Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

5.4. Метод простейших уравнений

271

В качестве простейшего уравнения можно использовать уравнение Риккати с постоянными коэффициентами

Em[Y ] = Yz − Y 2 + aY + b = 0.

(5.4.5)

Заменой переменных

	Y = −	Ψz		(5.4.6)
		Ψ ,

уравнение (5.4.5) приводится к линейному уравнению второго порядка

ψzz + a ψz − b ψ = 0.							(5.4.7)
Подставляя
ψ = exp {λ z}							(5.4.8)
в уравнение (5.4.7), получаем значения
	a	±		a2			(5.4.9)
λ1,2 = −					+ b.
	2			4
Решение уравнения (5.4.7) при λ1 = λ2 имеет вид
ψ(z) = C1 exp {λ1 z} + C2 exp {λ2 z}.							(5.4.10)

Решение уравнения (5.4.5) находится после подстановки (5.4.10) в (5.4.6).

Вторым примером простейшего уравнения является уравне-

ние для эллиптической функции Якоби
Qz2 = Q4 + a Q3 + b Q2 + c Q + d.	(5.4.11)
Третим примером простейшего уранения может служить
уравнение для эллиптической функции Веейерштрасса
Rz2 = −4 R3 + a R2 + b R + c.	(5.4.12)

Решения уравнений (5.4.11) и (5.4.12) выражаются через эллиптические фукции Якоби и Вейерштрасса.

272 Глава 5. Методы построения точных решений

5.4.1.Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото—Сивашинского

Рассмотрим применение метода простейших уравнений для поиска точных решений обобщенного уравнения Курамото— Сивашинского [41, 113]

ut + u ux + uxx + σ uxxx + uxxxx = 0.

(5.4.13)

Будем искать решения уравнения, используя переменные бегущей волны

u(x, t) = y(z),			z = x − C0 t.	(5.4.14)
После интегрирования по z уравнение принимает вид
1				(5.4.15)
yzzz + σ yzz + yz +		y2	− C0 y + C1 = 0.
	2

Решение уравнения (5.4.15) ищем в виде разложения по степеням функции Y (z). Показатель степени многочлена определяется аналогично порядку полюса общего решения. Подставляя y(z) = ap Y p в уравнение (5.4.15) и последовательно сравнивая показатели степеней мономов друг с другом, имеем p = 3, что соответствует укороченному уравнению

	yzzz +	1	y2	= 0.	(5.4.16)
		2

Поскольку порядок полюса общего решения равен трем, то решение исходного уравнения можно искать в виде

y(z) = A0 + A1 Y + A2 Y 2 + A3 Y 3, Y = Y (z).	(5.4.17)
Пусть Y (z) — решение уравнения Риккати
Yz = −Y 2 + b.	(5.4.18)

Очевидно, что общее решение уравнения (5.4.18)

√		√			(5.4.19)
Y (z) =	b	tanh {	b	(z + ϕ0}

	5.4. Метод простейших уравнений		273
имеет полюс	первого	порядка. Дифференциируя уравнение
(5.4.18) по z,	находим, что решение Y (z) удовлетворят также
уравнениям более высокого порядка
Yzz = −2 Y b − Y 2 ,		Yzzz = −6 Y 4 + 8 Y 2b − 2 b2.	(5.4.20)

Подставляя (5.4.17) в уравнение (5.4.15) и учитывая уравнения (5.4.20), приходим к полиному шестой степени от Y (z). Приравнивая нулю выражения при одинаковых степенях Y (z), получаем систему алгебраических уравнений, из которой находим значения коэффициентов A3, A2, b и A0 в виде

			1					σ2 −	1					1		(5.4.21)
A3 = 120, A2 = −15 σ,			b = −									A1	+		,
					608					120				38
23			1						27							(5.4.22)
A0 = −C0 −			σ3 −			A1		σ +			σ.
	608			12					76
Кроме того, получаем соотношение
σ (σ − 4) (σ + 4)		6 σ2 − 19 A1 + 18 = 0.														(5.4.23)

Из последнего уравнения находим значения σ и A1.

Пусть σ = 0, тогда дополнительно имеем два значения A1

	(1)		270	(2)		90		(5.4.24)
	A1	= − 19 , A1			=	19 .

В этом случае получаем два решения уравнения Курамото— Сивашинского при соответствующих значениях b1 и b2 уравнения Риккати. Первое решение

						270				3		(5.4.25)
	y1 (z) = −C0 − 19 Y + 120 Y
	при условии, что
	(1)		4950		1	2			11			(5.4.26)
	C1	= 6859		− 2 C0 ,				b1 = 76			,

274 Глава 5. Методы построения точных решений

и второе решение в виде

					90							3			(5.4.27)
	y2 (z) = −C0 + 19								Y + 120 Y
	с учетом соотношений
	(2)		1	2		450							1		(5.4.28)
	C1	= −2		C0	− 6859 ,						b2 = −		76 .

