КузминАМ Основы теории критичности 2008
.pdfEc
Здесь φТ (r ) =ψT (r ) ∫υ(E) M (E,Tн) dE и имеет смысл
0
интегрального потока тепловых нейтронов. Такое выражение для функции φT (r ) и соотношение (3.6) для плотности замедления
позволяют источник замедляющихся нейтронов (3.2) представить суммой:
|
|
|
|
K∞ |
|
τ |
|
dτ |
|
|
|
|
j(r ,0) = |
Σa,T φТ (r ) + ∫c kτ |
j(r ,τ) |
, |
(3.16) |
||||
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
ϕ |
0 |
|
Lτ |
|
||
где K∞ – коэффициент |
размножения |
в бесконечной |
среде, а |
|||||||
kτ |
=μ |
ν f Σf (τ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Σa (τ) |
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся уравнениями (3.7), (3.15) для решения задачи о критичности реактора без отражателя, заменив в равенстве (3.16)
параметры К∞ и kτ соответственно отношениями:
~ |
К |
∞ |
|
~ |
k |
|
К∞ = |
|
, |
kτ = |
τ |
. |
|
|
|
|
||||
|
Кэф |
|
Кэф |
При этом будем считать, что решения уравнений удовлетворяют условию φ(rэ, E) = 0 и дают (с точностью до постоянного множителя) асимптотические распределения замедляющихся и тепловых нейтронов во всей области энергий 0 < E ≤ E0 .
Для реактора, состоящего из одной зоны, пространственные распределения нейтронов разных энергий описываются одной и
той же функцией. Поэтому плотность замедления |
j(r ,τ) можно |
||||||
представить в виде: |
|
|
|
|
|
||
|
j(r ,τ) = f (τ)φT (r ) . |
|
(3.17) |
||||
Подставляя произведение (3.17) в уравнение (3.7), получим: |
|||||||
|
1 |
d f (τ) + |
1 |
= |
φT (r ) |
= −ω2 |
, |
|
|
2 |
|||||
|
f (τ) dτ |
L |
φ (r ) |
|
|
||
|
|
|
τ |
T |
|
|
где: −ω2 – константа разделения переменных (отрицательная – из физических соображений об изменении j(r ,τ) с ростом возраста τ ). Отсюда:
61
1 |
df (τ) |
= −ω2 − |
1 |
, |
φ (r ) + ω2 |
φ (r ) = 0 . (3.18) |
|
f (τ) |
dτ |
Lτ2 |
|||||
|
|
T |
T |
Решая первое уравнение (3.17) относительно функции f (τ) при
условии (3.16), получим равенство: |
|
|
|
|
|
|||
в котором |
j(r ,τ) = f (0) exp(−ω2τ − g(τ))φT (r ) , |
|
|
(3.19) |
||||
|
ϕ−1 K~∞ Σa,T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
τ |
dτ |
|
||
f (0) = |
|
|
|
, |
g(τ) = ∫ |
|
. |
(3.20) |
τc |
~ |
exp(−ω2τ − g(τ))dg(τ) |
L2 |
|||||
|
|
|
|
τ |
|
|||
1 − ∫kτ |
|
0 |
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая |
затем выражение (3.19) |
при значении |
τ =τс , |
|||||
преобразуем уравнение (3.15) к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
τc − g(τc )) |
||
φT (r ) + |
Σa,T |
K∞ exp(−ω |
|
|
||||
D |
|
|
τc |
~ |
2 |
τ − g(τ))dg(τ) |
||
|
T |
|
||||||
|
|
1 |
− ∫kτ exp(−ω |
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−1 φT (r ) = 0 .
