3.7.2.3. Базовые сведения о триангулярных нормах

Рассмотрим аппарат триангулярных (треугольных) норм (Т- норм) и конорм (Т-конорм, S-норм), которые представляют наиболее общий класс функций f: [0,1]×[0,1] → [0,1], удовлетворяющих требованиям к операторам конъюнкции и дизъюнкции.

Определение 1. Триангулярной нормой (для краткости Т-

нормой) называется двоичная операция на единичном интервале

[0,1], т.е. функция Т: [0,1]2→ [0,1] такая, что для всех x,y,z [0,1]

выполняются четыре аксиомы:

(Т1)	– коммуникативность	T(x,y) = Т(y,x),
(Т2)	– ассоциативность	T(y,z)) = T(T(x,y),z),
(T3)	– монотонность	T(x,y) ≤ T(x,z)
		для любого y ≤ z ,
(T4)	– граничные условия	T(x,1) = x,
		T(0,x) = T(x,0) = 0,
		T(1,x) = x.

Это означает, что все Т-нормы совпадают на границе единичного квадрата [0,1]2.

Т-норма T(x,y) представляет собой оператор конъюнкции, определенный на степенях неопределенности, задаваемых значениями функций принадлежности двух или более условий в одном и том же продукционном правиле.

Определение 2. Если Т является Т-нормой, то двойственная к ней T-конорма S: [0,1]2→[0,1] задается как:

S(x,y) = 1 - T(1-x,1-y).

(3.30)

Т-конорма S(x,y) вычисляет степень неопределенности (значение функции принадлежности) заключения, выведенного из двух или более продукционных правил или степень неопределенности (значение функции принадлежности) условной части продукцион-

248

ного правила, в которой анцеденты соединены логической связкой

“ИЛИ”.

Ниже описываются основные Т-нормы и T-конормы:

а. Минимум ТМ и Максимум SМ (логика Заде):

	TM(x,y) = min (x,y),				(3.31)
	SM(x,y) = max(x,y).				(3.32)
б. Произведение ТP и Вероятностная сумма SP:
	TP(x,y) = x y,				(3.33)
	SP(x,y) = x + y - x y.				(3.34)
в. Т-норма Лукасевича TL и T-конорма Лукасевича SL :
	TL(x,y) = max(x + y - 1,0),				(3.35)
	SL(x,y) = min(x + y,1).				(3.36)
г. Самая слабая Т-норма TW и самая сильная T-конорма SW :
	min(x, y), если		max(x, y)	= 1,	(3.37)
TW (x, y) =		−	иначе.
	0,
	max(x, y),	если	min(x, y) = 0,
SW (x, y) =		−	иначе.		(3.38)
	1,
д. Нильпотентный минимум TMnil:
nil	min( x, y),	если	x + y > 1,		(3.39)
T M	( x, y) =	−	иначе.
	0,

249

е. Семейство Т-норм Франка (TλF λ ), λ [0, ∞] :
TM (x, y),						если	λ = 0,
T (x, y),						если	λ =1,
P
TλF λ(x, y) = TL (x, y),						если	λ = +∞,
log	λ	(1	+	(λx −1)(λy −1)	),	иначе.
				λ −1

ж. Семейство T-конорм Франка

(T λF λ ), λ [ 0 , ∞ ] :

SM (x, y),

если

λ = 0,

S

(x, y),

если

λ =1,

S

P

если

λ = +∞,

λF λ(x, y) = SL (x, y),

1

− x

1 − y

1

−1)

− log

1 +

(λ

−1)(λ

,

−

иначе.

λ

λ −1

з. Семейство Т-норм Ягера

(TλY λ ), λ [0, ∞ ] :

T (x, y),

если

λ = 0,

Y

W

если

λ = +∞,

Tλ

λ(x, y) = TM (x, y),

λ

λ

1/λ

+(1− y)

),

иначе.

max(0,1−((1− x)

)

и. Семейство T-конорм Ягера

( S λY λ ), λ [0, ∞] :

Y

SW

( x, y),

если

λ = 0,

Sλ

λ( x, y) = SM

( x, y),

λ

1/

λ

если

λ = +∞,

λ

min(1, ( x

+

y

)

),

−

иначе.

250

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

3.7.2.4. Принцип расширения

Принцип расширения (обобщения) [55] как одна из основных идей теории нечётких множеств носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения ϕ на класс нечётких множеств, а также обобщить определения операций над нечёткими множествами типа 1, на нечёткие множества типа 2 (когда сами значения функции принадлежности задаются неоднозначно) и выше.