Графики точных решений уравнения Курамото— Сивашинского (уединенная волна и периодические решения) при σ = 0 представлены на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Уединенная волна (a) и сингулярные решения (b), описываемые уравнением Курамото—Сивашинского при σ = 0

В случае σ = ±4 получаем четыре решения уравнения Курамото—Сивашинского с соответствующими значениями параметров b(3,5) и b(4,6):

y(3,5) (z) = −C0 ± 9 − 30 Y 60 Y 2 + 120 Y 3

(5.4.29)

при условии, что

	(3,5)		1 2		1		(5.4.30)
	C1	= 18 − 2 C0 , b(3,5) =			4 ,

	5.4. Метод простейших уравнений						275
	и решение
	y(4,6) (z) = 11 − C0 + 30 Y 60 Y 2 + 120 Y 3						(5.4.31)
	с учетом значений
	(4,6)		1 2		1		(5.4.32)
	C1	= 8 − 2 C0 , b(4,6) = −4 .

Графики решений уравнения Курамото—Сивашинского при σ = 4 иллюстрируются на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Уединенная волна (a) и сингулярные решения (b), описываемые уравнением Курамото—Сивашинского при σ = 4

Используя значение A1 из уравнения (5.4.23) находим еще че-

12	получаем решение уравнения
тыре значения σ. При σ = ± √47

Курамото—Сивашинского в виде (рис. 5.6, a)
	45	√			90			180 √				2
y(7,8) (z) = −C0 ±		47 +				Y				47 Y			+	(5.4.33)
	2209				47			47
	+120 Y 3,

причем параметры C1 и b уравнений определяются из соотноше-

	ний		1800 1						1
	(7,8)						2				(5.4.34)
	C1	= 103823 − 2				C0	,	b(7,8) =	188 .

276 Глава 5. Методы построения точных решений

При σ = ±									16			решение исходного уравнения получаем в виде
								√
										73
(рис. 5.6, b)
									60									√						150							240				√					2
y(9,10) (z) = −C0 +																		73 +												Y	−							73 Y					+	(5.4.35)
														5329												73								73
																+ 120 Y 3
при следующих значениях параметров
(9,10)												4050							1 2																1									(5.4.36)
				C1						= 389017 − 2 C0														,				b(9,10) = 292 .

Рис. 5.6. Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото—

12			16
Сивашинского при σ =	√		(a) и σ =	√		(b)
		47			73

Решение уравнения Рикатти (5.4.18) выражается формулой

				(z + ϕ0} (k = 1, . . . , 10), (5.4.37)
Y (z) =	bk	tanh {	bk

где параметр bk определется формулами (5.4.26), (5.4.28), (5.4.30), (5.4.32), (5.4.34) и (5.4.36).

Таким образом, решения уравнения Курамото— Сивашинского найдены при следующих значениях параметров:

σ =

β

= 0;

±

12

;

±

16

;

±

4.

(5.4.38)

√

√

47

√

73

α γ

5.4. Метод простейших уравнений

277

Других решений уравнения Курамото—Сивашинского в виде уединеных волн до настоящего времени не получено.

5.4.2.Периодические волны уравнения Курамото—Сивашинского

Применим метод постейших уравнений, чтобы найти периодические волны, описываемые уравнением Курамото— Сивашинского. Запишем уравнение используя переменную бегущей волны

	1		(5.4.39)
yzzz + σ yzz + yz +	2 y2 + C0 y − C1	= 0.

Пусть функция R(z) является решением уравнения для эллиптической функции Вейерштрасса [113]

Rz 2 = −4 R3 + a R2 + 2 b R + c.

(5.4.40)

Поскольку решение y(z) уравнения (5.4.39) имеет полюс третьего порядка, а решение R(z) имеет полюс второго порядка, то решение уравнения (5.4.39) y(z) будем искать в виде

y(z) = A0 + A1 R + A2 Rz .

