Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планирование 2011

В настоящее время имеется несколько универсальных программ, использующих метод Монте-Карло и позволяющих проводить расчет доз, создаваемых протонами [13, 14, 50]. Однако их существенным недостатком является большое время расчета. Вместе с тем, применение обоснованных упрощений и более совершенных расчетных алгоритмов позволяет значительно уменьшить расчетное время. Наибольшего успеха в данном направлении, по нашему мнению, удалось добиться М. Фиппелю и М. Соукапу при разработке программы VMCpro [51]. Остановимся подробнее на особенностях алгоритма этой программы.

12.1. Алгоритм транспорта протонов

При прохождении через вещество протоны как заряженные частицы испытывают громадное количество кулоновских взаимодействий (более 106 на см). Моделирование каждого индивидуального взаимодействия потребовало бы очень много времени. Поэтому в VMCpro применен алгоритм конденсированных столкновений класса II [52] с образованием δ-электронов при энергиях выше

Temin и непрерывными потерями энергии при энергиях ниже Temin .

Параметр Temin выбирает пользователь, что влияет на сечение иони-

зационных процессов.

Моделирование транспорта протонов начинается с определения кинетической энергии Tp и момента протона на поверхности расчетной сетки. Кинетическая энергия этого протона поглощается

локально, если она меньше минимальной энергии протона Tpmin .

Данный параметр также выбирается пользователем (обычно Tpmin = 0,5 МэВ, что соответствует пробегу 0,01 мм). Максимальная допустимая энергия протонов в программе TEmax 500 МэВ.

Транспортный алгоритм прослеживает протоны через расчетную сетку шаг за шагом. Один шаг определяется расстоянием между границами двух вокселей, если не случится дискретного взаимодействия в данном вокселе. Если такое взаимодействие имеет место, то шаг равняется расстоянию до этой точки взаимодействия. Расстояние до точки дискретного взаимодействия разыгрывается, используя метод модифицированного фиктивного взаимодействия

91

[53] с учетом ионизации, упругих и неупругих ядерных взаимодействий. Тормозная способность вещества с плотностью ρ в данном вокселе определяется по формулам (8.26) и (8.27), что позволяет масштабировать геометрический длину шага z относительно длины шага в воде zw по формуле

(8.118)

zw f s ( ,Tp ) w z .

Потеря энергии E на шаге z в среде с плотностью ρ прирав-

нивается к потере энергии на шаге zw

в воде. Используя ограни-

ченную тормозную способность в воде

L (T

p

,T min )

(см. следую-

w

e

щий раздел) и интеграл

dT

Tpen d

zw T

p

,

(8.119)

Lw

min

)

p

(Tp ,Te

определяют среднюю кинетическую энергию протона в конце шага:

Tpend Tp E .					(8.120)

Реальная энергия протона в конце шага Tpend флуктуирует вокруг

среднего значения. Эта проблема рассматривается в следующем разделе.

После перехода протона в новую позицию разыгрывается угол многократного кулоновского рассеяния. Потеря энергии E запоминается для данного вокселя, и протону назначается новая энер-

гия Tpend . Если на шаге случается дискретное взаимодействие, то

производится его моделирование, что может привести к рождению вторичных частиц (δ-электронов или вторичных протонов). Тогда проводится моделирование транспорта вторичных частиц. История протона заканчивается, если он покидает расчетную сетку или его

энергия становится меньше, чем Tpmin . В противном случае процедура продолжается моделированием следующего шага.

92

12.2. Моделирование ионизации

По кинематическим причинам энергия, передаваемая электронам при ионизационных процессах, ограничивается значением

Temax (см. (8.6)). Дифференциальное и интегральное сечения обра-

зования δ-электронов с кинетической энергией Te Temin рассчиты-

ваются по формулам (8.7) и (8.8), рекомендуемым в работе [54]. Уравнение (8.7) используется в методе исключения для определения кинетической энергии δ-электрона. Эта энергия разыгрывается из плотности распределения

	T min T max 1	,	(8.121)
f (Te ) Temax Temin Te2
	e e

т.е., если случайная величина ε равномерно распределена в интервале [0 ÷ 1], то Te находится по формуле

Te		T min T max									(8.122)
		(1 )Temax			Temin .
		e			e
Тогда функция
g(Te ) 1			2	T			T 2
					e		e			.	(8.123)
				T	max		2E		2
									p
				e

может использоваться как вес исключения.

Полярный угол вылета δ-электрона находится из кинематики процесса, азимутальный угол разыгрывается равновероятно. Учитывая большую массу протона по сравнению с массой электрона, изменением направления движения протона здесь пренебрегается.

Массовая тормозная способность в программе VMCpro рассчитывается по формулам (8.26), (8.27). Ограниченная тормозная способность, необходимая для вычисления длины шага (8.118) определяется по формулам (8.28) и (8.29). Для убыстрения расчета

Lw (Tp ,Temin ) рассчитывается и табулируется предварительно для

выбранного значения T min . В окрестности T	p	зависимость L (T )
e		w p
можно аппроксимировать уравнением
Lw a(Tp )Tp [b(Tp ) 1] ,		(8.124)

93

где b(Tp) – почти постоянная функция, предварительное табулирование которой позволяет эффективно и точно рассчитывать инте-

грал (8.119).