Сравнение этого выражения с (3.18) для функции φT (r ) показывает, что в качестве константы разделения ω2 следует взять
решение уравнения: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
τc − g(τc )) |
|
|
||
|
|
ω2 L2 |
|
= |
|
K∞ exp(−ω |
|
−1, |
(3.21) |
|||
|
|
|
|
τc ~ |
|
|
||||||
|
|
|
T |
|
|
2 |
τ − g(τ))dg(τ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 − ∫kτ exp(−ω |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
где L2 |
= |
DT |
|
– квадрат длины диффузии тепловых нейтронов. |
||||||||
Σ |
||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a,T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (3.18) для φT (r ) имеет такой же вид, как и уравнение (1.6) для функции ψm (r ) . Решения их ищутся на одном и том же множестве функций. Поэтому константа разделения ω2 может принимать лишь дискретные значения, равные α02 , α12 ,…и
совпадающие (с точностью до знака) с собственными числами оператора Лапласа. Учитывая перечисленные ранее (в главе 1)
62
свойства этих чисел и соответствующих им собственных функций, приходим к выводу, что при получении нетривиального решения задачи (3.7), (3.15), (3.16) следует принять:
ω2 =α02 . |
(3.22) |
При этом асимптотическое распределение нейтронов имеет вид:
|
|
|
|
φT (r ) =Cψ0 (r ) , |
|
|
(3.23) |
|||
|
j(r,τ) = C f (0) exp(−ω2 τ − g(τ))ψ0 (r ), |
|||||||||
|
|
|||||||||
где С – |
постоянный множитель, f (0) определяется равенством |
|||||||||
(3.20), |
а ψ0 (r ) |
– собственная |
функция, соответствующая |
|||||||
наименьшему собственному числу α02 |
задачи (1.6): |
|
||||||||
|
ψ |
0 |
(r ) + α2 ψ |
0 |
(r ) = 0 , |
ψ |
0 |
(r ) = 0 . |
(3.24) |
|
|
|
|
0 |
|
|
э |
|
Здесь, как и в разделе 2.1, число α02 называют геометрическим
параметром, а константу разделения ω2 – материальным параметром реактора без отражателя.
Равенство (3.22) совместно с уравнением (3.21) относительно ω2 и полученными ранее формулами расчёта α02 позволяют определить критические параметры реактора: эффективный коэффициент размножения нейтронов Кэф , критическую массу и др. Например, в реакторе с заданными свойствами (размерами и
концентрациями |
ядер) значение |
Кэф получим, заменяя в |
||||
уравнении (3.21) ω2 на α02 . В результате придём к равенству: |
||||||
|
K∞ exp(−α02τc − g(τc )) |
τc |
2 |
|||
Кэф = |
|
|
|
|
+ ∫kτ exp(−α0τ − g(τ))dg(τ) , (3.25) |
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
1 +α0 |
LT |
0 |
|
в котором первое слагаемое в правой части учитывает вклад от деления ядер топлива тепловыми нейтронами, а второе слагаемое – от деления ядерного горючего замедляющимися нейтронами.
Используя соотношения (3.22) – (3.25), можно установить, что:
-если в бесконечной среде без поглощения плотность замедления j(r ,u) как функция летаргии u постоянна, то в
реакторе конечных размеров в присутствии поглощения нейтронов она уменьшается с ростом летаргии;
63
- для реактора на тепловых нейтронах (в котором обычно
можно считать, что: kτ |
≈ 0 ) формула (3.25) упрощается и |
|||||||
принимает вид: |
К∞ exp(−α02τc − g(τc )) |
|
|
|||||
Кэф = |
; |
(3.26) |
||||||
|
1+α |
2 |
2 |
|
||||
|
|
0 |
L |
|
|
|||
|
|
|
T |
|
|
-в выражении (3.26) экспоненциальный множитель имеет смысл вероятности замедляющимся нейтронам избежать утечки и поглощения при изменении их возраста от 0 до τс
(практически |
равному возрасту тепловых нейтронов), а |
||||||
множитель |
|
|
1 |
|
|
совпадает с вероятностью тепловым |
|
1 |
+α |
|
2 |
2 |
|||
|
0 |
L |
|||||
|
|
|
|
T |
нейтронам избежать утечки из реактора;
-в большом (или «физически большом») тепловом реакторе
(в котором |
α2τ |
с |
<<1 , |
α2 L2 <<1) плотность замедления |
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
T |
|
||
j(r ,u) слабо меняется |
с |
изменением летаргии |
u, а для |
||||||
оценки Кэф можно воспользоваться равенством: |
|
||||||||
|
Кэф = |
|
|
|
К∞ |
|
, |
(3.27) |
|
|
|
1+α02 MT2 + g(τc ) |
|||||||
где M 2 = L2 +τ |
c |
– квадрат длины миграции |
тепловых |
||||||
T |
T |
|
|
|
|
|
|
нейтронов.
3.2. Многогрупповые уравнения и сечения реакций
При получении пространственно-энергетических распределений нейтронов в реакторах, состоящих из нескольких зон, обычно используются многогрупповые методы решения уравнений. В этих
методах весь диапазон изменения энергий нейтронов 0 ≤ Е ≤ Еmax разбивается на m >1 энергетических интервалов длиной Ek так,
что:
Ek = Ek−1 −Ek , Ek −1 > Ek , k =1, 2,…, m, Em = 0, E0 = Emax .
