КузминАМ Основы теории критичности 2008
.pdfВ этом выражении ψ0 (r ) – собственная функция задачи (1.7), соответствующая числу α02
ψ |
0 |
(r ) + α2ψ |
0 |
(r ) = 0 , |
ψ |
0 |
(r ) = 0 , |
(3.56) |
||||
|
0 |
|
|
э |
|
|
|
|
||||
а амплитуды I0(k ) – решения уравнений: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
χ |
( k ) |
m |
||
−α02 D(k ) I0( k ) − Σ(adk ) I0(k ) + ∑Σ(dj→k ) I0( j) + |
|
∑ν (fl )Σ(fl ) I0(l ) = 0 , |
||||||||||
Кэф |
||||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
l=1 |
||||
|
k =1, 2,…, m . |
|
|
|
|
|
|
(3.57) |
Поскольку равенства (3.57) образуют систему линейных однородных уравнений, то значения I0(k ) могут быть определены
лишь с точностью до постоянного множителя. Удобно его выбрать так, чтобы:
1 |
m |
(l ) |
(l ) |
|
|
(l ) |
|
|
|||
|
∑l=1 ν f |
Σf |
I0 |
=1. |
(3.58) |
Кэф |
k−1
χ(k ) + ∑Σ(dj→k ) I0( j )
Тогда |
I (k ) = |
|
|
|
j=1 |
|
|
, |
k =1,2,…, m , |
(3.59) |
|
|
α02 D( k ) +Σ(adk ) |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
что позволяет без |
итераций рассчитать I0(k ) последовательно, |
||||||||||
начиная с I0(1) . После этого нетрудно с помощью равенства (3.58) |
|||||||||||
найти Кэф . Если окажется, |
что значение Кэф ≠1, то необходимо |
||||||||||
изменить свойства реактора, пересчитать амплитуды |
I0(k ) и вновь |
||||||||||
проверить выполнение условия (3.58). |
|
|
|
||||||||
|
Значения |
I0(k ) |
дают |
представление о спектре |
нейтронов |
||||||
f (k ) (k =1,2,…, m) |
в |
реакторе. Подразумевая под |
величиной |
||||||||
f (k ) (r ) |
отношение |
f (k ) (r ) = |
φ(k ) (r ) |
|
, получим, что в реакторе |
||||||
m |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑φ(k ) (r ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
без отражателя спектр нейтронов не зависит от пространственных координат r .
81
3.5.Двухгрупповой метод для многозонного реактора
Вслучае многозонного реактора аналитическое решение задачи
окритичности существует лишь в одномерной геометрии. Хотя оно может быть получено при произвольном числе энергетических групп, в дальнейшем ограничимся 2-групповым приближением и реактором на тепловых нейтронах. Будем считать (как и в разделе 3.1), что все замедляющиеся (быстрые) нейтроны включены в 1-ю группу, тепловые – во 2-ю группу, а асимптотические
распределения потоков φ(1) (r ), φ( 2) (r ) находятся, решая
уравнения (3.45) и рассчитывая макроскопические сечения по формулам (3.46), (3.47).
ˆ |
= − λ , гдеλ – константа, |
Введем в рассмотрение оператор Lλ |
а– оператор Лапласа, определенный на множестве функций
Ω, непрерывных вместе с частными производными 2-го порядка.
Действие такого оператора на функцию Сψ (r ) ( С–
произвольный множитель, не зависящий от переменных r ) заключается в следующем:
Lλ (Cψ ) = C ψ (r ) −λCψ (r ) . |
(3.60) |
Тогда уравнения (3.45) для любой зоны реактора с постоянными свойствами можно записать в виде (индекс зоны пока опускаем):
|
|
1 |
|
|
|
K |
|
|
|
Σ |
(2) |
|
|
|
|||
|
− |
|
φ(1) (r ) = − |
~ |
|
|
|
|
φ( 2) |
(r ) , |
|
||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
a |
|
(3.61) |
|||||||
τ |
ϕ |
|
|
D(1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
ϕ |
Σ(1) |
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
|
φ( 2) |
(r ) = − |
|
|
|
(2d) |
|
φ(1) (r ) , |
(3.62) |
||||
|
2 |
|
|
D |
|
||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
c |
|
~ |
|
|
K |
∞ |
|
|
u |
|
|
|
|
ν (1)f Σ(1)f |
|
|
|
где τ = |
|
, |
K |
∞ |
= |
|
, |
ε = |
|
c |
|
Σ(1) |
− μ |
|
|
|
. В |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 +ε |
|
|
Kэф |
|
|
|
|
a |
|
|
Кэф |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ξΣs |
|
|
|
|
|
дальнейшем считаем, что квадрат длины диффузии тепловых нейтронов L2 ≠τ .