Образование вторичных электронов при ионизационных взаимодействиях приводит к флуктуации энергии протонов, что, в свою очередь, влияет на крутизну спада пика Брэгга. Учет флуктуаций в программе VMCpro производится по методике, описанной в разделе 3.2 настоящей главы, с использованием уравнения (8.14).

12.3. Моделирование многократного рассеяния

При прохождении через вещество протоны испытывают, главным образом, упругое рассеяние на небольшие углы из-за кулоновского взаимодействия с атомными электронами. Для моделирования этого процесса в программе VMCpro применяется теория многократного рассеяния с использованием распределения Гаусса, ширина которого рассчитывается по формуле (8.13). Параметр Es, входящий в формулу (8.13), вычислялся из результатов расчетов по программе GEANT4 [13] с выключенными ядерными взаимодействиями. Полученное значение равняется Es=12,0 МэВ.

Определение радиационной длины L0(ρ) для материала с плотностью ρ в данном вокселе проводится с помощью отношения

fX	( )	w		Lw	.	(8.125)
	0			L0 ( )

с радиационной длиной в воде Lw = 36,0863 см. Для расчета отношения f L0 ( ) в программе VMCpro применяется аппроксимацион-

ное выражение, которое зависит только от плотности вещества вокселя, и имеет вид:

	1,19 0,44 ln( 0,44) для 0,9;
f L0		(8.126)
	( ) 1,046 0,218 для 0,26 0,9;
	0,9857 0,0085 для 0,26.

Поправки на длину пробега и поперечное смещение вследствие многократного рассеяния в программе VMCpro не вводятся. Опыт расчетов показал, что для протонов ими можно пренебречь.

94

12.4. Транспорт δ-электронов

Согласно уравнению (8.6) максимальная энергия, передаваемая 250 МэВ протоном δ-электрону Temax 0,6 МэВ, что соответству-

ет пробегу в воде меньше, чем 2,5 мм. Учитывая данное обстоятельство, транспорт электронов в программе VMCpro проводится в приближении непрерывного замедления. Минимальная энергия δ-

электронов Temin задается пользователем. Авторы предпочитали значение Temin = 0,1 МэВ, которое представляет разумный компромисс между точностью и скоростью расчета.

12.5. Моделирование ядерных взаимодействий

Вероятность ядерных взаимодействий в диапазоне энергий клинических пучков протонов невелика по сравнению с ионизационными взаимодействиями (см. раздел 3.3 настоящей главы). Поэтому их влияние рассматривается в программе VMCpro как поправка к электромагнитным процессам. С другой стороны, мягкие ткани человека состоят, в основном, из водорода, углерода, азота и кислорода. Согласно публикации МКРЕ 63 [11] микроскопические сечения ядерных взаимодействий протонов с этими элементами не

сильно отличаются друг от друга. Учитывая данные обстоятельства, в программе VMCpro мягкие ткани в процессах ядерных взаи-

модействий считаются состоящими только из воды. Такое приближение не совсем справедливо для тканей скелета, в состав которых входит от 5 до 20 % кальция. Сечения ядерных взаимодействий для кальция, нормализованные на атомный вес, примерно на 25 % меньше, чем у кислорода. Следовательно, замена химического состава кости на химический состав воды увеличивает ядерные сечения на ~ 5 %. Однако учитывая общий вклад ядерных взаимодей-

ствий в транспорт протонов, окончательной погрешностью от такой замены, как считают авторы VMCpro, можно пренебречь.

Особенности ядерных взаимодействий протонов с водой и методика расчета сечений были рассмотрены ранее (см. раздел 3.3 настоящей главы). Энергия вторичных частиц, образующихся при ядерных взаимодействиях, в модели VMCpro разыгрывается равномерно между минимальной энергией и остаточной энергией сис-

95

темы, состоящей из первичного протона и ядра. В начале итерационного цикла остаточная энергия равняется энергии налетающего протона минус энергия связи. С вероятность 0,5 в качестве вторичной частицы рождается протон, в противном случае – это короткопробежная частица (α-частица, дейтрон и др.) или длиннопробежная частица (нейтрон). Затем рассчитывается новая остаточная энергия путем вычитания первой вторичной частицы и энергии связи. Энергия следующей вторичной частицы разыгрывается, если в системе осталось достаточно энергии. Таким образом, цикл продолжается до тех пор, пока система имеет достаточно остаточной энергии. Результаты расчета спектра вторичных частиц по такой модели сравниваются на рис. 8.32 с данными работы [11]. Согласие между результатами, учитывая погрешность данных работы [11], можно считать вполне удовлетворительным.