Пусть ϕ: Х → У — заданное отображение, а А — нечёткое множество в X. Тогда образ нечётких множеств А при отображении ϕ есть нечёткое множество В в У с функцией принадлежности

µB(у) = max µA(х), y Y,	(3.44)
x ϕ ¹(y)

где ϕ ¹(y) = {х Х ϕ(х) = у}. В случае нечёткого отображения ϕ : Х→У имеем:

µB(у) = max {min [µA(x), µϕ(х,у)]},	(3.45)
x Х
в общем случае

µ B (z) = max {min[( µ1 ( x1 ),µ 2 ( x2 ),..., µ n ( xn )]}.	(3.46)
z= f ( x1 ,x2 ,..., xn )

Или, иначе, если A1, A2, ..., AN – нечеткие множества, определенные на пространствах X1, X2, ..., XN, соответственно, а φ – функция, отображающая X1 × X2 × ... × XN в Y, то в соответствии с этим принципом, нечеткий образ A1, A2, ..., AN, отображаемый посредством φ в B есть функция принадлежности:

µB(y) = max{min [µA1 (x1) , ... , µAN (xN) ]}

(3.47)

x1 X1, ... , xN XN y= φ ( x1, ... , xN )

251

С использованием уравнения (3.47), любые математические соотношения между четкими переменными, включая алгебраические операции, могут быть обобщены на нечеткие переменные. Нечеткое число есть нечеткое множество, определенное на вещественной прямой, т.е. пространстве R=(−∞,+∞). Пусть I и J есть два нечетких числа в пространствах X и Y соответственно. Отметим, что пространство для нечеткого числа есть интервал в R, в котором нечеткое число определено. Пусть символ * определяет одну из алгеб-

раических операций + , − , × , /. Операция I*J есть нечеткое число, скажем K, определяемое как K= I*J.

Эта нечеткая алгебраическая операция, или расширенная операция, и K могут быть получены с использованием принципа расширения по (3.47). Отметим, что элементы интервалов X и Y, которые взаимодействуют посредством алгебраической операции *, образуют интервал Z, на котором определяется K. Более точно, Z = X*Y или z = x*y, где z есть элемент Z. Следовательно, принадлежность элемента z на Z к K получается из принадлежностей элементов x на X к I и y на Y к J в соответствии с

µK (z) = max {min [ µI(x), µJ (x )]}.

(3.48)

z= x*y

Всоответствии с принципом, принадлежность µ3(z) элементов z получается из принадлежностей µ1(x) и µ2(y) элементов x и y:

µ3(z) = max{min [µ1(x), µ2(y)]}.

(3.49)

x*y=z

Если z = x + y или z = x × y, тогда функция принадлежности z равна соответственно

µ3(z) = max {min [ µ1(x) , µ2(z - x) ]},	(3.50)
z=x+y

252

и

µ3(z) = max {min [ µ1(x) , µ2(z / x) ]}.	(3.51)
z=x×y

Принцип расширения дает общее решение для операций в нечеткой алгебре. Выражение (3.48) является обманчиво простым. На практике существует бесконечное число комбинаций x и y, которые дают одну и ту же величину z, и поиск комбинаций, обеспечивающих максимальную функцию принадлежности, является исключительно длительной процедурой. Следовательно, осуществление решения в соответствии с (3.48) является затруднительным для реальных ситуаций даже с использованием компьютера. Это связано, прежде всего, с тем, что при дискретизации переменных в вычислениях информация может теряться, из-за чего результаты получаются неправильными. Решение указанной задачи ищут, как правило, c использованием методов нелинейного программирования. Среди альтернативных методов, наибольшее распространение получили следующие: метод вершин, DSW-метод и ограниченный DSW-метод. Рассмотрим кратко метод вершин [56].

Метод базируется на подходах, используемых в нелинейном программировании. Ключевым утверждением, используемым в методе, является следующее: в классе бинарных алгебраических операций для двух нечетких чисел K= I*J оптимальная пара (x, y) получается в предположении µI(x) = µJ(y). Это условие вместе с алгебраическим соотношением x*y = z определяет функцию принадлежности решения. Вместо проведения этих вычислений аналитически для поиска величин z предлагается поиск значений µk(z), где K – желаемый результат. Возможна обработка с использованием α- срезов для K, в сопоставлении их с соответствующими оптимальными α-срезами для I и J. Алгоритм включает следующие шаги:

1.Выбор величины α где 0 ≤ α ≤ 1.

2.Поиск интервалов в X и Y, которые соответствуют этому α. Это есть α-срезы для I и J соответственно.

3.Поиск интервала в K, который соответствует интервалам в X и

Y соответственно. Этот интервал есть α-срез K.

253