|
Подействуем на обе части уравнения (3.61) оператором |
||
|
− |
1 |
|
|
|
. Учитывая равенство (3.62) , получим: |
|
2 |
|||
|
|
L |
|
82
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
(1) |
|
|
K∞ −1−ε |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
φ |
|
(r )) − |
|
+ |
|
|
φ |
|
(r ) |
− |
|
|
φ |
|
(r ) = 0 . |
(3.63) |
|
||
|
|
τ |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
L τc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К такому же виду приводится уравнение для функции φ(2) (r ) , |
||||||||||||||||||||
если |
на |
обе части |
равенства (3.62) |
подействовать |
оператором |
||||||||||||||||
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
что общие решения для |
φ |
(1) |
(r ) |
и |
|||||||
|
τ |
. Это говорит о том, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(2) (r ) |
строятся на |
базе |
одних |
и тех же |
частных |
решений. |
В |
качестве таких решений можно взять функции ψ (r ) Ω , не равные тождественно нулю и удовлетворяющие равенству:
ψ (r ) +ωψ (r ) = 0 , |
(3.64) |
где параметр ω выбирается таким, |
чтобы уравнение (3.63) |
обращалось в тождество. |
|
Полагая φ(1) (r ) = Cψ (r ) и учитывая (3.64), установим, что значения ω должны совпадать с корнями квадратного уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
~ |
|
|
−1 |
−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
+ |
+ |
− |
|
K∞ |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.65) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
τ |
|
|
|
|
L τc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
Дискриминант |
|
|
|
|
этого |
уравнения |
|
δ = ( |
− |
|
|
)2 |
+ |
4K∞ |
> 0 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
L |
|
L τc |
|||||
Поэтому |
|
корни |
|
|
|
ω = ω1 , |
ω = ω2 |
являются |
|
действительными, |
|||||||||||||||||||||||||
различными и определяются равенствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
ω |
= |
+ |
|
|
|
|
|
4(К∞ −1−ε) τ L |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 + |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
L2 |
τ |
|
(1+ε) (τ + L2 )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.66) |
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ω2 |
= − |
|
|
+ |
|
|
|
|
4 (К∞ −1−ε)τ L |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
(1+ε) (τ + L ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|||
Зависимости ω1 и ω2 от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
размножающих свойств зоны (K∞ ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
приведены на рис.3.2 (для случая, когда L2 <τ ). Видно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
ω1 |
≥ 0 при |
~ |
|
|
|
|
+ε , |
|||||||||
< 0 при K∞ <1 +ε |
|
|
|
K |
∞ ≥1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 0 при K∞ ≥ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
Рис.3.2. Зависимости корней уравнения (3.65) от
|
|
~ |
|
величины коэффициента |
К∞ . |
|
|
Таким образом, функции |
ψ1 (r ) , |
ψ2 (r ) , удовлетворяющие |
|
уравнениям |
|
|
|
ψ1 (r ) +ω1ψ1 (r ) = 0 , |
ψ2 (r ) +ω2ψ2 (r ) = 0 , |
(3.67) |
являются частными решениями бигармонического уравнения
(3.65). Поэтому общие решения |
|
|
для |
потоков |
φ(1) (r ) , |
φ(2) (r ) |
|||||||||||||
записываются в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
φ(1) (r ) = A(1)ψ |
1 |
(r ) + A(1)ψ |
2 |
(r ) , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(3.68) |
|||||
φ(2) (r ) = A(2)ψ |
|
(r ) + A(2)ψ |
|
|
(r ) , |
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где А(1) , А(2) , А(1) , |
А(2) – постоянные множители, из которых два |
||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множителя |