Рис. 8.32. Сравнение спектров вторичных протонов после неупругого ядерного взаимодействия 200 МэВ протонов с ядрами кислорода, рассчитанных по разным программам [51]

96

Рис. 8.33. Сравнение глубинных дозовых распределений в мягкой ткани (ρ = 1,03 г/см3) и костной ткани (ρ = 1,46 г/см3) для моноэнергетических пучков протонов с энергиями 100 и 200 МэВ, рассчитанные по разным программам. Ядерные взаимодействия выключены [51]

Авторы VMCpro провели обширные сравнения результатов своих расчетов с результатами расчетов по программам GEANT4 [13] и FLUKA [50]. Пример сравнения приводится на рис. 8.33. Во всех случаях получено хорошее согласие. Что же касается времени рас-

чета, то оно оказалось в 23 раза меньше, чем время расчета по программе GEANT4, и в 13 раз меньше, чем по программе FLUKA.

13. Лучевая терапия пучками ионов

Параллельно с развитием протонной терапии в мировом сообществе возрастает интерес к так называемой, ионной терапии. Этот интерес базируется на понимании, что даже самые лучшие методы и установки γ-терапии далеки от желаемого 100 %-го контроля над опухолями при нулевой вероятности осложнений в нормальных тканях. В литературе принято называть пучки ядер с атомными номерами до неона (Z 10) легкими ионами и с более высокими атомными номерами – тяжелыми ионами.

97

Ядра более тяжелые, чем протоны представляют большой интерес для лучевой терапии [55], так как они имеют превосходное дозовое распределение, подобное пучкам протонов (рис. 8.34). Из рис. 8.34 видно, что глубинное дозовое распределение для 12С ионов имеет такой же характер, как и для протонов, причем пик Брэгга у ионов углерода имеет большую амплитуду и градиент, чем у протонов. Наличие пика Брэгга позволяет создавать в области мишени значительно большую дозу, чем в окружающих нормальных тканях.

Данная особенность глубинного дозового распределения сочетается у ионных пучков с радиобиологическими свойствами, подобными пучкам нейтронов (рис. 8.35).

Если сравнить два способа воздействия, то соотношение между ЛТ пучками нейтронов и тяжелых ионов примерно такое же, как соотношение между ЛТ высокоэнергетичным тормозным излучением и протонной ЛТ. Анализируя достоинства и практические ограничения относительно применения пучков ионов в ЛТ, авторы работ [55,56] отмечают следующие моменты:

1. Процессы многократного рассеяния для тяжелых ионов менее значимы, чем для протонов в силу их большей массы. Поэтому флуктуация пробегов и поперечное рассеяние (см. рис. 8.5) оказывается меньшими. Это приводит к большему градиенту дозы в поперечном к пучку направлении и на дальнем конце SOBR, чем для протонов. Однако в отличие от протонов ядерные реакции у тяжелых ионов, в основном, идут по каналу «ударной» фрагментации. Эти легкие фрагменты образуются, главным образом, в области пика Брэгга, причем пробег некоторых фрагментов превышает пробег первичного иона. В результате за пиком Брэгга образуется хвост вторичных частиц, который становится все более значимым с увеличением массы ионов. Как следствие, ионы с массой большей, чем у неона не перспективны для ЛТ.

2. С увеличением массы ионов возрастает ЛПЭ и, следовательно, увеличивается и ОБЭ (см. рис. 1.19) и одновременно уменьшается коэффициент кислородного усиления (ККУ или англ. OER). Уменьшение ККУ приводит к большей линейности кривых выживаемости клеток, что, в свою очередь уменьшает эффект от фракционирования облучения.

98

Рис. 8.34. Сравнение глубинных дозовых распределений в воде для пучков фотонов и тормозного излучения с распределением для разных энергий ионов 12С

Это может быть также выражено в увеличении отношения α/β (см. главу 1). В результате для ионных пучков становится целесообразным применение гипофракционирования, т.е. облучения небольшим числом фракций (при соответствующем увеличении дозы за фракцию) и сокращение общего времени курса облучения. Однако уменьшение эффекта от фракционирования ограничивается районом SOBR , т.е. областью пиков Брэгга. Нормальные же ткани, расположенные во входной области пучка, получают облучение с более низким ЛПЭ, и поэтому еще остаются чувствительными к фракционированию.

99

Рис. 8.35. Модулированные глубинные дозовые распределения для пучков 12С для

различных глубин модуляции и уровней дозы, соответствующие различным значениям ОБЭ в центре SOBP: а – ОБЭ =3,4; б – ОБЭ =5,5; в – ОБЭ =4,0. Обозначе-

ния: кривая 1 показывает распределение модулированной поглощенной (физической) дозы; кривая 2 показывает эффективную биологическую дозу [55]

Для очень высоких значений ЛПЭ (выше 1000 кэВ/см) ОБЭ начинает уменьшаться, что является еще одним лимитирующем фактором для использования ионов более тяжелых, чем неон (рис. 8.36). В результате, например, для ионов аргона ОБЭ в начале пробега, т.е. близко к поверхности, оказывается выше, чем в области пика Брэгга.

100