Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

E = E2 = − p2 / (2m*) ,

т.е. у краев энергетической зоны зависимость g = g(E) имеет параболический вид (см. рис. 1.18).

Несмотря на сложность дисперсионных зависимостей E = E(k) или ω = ω(k ) для реальных твердых тел, по ним можно оценить

ряд количественных характеристик. Таким образом, из дисперсионных зависимостей получают: скорость и эффективную массу электрона при заданном значении k; плотность состояний; распределение электронов по энергии.

1.1.3. Электронные свойства реальных твердых тел

Металлы, диэлектрики и полупроводники

Различия в зонной структуре существенно влияют на свойства кристаллов, в первую очередь на электропроводность, которая изменяется в пределах десятков порядков величины (табл. 1.3.1).

	Таблица 1.2
Удельная электропроводность (См/м) при T = 300 К
	Значение
Вид твердого тела
Металл	106
Медь
Полупроводники	102
Чистый антимонид индия, кремний дли транзисторов
Чистый германий	10–2
Диэлектрики	10–6
Чистый сульфид кадмия
Полиэтилен	10–10
Парафин	10–14

С точки зрения зонной теории принципиальное отличие неметаллов заключается в наличии у первых не целиком заполненных зон, т.е. уровень Ферми находится в пределах разрешенной зоны

(рис. 1.19).

Среди металлов по типу заполнения зон выделяют два класса веществ. В первом из них верхняя занятая электронами зона заполнена лишь частично (рис. 1.19, а). Типичными представителями

21

	таких веществ являются ще-
	лочные металлы, например в
	атоме Nа десять внутренних
	электронов образуют замкну-
	тые 1s2-, 2s2-, 2р6-оболочки, в
	твердом теле они соответст-
	вуют узким, целиком запол-
	ненным зонам (пяти зонам
	Бриллюэна). Расположенный в
	следующей, шестой, зоне ва-
	лентный электрон находится в
	3s-состоянии. При объединении
	N атомов Nа в кристалл в 3s-
	зоне	имеется	2N (2l + 1) = 2N
	состояний (l = 0 – орбитальное
	квантовое число), а присутст-
	вует лишь N электронов, что и
	определяет		металлические
	свойства натрия.
	К	другому	классу относят
	вещества, у которых верхняя
	зона, соответствующая цели-
	ком заполненным оболочкам в
	атомах, перекрывается со сле-
	дующей (свободной в атомах)				Рис. 1.19. Плотность состояний и
	зоной, образуя		единую разре-
	шенную (рис. 1.20, 1.21).				распределение электронов (за-
					штрихованная часть) по энергии:
	Диэлектрики и полупровод-
					а – металл; б – диэлектрик; в – соб-
	ники характеризуются тем, что				ственный полупроводник; г – до-
	при	Т = 0 у них		каждая зона	норный полупроводник; д – акцеп-
	либо заполнена (fF = 1), либо				торный полупроводник; е – распре-
	свободна (fF = 0),			т.е. уровень	деление Ферми – Дирака
	Ферми попадает			в запрещен-

ную зону (рис. 1.19, б, в; 1.22). Различие между диэлектриками и полупроводниками достаточно условно и не имеет принципиального характера. Полупроводниками считаются неметаллические твердые тела, в которых ширина запрещенной зоны

22

		Рис. 1.20. Плотность					Рис. 1.21. Плотность состояний у Ni
		состояний у Mg
							Eg < 2...2,5	эВ	и может	быть создана
							высокая концентрация локализованных
							состояний дефектов структуры в запре-
							щенной зоне возле какого-либо ее края.
							Неметаллы с	Eg < 3...10 эВ и уровнями
							дефектов в запрещенной зоне, далекими
							от ее границы, являются диэлектриками.
							Распределение электронов
								по энергиям
	Рис. 1.22. Плотность						Концентрация электронов в зоне про-
							водимости металла ( ne ~ 1028 м–3) соизме-
		состояний у Si
							рима с плотностью разрешенных кванто-
	вых состояний, но все						же меньше ее. Значение f (E) меняется
	от единицы до нуля на						E = kbT << EF		(kBT =	= 0,01...0,1 эВ,
	EF = 3...5 эВ), т.е. при E < 0,91EF распределение									электронов по

энергиям соответствует распределению разрешенных состояний, а

при E > EF − F <<1 (рис. 1.23).

23

Всобственных полупроводниках

идиэлектриках при Т = 0 К целиком заполнена валентная зона и полностью свободна зона проводимости, что соответствует расположению энергии Ферми в запрещенной зоне

ипри Т > 0 К. При этом у границы запрещенной зоны в зоне проводимости появляется некоторое количество электронов, равное в соответствии с распределением Ферми и функцией плотности состояний для квазисвободных электронов

E2

ne = ∫ dζdEfF (E)dE =

Ec
E
= ∫2 (4π h3 )(2me* )3 2 ×	(1.8)

Ec

×(E − Ec )12 ×

×{1exp[(E − EF )(kBT )]+1},

Рис. 1.23. Температурная зависимость уровня Ферми в полупроводнике: а – с одним типом донорной примеси; б – с одним типом акцепторной примеси для двух различных концентраций (штриховой линией показан ход зависимости уровня Ферми в нелегированном полупроводнике)

где E2 – верхняя граница зоны проводимости.