|
|
(например |
А(1) |
и |
А(2) ) |
могут принимать |
любые |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
значения, а остальные зависят от них. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Действительно, |
подставляя в |
|
|
уравнение |
(3.62) |
сначала |
|||||||||||||
φ(1) = А(1)ψ |
1 |
(r ) , |
φ(2) |
= А(2)ψ |
1 |
(r ) , |
а |
затем |
φ(1) = А(1)ψ |
2 |
(r ) , |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
φ(2) = А(2)ψ |
2 |
(r ) |
получим тождество, когда |
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
(1) |
, |
(1) |
~ |
(2) |
, |
|
|
|
|
A1 |
= p A1 |
A2 |
= p A2 |
|
|
|
||||||
p = |
|
|
ϕΣ(1)d |
|
|
~ |
|
(1+ω2 L2 )Σ(a2) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, p |
= |
|
|
. |
(3.68) |
|
Σ |
(2) |
|
|
2 |
|
ϕ Σ |
(1) |
|||||
|
a |
(1+ω L ) |
|
|
d |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, в обоих случаях выполняется также равенство (3.61), так как ω1 , ω2 – корни уравнения (3.65).
Теперь можно приступить к получению условия критичности и асимптотических распределений нейтронов. Эта часть условнокритической задачи решается так же, как в односкоростном
приближении. Однако выражения для потоков φ(1) (r ) и φ(2) (r )
(зависящих в любой одномерной геометрии от одной переменной r ) должны быть записаны, учитывая соотношения (3.69) и вид частных решений уравнений (3.67). Соответствующие функции приведены в табл.1.1.
Предположим, |
что любую зону с номером |
i =1, 2,... можно |
|||||||||
считать либо активной зоной с |
~ (i) |
>1 +εi , либо отражателем с |
|||||||||
K∞ |
|||||||||||
~ (i) |
= 0 . Разобьем |
множество |
I |
номеров зон |
на |
два |
|||||
K∞ |
|||||||||||
подмножества I p |
и |
I0 , |
включив |
в |
I p |
номера |
активных |
||||
(размножающих) зон, |
а в |
I0 |
– номера |
неразмножающих |
зон |
(отражателей). Введем для корней ω1 , |
ω2 в i -й зоне обозначения: |
||||||||||||||||
ω = β 2 |
, |
ω |
2 |
= −γ 2 |
, |
если i I |
p |
; |
|
|
|
||||||
1 |
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ω = −υ |
2 |
= − |
1 |
, ω |
|
|
= −ϑ2 |
= − |
|
1 |
|
, если i I |
|
, |
|||
i |
τ |
|
2 |
|
L2 |
0 |
|||||||||||
1 |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
а для частных решений уравнений (3.67) в той же зоне –
обозначения: |
|
|
~ |
~ |
|
|
f (βi r) , |
g(βi r) |
и |
I p |
|||
f (γi r) , g(γi r) , если i |
||||||
~ |
~ |
и |
~ |
~ |
I0 . |
|
f (υi r) , |
g(υi r) |
f (ϑi r) , |
g(ϑi r) , если i |
|||
Тогда потоки быстрых φ(1) (r) |
и тепловых φ(2) (r) нейтронов в |
|||||
i -й зоне (толщиной Ri |
= Ri − Ri−1 ) принимают вид: |
85
если i I p , то для r Ri :
(1) |
|
|
~ |
~ |
~ |
|
φi |
(r) = ai f (βi r) + bi g(βi r) + pi |
[ci f (γi r) + di g (γi r)], |
||||
(2) |
(r) = pi [ai f (βi r) + bi g(βi r)] |
~ |
~ |
|
||
φi |
+ ci f (γi r) + di g(γi r) ; |
|||||
если i I0 , то для |
r Ri : |
|
|
|
(3.70) |
|
(1) |
~ |
~ |
|
|
|
|
φi (r) = ai f (υi r) +bi g(υi r) , |
|
~ |
~ |
|
||
(2) |
~ |
~ |
|
|
||
φi |
(r) = pi [ai f (υi r) |
+bi g(υir)]+ ci f (ϑi r) + di g(ϑi r) , |
||||
где |
ai , bi , ci , di – произвольные множители, |
независящие от |
||||
|
|
~ |
– |
коэффициенты |
связи (3.69), |
|
переменной r , pi , pi |
||||||
рассчитываемые по свойствам i -й зоны. |
|
|
Значения неизвестных ai , bi , ci , di получим, используя
граничные условия, а также |
условия непрерывности потоков |
||
φ(к) (r ) и проекций токовD(k ) |
dφ(k ) |
(k =1,2) на границах зон. В |
|
dr |
|||
|
|
результате придем к системе линейных (относительно перечисленных выше неизвестных) однородных уравнений с определителем Д(и) , зависящим от параметров u реактора. Из