Нейтроны с энергией E Ek называют нейтронами k-й группы. Вместо уравнений с непрерывно зависящими от E вероятностями
64
взаимодействий решается система уравнений для отдельных групп нейтронов с постоянными в интервале Ek сечениями. Переход к таким уравнениям связан с введением ряда допущений, снижающих точность определения Кэф и распределений
нейтронов. Чтобы выяснить причины возникновения погрешностей, рассмотрим в общих чертах схему построения многогрупповых уравнений. Считаем (как и в разделе 3.2), что все тепловые нейтроны находятся в m-й группе, и для них выполняется принцип детального равновесия. Вероятность их перехода в другие группы ничтожна мала.
Остановимся сначала на преобразовании уравнений (1.18), описывающих распределение нейтронов в условно-критическом реакторе в диффузионном приближении. Как отмечалось во введении, такой реактор не должен включать водородосодержащие
материалы. Проинтегрируем уравнения (1.18) по интервалу Ek , предварительно записав второе из них в виде:
|
|
3Σtr (E) J (r, E) =− grad φ(r , E) . |
|
(3.28) |
||
Введём |
в |
рассмотрение средние |
макроскопические |
сечения |
||
Σ(pk ) , Σ(trk,i) так, чтобы |
|
|
|
|
||
Σ(pk ) φ(k ) (r ) = ∫Σp (E)φ(r , E) dE , p = c, f , s,t |
(3.29) |
|||||
|
|
Ek |
|
|
|
|
Σtr(k,i) (J (k ) (r ), ei )= ∫Σtr (E) (J (r , E) , ei )dE , |
i =1, 2,3 , |
(3.30) |
||||
|
|
Ek |
|
|
|
|
где: |
φ(k ) (r ) = ∫φ(r , E) dE , J (k ) (r ) = ∫J (r , E) dE , |
а |
ei – |
|||
|
|
Ek |
|
Ek |
|
|
единичные |
орты, направленные |
вдоль |
координатных |
осей |
||
xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z) . |
|
|
|
|
Для тепловых нейтронов имеем:
∫Σt (E)φ(r, E) dE − ∫ ∫Σs (E′)Ws (E′ → E)φ(r, E′) dE′dE = Σ(am)φ(m) (r ) .
Em Em Em
Здесь учтено, что в силу принятых выше допущений при значениях
E Em : |
′ ′ |
=1 , |
∫Ws (E → E ) dE |
||
|
E′ |
|
Σs (E′)Ws (E′ → E)φ(r , E′) = Σs (E)Ws (E → E′)φ(r, E) .
65
Для нейтронов групп k =1, 2,…, m −1, теряющих энергию при столкновениях с ядрами среды:
Ek
∫Σs (E)φ(r , E) ∫Ws (E → E′) dE′dE =Σ(dk →k ) φ(k ) (r ) + Σ(dk )φ(k ) (r ) ,
Ek |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
||
∫ ∫Σs (E′)φ(r , E′)Ws (E′ → E) dE′dE = Σ(dk →k )φ(k ) (r ) + ∑Σ(dj →k )φ( j) (r ) , |
||||||||||||
Ek |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Σ(dk ) = ∑Σ(dk→ j) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
j=k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ(dj→k )φ( j) (r ) = |
∫ Σs (E′)φ(r , E′) ∫Ws (E′ → E)dEdE′, |
(3.31) |
||||||||||
|
|
|
|
|
E j |
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
(k→k ) (k ) |
(r ) = |
|
E |
|
′ |
′ |
dE . |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
Σd |
φ |
|
∫ Σs (E)φ(r , E) ∫Ws (E → E )dE |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ek |
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая соотношения (3.29) – (3.31), придём к системе |
|||||||||||
уравнений для потоков φ(k ) (r ) |
(k =1, 2,…, m) : |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k−1 |
|
χ |
(k ) |
m |
|
|
|
−div J (k ) (r ) − Σ(adk ) φ(k ) (r ) + ∑Σ(dj→k ) φ( j) (r ) + |
|
|
∑ν(f j)Σ(f j) φ( j) (r ) = 0 , |
|||||||||
K |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
эф |
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
||
|
|
(J (k ) (r ) , ei )= −(grad φ(k ) (r ) , ei ) , |
|
|
|
|
|
(3.32) |
||||
3Σ(trk,)i |
i =1, 2, 3 , |
(3.33) |
вкоторой наряду с (3.31) приняты обозначения:
χ(k ) = ∫χ(E) dE , Σ(adk ) =Σ(ck ) + Σ(fk ) + Σ(dk ) ,
Ek
ν(fk )Σ(fk )φ(k ) (r ) = ∫ν f Σf (E)φ(r , E)dE .
