

(1.58)

T 3 / 2

T 3 / 2

τ e,i

= 0.67

≈ 4.5 10−2

;

e

e

nΛ

n

ν

e,i

=1.5

nΛ

≈

22

n

.

T 3 / 2

T 3 / 2

e

e

При расчете числовых коэффициентов здесь принято значение Λ=15, типичное в термоядерных приложениях плазмы, концентрация выражена в кубических сантиметрах, а температура в градусах Кельвина. Например, для изотермической дейтериевой плазмы в оптимальных для термоядерного реактора условиях, когда температура и концентрация плазмы равны T=108K, n=1014см -3, с помощью этих формул для длины свободного пробега и сечения кулоновских столкновений получаем следующие значения:

λei ≈ 3 106см,

σei ≈ 3 10-22см2,

а характерные времена релаксационных процессов оказываются равными

τei ≈ 4.5 10-4 с, τee ≈ 6.4 10-4 с,

τii ≈ 0.04 с,

τε ≈ 0.8 с.

§ 10. Процессы переноса в плазме

Как и в обычном газе, при нарушении термодинамического равновесия в плазме могут происходить процессы переноса массы, импульса и энергии, т.е. явления диффузии, вязкого трения и теплопроводности. При наличии неоднородности плотности, скорости или температуры, возникают потоки, пропорциональные градиенту соответствующей величины. В плазме, содержащей свободные заряды, может появиться и пространственная неоднородность распределения заряда, и, следовательно, явление переноса заряда это электрический ток.

59

Напомним, что согласно обычному определению, коэффициент диффузии D связывает плотность потока частиц и градиент их концентрации

J = −D n .	(1.59)
Плотность потока энергии (или поток тепла) определяется со-
отношением
q = −κ T ,	(1.60)

где κ -коэффициент теплопроводности. Знак минус в правой час-

ти этих соотношений означает, что потоки массы и энергии направлены противоположно градиентам соответствующих величин, т.е. в сторону уменьшения концентрации и температуры.

Вязкое трение возникает в плазме, когда при ее движении с макроскопической скоростью u в каком-либо одном направлении (например вдоль оси z ) существует поперечный к направлению потока градиент продольной скорости. При различии в скоростях двух соседних слоев плазмы возникает перенос импульса частиц, связанного с их направленным движением, поперек потока, что и приводит к появлению силы трения между слоями. Модуль этой силы определяется выражением

F =η ∂∂uxz S ,

где η -коэффициент вязкости, S - площадь некоторого выделеного элемента поверхности, перпендикулярного направлению переноса импульса. Отношение F / S представляет собой величину, называемую касательным напряжением. Для компоненты тензора касательного напряжения τxz , которая в нашем случае представляет

собой поток z-й составляющей импульса вдоль оси x , справедливо соотношение

τxz = −η	∂uz	.	(1.61)
	∂x

Напомним, что в теории случайных блужданий (например, в теории диффузии броуновских частиц в газе) коэффициент диффузии оценивается как

60