Поскольку kBT E2 − Ec , верхний предел может быть заменен на ∞ (вклад в интеграл участка от E2 до ∞ мал). Интеграл

(1.8) (интеграл Ферми) не выражается через элементарные функции; чтобы получить простое выражение, пренебрегают единицей в знаменателе, т.е. переходят к распределению Максвелла. Интегрируя, получают число электронов в зоне проводимости

ne = Nc exp[−(Ec − EF ) (kBT )],

(1.9)

где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости,

Nc = 2(2πme*kBT h2 )3 2 .

(1.10)

Для валентной зоны число дырок определяют аналогично:

24

E	E
nh = ∫V	(dζ dE[1− fF (E)])dE = ∫V (4π h3 )(2mh* )3 2 (EV − E)1 2 ×
E1	E1
	×[1−1 (exp[(E − EF ) (kBT )] +1)]dE

EV

∫ (4πh3 )(2mh* )3 2 (EV − E)1 2 exp[−(EF − E)(kBT )]dE.

E1

Окончательно

nh = NV exp[−(EF − EV ) (kBT )],

(1.11)

где NV – эффективная плотность состояний в валентной зоне,

N	V	= 2 (2πm*k T h2 )3 2 .	(1.12)
		h B

Вследствие квазинейтральности кристалла ne = nh , откуда с учетом

(1.9) – (1.12)		= (E			)			T ln (m*	m* ).
E	F		C	+ E		2 + (3 4)k	B			(1.13)
				V				h	e

При Т = 0 К из (1.13) следует, что уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны; с ростом температуры он, как пра-

вило, несколько смещается вверх (так как обычно mh* > me* ). Под-

становка (1.13) в (1.9) дает число электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне беспримесного полупроводника или диэлектрика

1 2
ne = nh =(Nc NV )	exp − Eg	2(kBT ) .

При наличии в полупроводнике некоторой концентрации Nd

донорной примеси (см. рис. 1.19, г, примеси со слабосвязанными электронами) в запрещенной зоне на малом расстоянии Ed << Eg от дна зоны проводимости образуется уровень, при

Т = 0 К заполненный электронами, а уровень Ферми расположен посередине между донорным уровнем и дном зоны проводимости (рис. 1.23, а). С ростом температуры концентрация свободных электронов растет по закону

n =(N	d	N	c	)1 2 exp[−	E	2(k	B	T )].	(1.14)
e					d

25

(2kB ))

При дальнейшем повышении температуры до T = T1 (рис. 1.24) происходит полная ионизация донорной примеси, и ne = Nd . Если

концентрация примеси значительна, а Ed << Eg , то процессы воз-

	буждения	электронов		валентной		Рис. 1.24. Зависимость концен-
	зоны сказываются только при вы-
	соких температурах T > T				>>T , и	трации электронов в зоне про-
	при T1 < T < T2			2	1	водимости от 1/Т для различ-
			число	электронов		ных концентраций	донорной
	постоянно.	При	T >> T		наличие	примеси, Nd1 > Nd2: I – область
				2		возрастания примесной элек-
	примеси сказывается слабо на ne ,
						тропроводности; II – область
	и ne можно вычислять по (1.13).					полной ионизации	примеси;
	При нагреве EF сначала смещается					III – область собственной элек-
	ко дну зоны проводимости, а затем					тропроводности

отходит от него, стремясь к поло-

жению EF для собственного полупроводника (см. рис. 1.23, а).

В полупроводниках с акцепторной примесью незаполненный уровень находится на малом расстоянии Ea << Eg от верха ва-

лентной зоны. Рассмотрение поведения дырок приводит к аналогичным результатам: концентрация дырок при невысоких температурах (T << Ea

nh =(Nc Na )12 exp[− Ea (2kBT )],

при более высоких температурах меняется в соответствии с рис. 1.23, б, а поведение уровня Ферми – как в случае с однородной примесью (с точностью до симметричного отображения относительно середины запрещенной зоны).

