Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

= x	m	x = 0,16η−0,65	;
		m

значение Gm определяют нормировкой на суммарную поглощенную энергию:

G	= 2E	(1−0,5η−0, 4η2 ) {	πΔx	m	[1+ erf (η)]} ,
m	1
где erf ( y) = (2	π)∫y e−y2 dy – функция ошибок.
	0

В случае относительно узких пучков диаметром d << Rmax , ко-

гда задачу нельзя считать плоской, пространственное распределение энерговыделения приближенно определяют в предположении, что источник тепловыделения представляет собой сферу с центром на глубине xm от поверхности, плотность энергии в которой падает

при удалении от центра по закону Гаусса:

G (x, y, z) = G′	exp −	(	(x − x	m	)2	+ y2 + z2	)	x2
m								m

	(оси y и z направлены вдоль поверхности из точки попадания пуч-
	ка). G′ также находят из условий нормировки:
	m
	′		2	3
		(1−0,5η−0,4η		) {( πΔxm ) [1	+erf (η)]} ,
	Gm = 2E1
	параметры xm и	xm задаются теми же формулами, что и для
	плоского случая.

1.5.2. Движение быстрых ионов в твердом теле

Быстрый ион в твердом теле взаимодействует в парных соударениях с ионами решетки и электронами, валентными и внутренними, а также порождает коллективные возбуждения ионов (фононы) и электронов (плазмоны). Для медленных ионов возможно также многочастичные взаимодействие с атомами среды. Упорядоченное расположение ионов в кристалле вносит анизотропию.

121

Ион-ионные столкновения

Сечения столкновений быстрого иона с атомами твердого тела в первом приближении рассматривают в рамках тех же моделей, что и кулоновские столкновения изолированных заряженных частиц. Сечение кулоновского рассеяния на углы θ...θ + dθ определяется

формулой Резерфорда:

σ(θ)dθ =		2	2	2	cosec	4	(θ 2)dθ ,		(1.66)
	Z1Z2e		(2Mv1 )
где M =1 (1/M1 +1/M 2 )	– приведенная масса; v1							– скорость быст-
рого иона; Z1, Z2, М1, М2 – зарядовые числа и массы ионов. Соот-
ветствующие сечения передачи энергии				E... E + d E
σ( E)d E = (π 4) Z1Z2e2			(2Mv12 ) 2 (		Emax			E2 )d E ,	(1.67)

где Emax = 4M1M 2 E(M1 + M 2 )2 – максимальная величина передаваемой энергии, E = M1v12 2 . Из законов сохранения импульса и энергии следует, что при M1 >> M 2 быстрый ион рассеивает ионы твердого тела, отклоняясь на небольшие углы; при M1 << M 2 он

может рассеиваться на углы до 180° (более подробно см. гл. 2). Рассеяния на неэкранированном поле ядра преобладают при больших энергиях ионов

E1 > EB = 4Ry2Z12Z22 (Z12/3 + Z22/3 )M1(M2E* ),

где Ry = 13,6 эВ; E* – энергия, необходимая для выбивания иона из

узла кристаллической решетки.

На расстояниях больше или порядка характерного размера внутренних электронных орбит заряд ядра решетки, однако, экранируется электронами (см. разд. 1.1), в этом случае считают, что потенциал взаимодействия описывается экранированным кулоновским потенциалом

U (r) =	Z12Z	22e2	r			,	(1.68)
			Φ
	r
			a

где Φ(r/a) – универсальная функция, одинаковая для любых пар взаимодействующих атомов; a – параметр экранирования, завися-

122

щий от атомных номеров сталкивающихся частиц. Функцию экранирования можно аппроксимировать степенной функцией U(r) r–n, в которой по мере уменьшения энергии частиц показатель степени n увеличивается от n = 1 для неэкранированного кулоновского потенциала до n = ∞ при очень малых энергиях, когда сталкивающиеся атомы можно рассматривать как абсолютно твердые шары2.