равенства Д(и) = 0 получим критические значения и = и0 параметров, а затем (как и в односкоростном приближении) определим для всех зон множители ai , bi , ci , di , предварительно приняв один из них равным единице. После этого по формулам (3.70) рассчитаем асимптотические распределения потоков φ(1) (r) ,
φ(2) (r) . При этом возникают те же проблемы, которые обсуждались в разделе 2.2.
3.6. Распределения нейтронов в реакторе с отражателем
Воспользуемся полученными выше соотношениями для определения критического размера сферически симметричного реактора. Рассмотрим сначала случай, когда имеется одна активная
зона, а при r = Rэ располагается экстраполированная граница.
86
Тогда потоки нейтронов в активной зоне φ1(1) (r) , φ1(2) (r) должны удовлетворять условиям:
|
r |
2 dφ(k ) |
= 0 |
, φ |
(k ) |
(R ) = 0 , к =1,2 , |
(3.71) |
|
|
|
|
|
|||||
|
dr |
|
1 |
э |
|
|||
|
|
r=0 |
|
|
|
|
|
|
0 ≤φ(k ) (r) < ∞ при 0 ≤ r ≤ R , |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
э |
|
а частными решениями уравнений (3.67) являются следующие функции:
|
|
f (β1r) = |
|
sin(β1r) |
, g(β1r) = |
|
cos(β1r) |
, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
β1r |
|
|
|
|
β1r |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~ |
|
|
|
|
sh(γ1r) |
|
|
|
~ |
|
ch(γ1r) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (γ1r) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
g(γ1r) = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
(3.72) |
||||||
|
|
|
|
γ1r |
|
|
|
|
γ1r |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
где β2 |
= |
|
+ |
|
|
|
−1 |
+ |
1+ |
4(К∞ −1−ε) τ1 L1 |
, |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
τ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
L2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(1+ |
ε) (L2 |
+τ |
)2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
γ 2 |
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
1+ |
4 (К∞ −1−ε)τ1 L1 |
. |
(3.73) |
||||||||||||||
2 |
|
|
τ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ |
ε) (L2 |
+τ |
) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако не все функции (3.72) войдут в выражения (3.70) для
потоков |
φ (1) (r) , |
φ |
(2) |
(r) . |
Необходимо учитывать, |
что |
любая |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
sin(β1r) |
|
cos(β1r) |
|
||
функция |
вида |
|
|
ψ (r) |
= a |
+b |
или |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
β r |
1 |
β r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
ψ (r) = c |
sh(γ1r) |
+ d |
|
ch(γ1r) |
, |
являющаяся |
решением |
уравнения |
||||
1 |
γ r |
|
1 |
|
γ r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.64), должна удовлетворять равенствам (3.71). Нетрудно установить, что первое из них (при r = 0 ) будет выполнено, если b1 = 0 и d1 = 0 , а второе (при r = Rэ ) – если с1 = 0 и sin(β1Rэ) = 0 . В результате для определения критического радиуса получим соотношение:
β1Rэ = π . |
(3.74) |
Таким образом, асимптотические распределения потоков имеют вид:
87
φ(1) |
(r) = a |
sin(β1r) |
, |
φ(2) |
(r) = a p |
sin(β1r) |
. |
(3.75) |
β1r |
|
|||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 1 |
β1r |
|
Это согласуется с представление многогрупповых потоков в форме (3.55) и приводит к тому, что:
φ(2) (r) |
= p1 = |
|
ϕ1Σ(1)d ,1 |
|
|||
1 |
|
|
|
|
. |
(3.76) |
|
φ(1) |
(r) |
Σ(2) |
(1 + β |
2 L2 ) |
|||
1 |
|
|
a,1 |
|
1 1 |
|
|
Поскольку обычно в активной зоне теплового реактора из-за сильного поглощения тепловых нейтронов топливом Σ(a2,1) > Σ(d1,)1 ,
ϕ1 <1, то значение p1 <1, и следовательно, в реакторе без отражателя при всех 0 ≤ r ≤ Rэ поток тепловых нейтронов меньше
потока быстрых нейтронов.