Систему уравнений (3.32), (3.33) можно рассматривать как точный аналог исходных уравнений (1.18). Присутствующие в них
средние сечения Σ(pk ) меняются с изменением координаты r (даже
в пределах одной зоны реактора, где концентрации ядер постоянны), что создаёт определённые трудности при их решении. Основная же проблема состоит в том, что эти сечения являются
66
функционалами |
внутригрупповых |
распределений |
φ(r , E), J (r , E) , |
которые неизвестны. |
Можно было бы |
попытаться эти распределения приближённо получить, используя значения φ(k ) (r ) , J (k ) (r ) . Однако сделать это с хорошей
точностью при сравнительно небольшом числе групп m не удаётся. Это касается, прежде всего, резонансной области, где микроскопические сечения сильно меняются в пределах малых интервалов энергии (шириной примерно 0,1 эВ). Сокращение же
длин интервалов Ek приведёт к резкому увеличению числа групп
mи, как следствие, времени расчёта. Поэтому поступают иначе. Вводится предположение о разделении пространственных и
энергетических переменных у функций φ(r , E) , с помощью которых по формулам (3.29) – (3.30) находятся групповые сечения Σ(pk ) для какой-либо зоны реактора:
φ(r , E) = f (k ) (E)ψ |
(k ) (r ) , |
E E |
k |
, |
r V , |
(3.34) |
|
|
|
|
i |
|
|
где Vi – объём i -й |
зоны (например, |
|
активной |
зоны или |
||
отражателя), f (k ) (E) |
– известные функции, связанные с |
|||||
внутригрупповыми |
спектрами |
g(k ) (E) |
равенствами |
|||
f (k ) (E) =υ(E) g(k ) (E) . |
Они выбираются с учётом особенностей |
взаимодействия нейтронов с ядрами среды в соответствующих энергетических интервалах (более подробно об этом сказано ниже).
Отметим, что при выполнении предположения (3.34):
J (r, E) = −D(E) f (k ) (E) gradψ (k ) (r ) , E E |
k |
, |
r V . |
|
|
i |
Таким образом, переменные разделяются у тока нейтронов J (r , E)
и проекции Ji (r, E) = (J (r , E) , ei ) имеют одну и ту же зависимость от энергии. В результате сечения, определяемые равенствами (3.29) и (3.30), не будут зависеть от r в пределах
объёма Vi . Более того, транспортные сечения Σ(trk,)i вдоль разных
осей xi совпадут с одним и тем же значением Σ(trk ) . Поэтому соотношения (3.30) принимают вид:
67
∫Σtr (E) D(E) f (k ) (E) dE
Σtr(k,)i = Σ(trk ) = |
Ek |
|
, |
i =1, 2, 3 , |
(3.35) |
|
|
||||
|
|
∫D(E) f (k ) (E) dE |
|
|
|
|
|
Ek |
|
|
|
а уравнения (3.33) удаётся записать в форме |
|
|
|||
|
|
J (k ) (r ) = −D(k ) gradφ(k ) (r ) , |
(3.36) |
где D(k ) = (3Σtr(k ) )−1 – коэффициент диффузии k-й группы.
Используя предположение (3.34), соотношения (3.29) – (3.31), (3.35) можно привести к виду:
Σ(pk ) = ∑σ p(k,l) ρl , ( p = c, f , s,tr) , |
Σ(dj→k ) = ∑σd( ,jl→k ) ρl , (3.37) |
l |
l |
если считать, что ρl – концентрация ядер сорта l в какой-либо зоне
реактора, а многогрупповые микроскопические сечения в той же зоне определяются равенствами:
∫σtr,l (E) D(E) f (k ) (E) dE
σtr(k,l) = |
Ek |
|
, |
|
|
||
|
|
∫D(E) f (k ) (E) dE |
Ek
∫σ p,l (E) f (k ) (E) dE
σ(pk,l) = |
Ek |
|
, ( p = c, f ) , |
(3.38) |
|
|
|||
|
|
∫ f (k ) (E) dE |
|
Ek
∫∫σs,l (E′)Ws,l (E′ → E) f ( j) (E′) dE′dE
σ( j→k ) = E j Ek |
|
|
|
|
. |
|
d ,l |
|
∫ f |
( j ) |
′ |
′ |
|
|
|
|
(E ) dE |
|
|
E j
Здесь учтено, что D(E) = (3Σtr (E))−1 .
Пусть теперь распределение нейтронов находится в Р1 -
приближении и в качестве исходных выбраны уравнения (6) и (15). Все преобразования, касающиеся уравнения (6), полностью совпадут с теми, которые привели к равенствам (3.32).