Торможение ионов за счет упругих соударений с атомами твердого тела

Потери энергии за счет упругих соударений при торможении в веществе определяются сечением соударения σ и переданной в нем энергией T:

		dE		rmax
	−		= n	∫	Tdσ = n S	n	,	(1.69)
		dx
			0		0
				0

где n0 – концентрация атомов среды; Sn – сечение упругого (ядер-

ного) торможения (см. далее рис. 1.109), а также формулу (1.79)). Для диапазона средних значений энергий и атомных номеров сталкивающихся частиц, когда применима аппроксимация U(r) ~ r–2, интеграл (1.69) считается точно и приводит к формуле Линдхарда и Шарффа:

−dE dx = ξv (π2 2)(n2 M1 (M1 + M 2 ))Z1Z2a′,	(1.70)
ξv = 2 (2,7183 0,8853),
a′ = 0,8853a0 (Z12 3 + Z22 3 )−1 2 .

Взаимодействие ионов с кристаллами. Каскадные процессы и повреждения решетки. Фокусоны

При движении иона по телу в столкновениях с ионами решетки последним передаются порции энергии, которые могут многократ-

но превышать энергию E*, необходимую для выбивания иона с

2 Более подробно с парными потенциалами взаимодействия атомных частиц можно познакомиться в пособии [20].

123

его места в кристаллической решетке. Выбитый ион претерпевает столкновения с соседями, также передавая некоторым из них энер-

гию E > E*, так что появляются каскады соударений (рис. 1.99) и могут образоваться многочисленные дефекты решетки типа вакансий и атомов в междоузлиях, которые локализованы в поврежденной области. В ее центре преобладают вакансии, на периферии – междоузельные включения (рис. 1.100).

Рис. 1.99. Начальная стадия
развития каскада столкно-	Рис. 1.100. Структура поврежденной
вений в Al (черный кружок –	области: 1 – обедненная зона; 2 – зо-
первично выбитый атом)	на, насыщенная внедренными ато-
	мами (черные кружки); 3 – непов-
	режденная кристаллическая решетка

Эта зона может охватывать значительную область кристалла, а число одновременно смещающихся атомов достигать примерно 103. Движение выбитых атомов в правильном кристалле происходит анизотропно, преимущественно в направлениях, соответствующих наибольшей атомной плотности (наименьшим межатомным расстояниям).

Это можно представить в виде цепочек замещающих столкновений либо в терминах движения по кристаллу фокусонов. Если фокусон дошел до i -го атома цепочки, это означает, что атом получил импульс от (i −1)-го атома и передает его (i +1)-му, причем

после прохождения фокусона (i −1)-й атом остается в положении равновесия i -го узла, i -й в (i +1)-м узле и т.д. Там, где энергия

124

фокусона становится меньше E*, образуется дефект типа атома

внедрения. Если цепочка ведет к поверхности кристалла, последний атом может покинуть твердое тело – см. (1.66).

Условие образования фокусона в данном кри-

		сталлографическом				на-
		правлении получают из
		рассмотрения			модели
		цепочки шаров, послед-
		нему из которых i при-
		дан импульс pi			под уг-
		лом	αi	к	цепочке
		(рис. 1.101). Когда центр
	Рис. 1.101. К анализу образования	этого	шара	окажется в
		точке	Oi′, произойдет
	фокусона на примере цепочки шаров
		столкновение			i -го	и

(i +1)-го атомов, последний получит импульс pi+1 , направленный по линии Oi′Oi+1 под углом αi+1 к оси цепочки. На рис. 1.101 видно, что sin (αi + αi+1 )sin (αi )= a(2R). Отсюда можно получить угол направления импульса (i +1)-го атома αi+1 : он равен или меньше αi , если cos αi ≤ a(4R) – условие, при выполнении кото-

рого вектор передаваемого импульса все в большей степени ориентируется по оси цепочки. Из этого условия следует, что наиболее вероятное проявление фокусировки наблюдается при малых значениях а, т.е. в направлениях наиболее плотной упаковки атомов в кристалле.