Чтобы выяснить влияние отражателя на распределение нейтронов, рассмотрим реактор, состоящий из активной зоны радиуса R , окруженной бесконечным отражателем. В таком реакторе должны выполняться условия:
r 2 |
|
dφ1(k ) |
|
|
|
= 0 , |
0 ≤ φ(k ) < ∞ , |
0 ≤ φ |
( k ) (r) < ∞, |
(3.77) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
φ(k ) (R) =φ |
(k ) (R), |
D(k ) |
|
|
dφ(k ) |
|
|
|
= D(k ) |
|
dφ( k ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
(3.78) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dr |
|
|
|
2 |
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=R |
|
|
|
|
|
|
r=R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а при |
построении |
зависимостей |
φ(1) (r) , φ(2) (r) |
наряду с |
||||||||||||||||||||||||||||
функциями (3.72) могут рассматриваться (при R ≤ r ): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f |
(υ2r) |
= |
|
|
|
|
exp (−υ2r) , |
|
g |
(υ2r) = |
|
|
|
|
|
|
exp (υ2r) , |
|
||||||||||||
|
|
υ2 r |
|
|
υ2r |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f |
(ϑ2r) |
= |
|
|
|
|
exp(−ϑ2r) , |
|
g |
(ϑ2r) = |
|
|
|
|
|
|
exp(ϑ2r) , |
|
||||||||||||
|
|
ϑ2 r |
|
|
|
ϑ2 r |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
υ2 |
= |
|
1 |
|
|
, |
ϑ2 |
= |
1 |
. |
Здесь |
учтено, |
что |
|
|
в неограниченно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
протяженных зонах без размножения вместо гиперболических функций sh(αr) , ch(αr) следует брать экспоненты exp(−αr) , exp(αr) .