Интегрирование же уравнения (15) по интервалу Ek даёт
68
gradφ(k ) (r ) +3 ∫ Σt (E) J (r, E) dE = 3 |
∫ ∫Σs (E′)Ws,1(E′ → E) J (r, E′) dE′. |
Ek |
Ek E′ |
(3.39)
Запишем это равенство в проекциях на координатные оси и введём в рассмотрение средние сечения Σ(dji→k ) , Σ(tik ) так, чтобы:
Σd( ji→k ) Ji( j ) (r ) = ∫ |
∫Σs (E′)Ws,1 (E′ → E) Ji (r , E′) dE′ dE , i =1,2,3 , |
Ek |
E j |
|
Ek −1 |
Σt(ik ) Ji(k ) (r ) = ∫Σt (E) Ji (r , E) dE − ∫ ∫Σs (E′)Ws,1 (E′ → E) Ji (r , E′) dE′ dE . |
|
Ek |
Ek E |
(3.40)
Раньше (в диффузионном приближении) было установлено, что переменные у тока нейтронов J (r , E) разделяются, когда выполняется предположение (3.34). На основе уравнения (3.39) не удаётся прийти к такому утверждению [1]. Если же считать, что
энергетические зависимости компонент Ji (r , E) тока J (r , E) описываются разными функциями, то равенства (3.40) дадут несовпадающие вдоль разных направлений ei сечения. Однако такое усложнение представляется мало оправданным, поскольку, во-первых, Р1 - приближение не даёт точного решения для потока
нейтронов φ(r , E,Ω) и, во-вторых, существует некоторая неопределённость в выборе внутригрупповых спектров. Поэтому в Р1 - приближении наряду с допущением (3.34) предполагается, что компоненты Ji (r , E) имеют общую зависимость от энергии E.
Например, если при получении сечений Σ(dji→k ) , Σ(tik ) пренебречь анизотропией рассеяния, то можно принять:
J (r , E) = −D(E) gradφ(r , E) = −D(E) f (k ) (E) gradψ (k ) (r ) ,
(для E Ek , r Vi ),
где коэффициент диффузии D(E) определяется равенством (3.39). Тогда
Σ(dji→k ) = Σ(d1j→k ) , Σt(ik ) = Σt(1k ) , |
i =1, 2,3 , |
а уравнение (3.40) преобразуется к виду:
69
k −1 |
|
gradφ(k ) (r ) + 3Σt(1k ) J (k ) (r ) = 3∑Σ(d1j →k ) J ( j) (r ) . |
(3.41) |
j =1
Входящие в эти уравнения сечения Σ(d1j →k ) , Σt(1k ) рассчитываются по формулам вида (3.37), если в качестве соответствующих микроскопических сечений σd( 1j,→l k ) , σt(1k,l) принять:
∫ ∫σes,l (E′)Ws1,l (E′ → E) D(E′) f ( j) (E′) dE′ dE
σd( 1,j →l |
k ) = |
Ek E j |
|
, |
|
||
|
∫D(E′) f ( j) (E′)dE′ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E j |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.42) |
|
|
|
|
|
|
Ek −1 |
|
|
|
|
|
∫ σt,l (E)D(E) f (k ) (E)dE − ∫ ∫σes,l (E′)Ws1,l (E′ → E)D(E′) f (k ) (E′)dE′dE |
. |
|||
σ (k ) |
= |
|
Ek |
Ek E |
|
||
t1,l |
|
|
|
|
∫D(E) f ( k ) (E)dE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ek
Уравнения (3.32), (3.36) будем называть многогрупповыми уравнениями диффузионного приближения, а (3.32), (3.41) –
многогрупповыми уравнениями P1 -приближения. Из условий (В.12)
следует, что их решение следует искать среди функций:
φ(k ) (r ) Ωk , |
k =1,2,…, m . |
(3.43) |
Здесь каждое множество |
Ωk образуют функции |
φ(k ) (r ) , |
непрерывные вместе с произведением (J (k ) (r ), n) при всех значениях r V и обращающиеся в нуль на экстраполированной
границе реактора: φ(k ) (rэ) = 0 .
Для примера получим двухгрупповых уравнений при тех допущениях, которые были перечислены в разделе 3.1. Будем
считать, что замедляющиеся нейтроны с энергиями Ec ≤ E ≤ E0 образуют первую группу ( E0 – порог деления сырьевого материала), а тепловые нейтроны с энергиями 0 ≤ E ≤ Ec – вторую
группу. Энергетическое распределение замедляющихся нейтронов описывается функцией φ(r ,u) , зависящей от летаргии u и удовлетворяющей уравнению (3.5). Для тепловых нейтронов
70