Каналирование ионов

Анизотропия расположения рассеивающих центров в кристаллах приводит к существенной зависимости тормозной способности первичных ионов от направления относительно кристаллографических осей: имеются направления (прямые «каналы» между атомными цепочками), при движении по которым быстрый ион не подходит близко к ядрам атомов решетки, т.е. не испытывает торможения при ион-ионных соударениях. Такое движение – каналиро-

125

вание – возможно и при вхождении иона в канал не точно по оси, а под небольшим углом ϕ < ϕкр , тогда ион многократно отражается

от ионов цепочек, совершая поперечное движение, близкое к колебательному (рис. 1.102, 1.78). Взаимодействие в этом случае носит характер упругого отражения от цепочки как целостного непрерывного рассеивающего объекта. Условие применимости непрерывного приближения таково: за время t наибольшего сближения быстрого иона с осью он взаимодействует с несколькими атомами, успевая пролететь расстояние, большее межатомного, т.е. v|| t > a , где v|| = v cos ϕ – параллельная оси составляющая скоро-

сти; t = rmin v , v = vsin ϕ, rmin – минимальное расстояние сближения, которое определяют из условия сохранения энергии

поперечного движения E = E2 sin ϕ:

U ′(rmin )= E sin2 ϕ,

∞

U ′(r)= ∫U (r)dxa ;

−∞

здесь U ′(r) – потенциал цепочки; U (r) – потенциал взаимодействия иона и атома; x – осевая координата.

Рис. 1.102. Каналирование ионов в кристалле

Критический угол каналирования Линдхарда ϕкр определяется таким значением ϕкр , при котором v|| t = a , при этом необходимо задаться конкретным видом внутриатомного потенциала U (r). При малых углах ϕ (считая sin ϕ ~ ϕ ) для потенциала вида U = A/r2 (т.е. для не очень больших значений энергии Eϕ2 < EA ) из приве-

126

денных здесь соотношений можно получить выражение для критического угла каналирования:

ϕкр = πA (Ea2 ) 1 3 ,	(1.71)*
где фактор А= 3,05−16Z1Z2 / (Z11/2 + Z1/22 )2/3 . Угол ϕкр	растет при

уменьшении межатомного расстояния в цепочке, т.е. каналирование происходит преимущественно вдоль кристаллографических направлений с наиболее плотным расположением атомов.

При каналировании	параллельно	заданной		оси возможны
два типа траекторий:	ограниченные	только		одним	каналом
		(гиперканалирование, см.
		рис. 1.103, а)			и	не-
		ограниченные, со сво-
		бодным		блужданием
		иона	между		каналами
		(см.	рис. 1.103, б).			При
		гиперканалировании кри-
		тические		углы	вхожде-
		ния меньше критическо-
Рис. 1.103. Проекции траектории ионов		го угла		Линдхарда,		по-
при каналировании в Cu <100> (а) и в Cu		скольку они определяют-
<110> (б)		ся потенциалом на гра-
		нице между каналами.

Блокировка

При углах, больших ϕкр , непрерывное приближение становится

некорректным; следует рассматривать последовательные рассеяния на атомах цепочки (рис. 1.104). Быстрый ион претерпевает несколько рассеяний на цепочке и затем покидает этот канал. При этом одно или два рассеяния происходят на относительно большие углы (около 10°), а остальные – на малые (примерно 1°) с малой потерей энергии. Траектория, конечная энергия и угол вылета при данных E и ψ зависят от значения прицельного параметра (т.е. от

того, нацелен первичный ион на ядро или между ядрами атомов цепочки), рис. 1.105. При рассеянии непрерывного пучка получаются характерные распределения по энергиям (с двумя пиками,

127

Рис. 1.104. Рассеяние частицы на цепочке атомов

Рис. 1.105. Периодическая зависимость от угла рассеяния θ от первого прицельного параметра p1 для разных углов падения

Рис. 1.106. Зависимость максимального и минимального углов вылета β для различных начальных энергий E0

один из них соответствует одному, другой – двум рассеяниям на большие углы) и по углам (ограниченное как минимальным, так и максимальным углами, рис. 1.106). Ограничение угла вылета сверху объясняется тем, что ион не может подойти к атому на достаточно близкое расстояние из-за отклоняющих малоугловых столкновений с предыдущими атомами цепочки («блокировка на входе»), снизу – из-за отклонения последующими атомами («блокировка на выхо-

де»).