88
Так же, как в реакторе без отражателя, для выполнения условия (3.77) при r = 0 необходимо в выражениях (3.70) для потоков в активной зоне принять b1 = 0 , d 1= 0 . Из условий ограниченности
решений на |
|
бесконечности |
|
следует, |
что в отражателе |
b2 = 0 , |
||||||||||||||||
d 2= 0 . Поэтому имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(1) |
(r) = a1 |
sin(β1r) |
|
~ |
|
sh(γ1r) |
|
|
|
|||||||||||||
φ1 |
|
|
|
|
|
|
+ p1c1 |
|
|
|
|
, |
0 ≤ r ≤ R , |
|
||||||||
|
|
β1r |
|
|
|
γ1r |
|
|
|
|||||||||||||
φ(2) (r) = p a |
|
sin(β1r) |
+ c |
|
|
sh(γ1r) |
, |
0 ≤ r ≤ R , |
(3.79) |
|||||||||||||
|
|
|
|
β1r |
|
|
|
γ1r |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
φ(1) |
(r) = a |
|
|
1 |
|
|
exp(−υ |
r) , |
|
|
|
|
|
R ≤ r < ∞ , |
|
|||||||
2 υ2r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
φ(2) |
(r) = p |
|
a |
|
1 |
|
exp(−υ |
r) + c |
1 |
exp(−ϑ r) , R ≤ r < ∞ , |
||||||||||||
|
2 υ |
|
r |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 ϑ r |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
где параметры β1 и γ1 по-прежнему рассматриваются по формулам (3.73), а коэффициенты связи определяются равенствами
|
|
ϕ1Σ(1)d ,1 |
|
~ |
|
(1−γ12 L12 ) Σ(a2),1 |
|
Σ(1)d ,2 τ2 |
||||||
p1 = |
|
|
, |
p1 |
= |
|
|
, p2 = |
|
|
|
|
. |
|
Σ(2) |
(1 + β 2 L2 ) |
|
ϕ Σ(2) |
Σ(2) |
(τ |
2 |
− L2 ) |
|||||||
|
a,1 |
1 1 |
|
|
|
|
1 |
d ,1 |
|
a,2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a1 , |
c1 , |
a2 , |
c2 |
|
|
|
|
(3.80) |
||
Коэффициенты |
|
находятся, |
используя |
соотношения (3.78) между потоками и токами нейтронов на границе r = R . Получаемое при этом условие критичности реактора имеет достаточно сложный вид. Известно [5], что его
можно существенно упростить, если принять следующие допущения: в активной зоне и отражателе один и тот же замедлитель, отсутствует поглощение замедляющихся нейтронов, а активная зона имеет достаточно большие размеры. В этом случае
можно |
считать, что τ |
1 |
=τ |
2 |
=τ , D(1) |
= D(1) , |
Σ(1) |
= Σ(1) = 0 , |
||
|
|
|
|
1 |
2 |
a,1 |
a,2 |
|||
ν (f1)Σ(f1,)1 |
= 0 , γ1 R >>1. Тогда, |
вводя в рассмотрение эффективную |
||||||||
добавку δ = R − R (где R = |
|
|
π |
– критический радиус реактора |
||||||
|
|
β |
||||||||
|
э |
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
89
без отражателя), условие критичности принимает вид:
β δ = arctg(β L ) + arctg(β |
1 |
|
|
τ ) −arctg β1 |
|
, |
|
|
(3.81) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||
откуда |
нетрудно |
|
оценить |
|
критический |
|
радиус |
реактора |
с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отражателем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Выражения |
|
|
(3.79) |
для потоков |
нейтронов (в случае, |
когда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D(1) |
= D(1) ) могут быть преобразованы к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(1) |
(r) = a |
|
|
sin(β1r) |
−η |
|
|
|
sh(γ1r) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
β1r |
|
|
|
|
|
|
γ1r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
φ |
|
(2) (r) = a p |
|
|
sin(β1r) |
− |
|
|
η1 |
|
|
|
sh(γ1r) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
β1r |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ1r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(1) |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
R |
|
|
|
r − R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
φ |
(r) = φ |
(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.82) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
r − R |
|
|
|
|
|
(2) |
(R) |
|
|
|
|
r − R |
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
φ2 |
(r) = p2 φ1 |
|
(R) |
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
−1 exp |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
τ |
2 |
|
|
|
p |
φ(1) (R) |
|
L |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
γ |
1 |
|
|
|
|
|
|
β |
1 |
|
|
τ |
2 |
cos(β δ) |
|
|
|
tg( |
β δ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где |
|
|
η |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
β1 sh(γ1R) +γ1 τ2 ch(γ1R) |
|
β1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
τ2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
1 −γ12 L12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
p1 p1 |
= |
|
|
|
< 0 , |
|
|
|
|
0 <η1 <<1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + β |
2 L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее неравенство (для η1 ) нетрудно установить, если наряду с ранее принятыми допущениями (при которых имеет место
формула (3.81) для δ ) считать, что: β1 L2 <1, β1 τ <1, L2 > L1 ,
δ < 12 Rэ .
90