(5.4.41)

Функция R(z) удовлетворяет также уравнениям более высокого порядка

Rzz = −6 R2 + a R + b,	(5.4.42)
Rzzz = −12 R Rz + a Rz ,	(5.4.43)
Rzzzz = 120 R3 − 30 aR2 − 36 b R + a2 R − 12 c + a b.	(5.4.44)

Подставляя (5.4.41) в уравнение (5.4.39), и приравнивая к нулю выражения при одинаковых степенях функций R и Rz , получаем значения коэффициентов

A2 = 60, A1 = 15 σ, A0 = −	5	σ a −	1	σ − C0.	(5.4.45)
	4		4

278 Глава 5. Методы построения точных решений

Дальнейшие вычисления приводят к следующим значениям параметра σ уравнения (5.4.39) и значениям параметров b и c уравнения (5.4.40):

						σ = ±4,										b =				1							−			1				a2,
																						24								24
																																																(5.4.46)
	c =			1		C02 +				1						C1 +								1					a3 −							1						13
																																									a	−					.
			2160									1080												432													144								1080
Таким образом, получаем, что уравнение Курамото—
Сивашинского при σ = ±4 имеет решение в виде
				y(z) = 5 a 1 − C0 ± 60 R + 60 Rz ,																																												(5.4.47)
где R(z) является решением уравнения
R2	=	−		4 R3		+ a R2 +								1 − a2										R +							1								C		+		1			C 2		+
																														1080												2160
z																12																								1						0		(5.4.48)
										1										1										13
						+							a3
																−										a −													.
									432										144													1080
Пусть R1, R2, и R3 — действительные корни уравнения
	4 R3			−	a R2			−				1 − a2						R		−						1							C								1			C 2		−
																								1080
										12																									1	− 2160 0												(5.4.49)
								1								1														13
						−					a3 +										a +														= 0,
							432										144											1080

такие, что R1 ≥ R2 ≥ R3, тогда общее решение уравнения (5.4.48) может быть представлено в виде

R(z) = R2 + (R1 − R2) cn2(z R1 − R2, S),

		R1	(5.4.50)
	S2 =		− R2	.
		R1
			− R3

5.4. Метод простейших уравнений

279

Периодические решения исходного уравнения существуют только при двух значениях σ = ± 4. В работах [107, 109] доказано, что это единственные периодические решения уравнения Курамото—Сивашинского.

5.4.3.Уединенные волны на поверхности жидкости с конвекцией

Уравнение для описания волн с учетом конвекции жидкости

[82]

ut + ε uux + χ (uux)x + μuxx + δ uxxx + γuxxxx = 0	(5.4.51)
заменой переменных может быть приведено к виду
ut + β (uux + uxxx) + α uxx + (u ux + uxxx)x = 0.	(5.4.52)

где α и β определяются через значения параметров ε, χ, μ, δ и γ. Используя переменные бегущей волны, из (5.4.52) получаем

β	yzz +	1	β	y	2	+	α	yz − C0 y + C1 = 0.	(5.4.53)
yzzz + y yz +		2

Задача Коши для уравнения (5.4.53) в общем случае не решается, но при некоторых дополнительных ограничениях на параметры, уравнение имеет набор точных решений [39, 142].

Найдем решения уравнения (5.4.53) в виде уединенных волн. Укороченное уравнение, соответствующее (5.4.53), имеет вид

yzzz + y yz = 0.

(5.4.54)

Из решения (5.4.54) следует, что решение уравнения (5.4.53) имеет полюс второго порядка, и поэтому решение для уединенных волн будем искать в виде

y (z) = A0 + A1 Y + A2 Y 2,

(5.4.55)

280 Глава 5. Методы построения точных решений

где Y (z) является общим решением уравнения Риккати (5.4.18). Подставляя выражение (5.4.55) в уравнение (5.4.53), получим следующие значения коэффициентов

A2 = −12, A1 = 0, A0 = 8 b − α,									(5.4.56)
	1								(5.4.57)
C0 = β α, C1 = −					β α2 + 8 β b2 .
				2
Решение уравнения (5.4.53) имеет вид
y (z) = 8 b − α − 12	√		tanh2			√			(5.4.58)
		b					bz ,

где b — произвольная постоянная.

Мы нашли точные решения уравнения (5.4.58) в виде уединенных волн с одной произвольной постоянной b. Это решение удовлетворяет уравнению (5.4.53) в виде

	yzzz + y yz + βyzz +			1	β y2 + αyz − α β y−
				2
		1			(5.4.59)
	−		β α2 + 8 β b2 = 0.
		2

Решения (5.4.58) могут быть использованы при анализе нелинейных волновых процессов, описываемых уравнением (5.4.51).

5.4.4.Периодические волны на поверхности жидкости с конвекцией

Используя метод простейших уравнений, найдем решение уравнения (5.4.52) в виде периодических волн. С этой целью воспользуемся формулой

	y(z) = A0	+ A1 Q + A2Q2 + D1Qz + B1	Qz	+ B2	Qz2	,	(5.4.60)
			Q		Q2
	где Q(z) — общее решение уравнения
		Qz2 = Q4 + a Q3 + b Q2 + c Q + d.					(5.4.61)