Наличие минимального угла вылета делает практически невозможным движение иона после рассеяния параллельно цепочке: происходит рассеяние на углы порядка соответствующего зеркальному отражению, причем распределение по углам сдвинуто в сторону больших углов рассея-

ния (см. рис. 1.106).

Ион практически не может выйти в направлении оси канала, т.е. на соответствующем распределении прошедших через кристалл ионов в точках – проекциях кристаллографических направлений – образуются тени (эффект блокирования, рис. 1.107). Более слабые тени образуются на проекциях кристаллографических плоскостей. При наличии многочисленных дефектов решетки

128

Рис. 1.107. Эффект теней при отражении протонов от монокристалла Au (темные полосы указывают на ослабление интенсивности отраженного пучка ионов вследствие эффекта блокировки входящих ионов атомными плоскостями)

Рис. 1.108. Доля χ деканалированных протонов с энергией 1,6 МэВ в Si <110> в зависимости от глубины проникновения

эффект блокировки не проявляется. Смазывается картина теней и тепловых колебаний решетки при высоких температурах.

Деканалирование

По разным причинам частицы могут выходить из режима каналирования (деканалирование), и в идеальном кристалле деканалирование может происходить из-за неупругих рассеяний на электронах, плазмонах и колебаний решетки.

Наличие небольших возмущений энергии поперечного движения делает траекторию каналируемой частицы случайной, так что имеется конечная вероятность «диффузии» иона в поперечном направлении, т.е. деканалирования; она увеличивается при росте температуры (рис. 1.108) и числа дефектов структуры.

Торможение ионов на электронах

При соударениях с электронами быстрые ионы теряют энергию малыми порциями и рассеиваются на малые углы; это диктуется законами сохранения импульса и энергии при парных соударениях тел с резко различающейся массой M2 >> me .

Поэтому для описания этих процессов применимы понятия о непрерывном торможении.

129

Низкоэнергетичные ионы. Модель Фирсова

При малых скоростях vi <<(e2=)Z223 ≡ vBZ22/3 тормозная способ-

ность иона хорошо описывается моделью Фирсова, где передача импульса объясняется тем, что при подходе к атому решетки быстрый ион захватывает электрон, увлекает его с собой, придавая импульс порядка mev, и затем «возвращает» этот электрон атому на возбужденный уровень; в последнем акте импульс отдачи отсутствует.

В модели Фирсова анализируется обмен электронами между атомом и ионом, причем для нахождения d (mv)dt рассматривает-

ся односторонний поток электронов Ne+ , которые в ходе своего

движения по орбиталям пересекают плоскость, равноудаленную от обоих ядер; в направлении от атома к иону эти электроны приобретают дополнительный импульс (равный mev1 ) и энергию; обратный

поток электронов не оказывает воздействия на движение иона. Результирующее соотношение для элементарной порции энергии, теряемой при пролете иона на расстоянии R0 от атома, имеет вид

− E = (1/2)v	0,7(Z + Z	2	)5/3	1	+ 0,16(Z	+ Z	2	)1/3 R		. (1.72)*
1	1				1			0

Существенно, что E и dE/dx ~ v1 . Такая же зависимость от v1 получается и в других моделях:

−dE dx = ζe 8πnZ1Z2v1 (Z12/3 + Z22 3 )1/3 ,

(1.73)*

ζe ≈ Z11/6 ≈1− 2

(формула Линдхарда – Шарффа – Шиотта);

−dE dx = 0,32π7 3Z 2v n2 3		(1.74)*
1	1

(формула Хитагавы – Оцуки).

Зависимости от зарядов ядер атомов мишени и быстрого иона в формулах (1.72) – (1.74) несколько различаются между собой и не всегда согласуются с экспериментом.

Для анализа упругого и неупругого торможения часто пользуются подходом, позволяющим описать указанные процессы в универсальных безразмерных единицах энергии ε и пробега ρ:

130