Квазиуровни Ферми

Понятие уровня Ферми справедливо для электронного газа, находящегося в тепловом равновесии с кристаллической решеткой. Однако энергетический спектр электронов может быть изменен под действием внешних возбуждающих факторов (таких, как облуче-

26

ние светом, рентгеновское излучение, сильное электрическое поле,
инжекция носителей заряда через границу кристалла, бомбарди-
ровка заряженными частицами) – концентрация становится выше
	равновесной из-за избыточных носите-
	лей заряда, называемых неравновесны-
	ми носителями, причем энергия их мо-
	жет оказаться много большей средней
	тепловой энергии (рис. 1.25).
Рис. 1.25. Квазиуровни	В процессе столкновений с атомами
	решетки неравновесные носители заря-
Ферми	да за малый промежуток времени
( τ ~ 10−10 с) выравнивают свою энергию с энергией равновесных
носителей заряда и подчиняются статистике, свойственной данно-

му телу. Неравновесными они остаются лишь с точки зрения избыточной концентрации. Для нахождения общей концентрации носителей заряда в теле при наличии нетеплового возбуждения можно пользоваться формулами (1.9) и (1.10), однако уровень Ферми должен быть заменен квазиуровнями

								Ферми, значения которых для элек-
								тронов и дырок различны. В случае
								избыточной концентрации квазиу-
								ровень Ферми для электронов выше
								равновесного уровня Ферми, для
								дырок – ниже (рис. 1.26). Чем выше
								концентрация неравновесных носи-
Рис. 1.26. Дисперсионное со-								телей заряда, тем дальше отстоят
								квазиуровни от уровня Ферми.
отношение для Al (штрихо-								Полная концентрация электронов
вой линией показана диспер-								и дырок п и р' связана с равновес-
сионная зависимость для газа								ной концентрацией п и р выраже-
свободных электронов)								ниями

ne′ = ne exp (EFe* − EF )(kBT ) , nh′ = nh exp (EF − EFh* )(kBT ) ,

где EFe* и EFh* – квазиуровни Ферми для электронов и дырок.

27

Для неравновесного полупроводника не выполняется закон действующих маcc: ne′nh′ (nenh )= exp (EFe* − EFh* )(kBT ) .

Электронные свойства простых металлов

Простые металлы (см. табл. 1.2) имеют валентные электроны, относительно слабо связанные с атомами, т.е. для этих веществ применимо приближение почти свободных электронов (см. рис. 1.25). Эффективная масса электронов практически совпадает с массой свободного электрона. Поверхность Ферми и другие изоэнергетические поверхности для них в первом приближении описываются сферой в k-пространстве с радиусом kF, который определяется так, чтобы все имеющиеся валентные электроны поместились внутри сферы. Например, если в единице объема имеется

N электронов, то (43)πkF3 2(2π)3 =N , откуда

kF =(3π2 N )13 .

Концентрация электронов определяется концентрацией атомов (которую можно найти по плотности кристалла) и числом Z′ валентных электронов. Существенно, что Z′ – целое число и определено однозначно для каждого элемента. Скорость электрона

vF = =kF m*		(по порядку величины vF ≈10−2 с, vF ≈103 vs ). Кине-
тическая	энергия			электронов		на поверхности			Ферми
KF = =2kF2	(	2m* ), а средняя кинетическая энергия электронов
		k		(2m)		kF	4πk 2dk = (3 5)K		.
<K >=			=k 2		4πk 2dk	∫		F
			∫
			0			0

Впредставлении повторяющихся зон изоэнергетические поверхности (в частности, поверхности Ферми) для простых металлов весьма близки к сферам, отличия от сферичности возникают лишь вблизи границ зон Бриллюэна.

Взависимости от значения kF поверхность Ферми может занимать положение в первой зоне Бриллюэна или в большей или меньшей степени располагаться в других зонах. Так, для Сu по-

28

Рис. 1.27. Поверхность Ферми для Cu в представлении повторяющихся зон

Рис. 1.28. Сечение поверхности Ферми для Al (штриховыми линиями показаны сечения границ зон Бриллюэна). Поверхность Ферми близка с сферической и располагается во 2, 3 и 4-й зонах Бриллюэна

верхность Ферми целиком находится в первой зоне Бриллюэна и возмущения сферичности имеются лишь там, где эта поверхность подходит к границам зоны: там образуются «перешейки», так что сферы Ферми соединены (рис. 1.27). Для А1 kF больше радиальных размеров первой зоны Бриллюэна, и близкая к сферической поверхность Ферми располагается во 2, 3 и 4-й зонах Бриллюэна (рис. 1.28). В представлении повторяющихся зон такие поверхности приближенно представляли бы собой взаимно пересекшиеся сферы, получающиеся при увеличении размеров сфер с сохранением межцентровых расстояний. Если перевести такую поверхность в первую зону Бриллюэна (представление приведенных зон), то получается весьма сложная многосвязная поверхность – «монстр» (рис. 1.29).

Энергия связи простых металлов и полупроводников IV группы представлена табл. 1.3.

Рис. 1.29. Поверхность Ферми («монстр») для Al: границы первой зоны Бриллюэна (а) и приведение 2-й (б), 3-й (в) и 4-й (г) зон Бриллюэна

29

		Энергия связи Es (эВ) простых металлов					Таблица 1.3
		(а также полупроводников IV группы)
	2 (z' = 2)	3 (z' = 3)	4 (z' = 4)		5 (z'=5)	9 (z'= 1)	10 (z' = 2)
						Li
						1,63
	Be	B	C			Na
	3,32	5,77	7,37			1,11
	Mg	Al	Si			K	Ca
	1,59	3,39	4,63			0,934	1,84
	Zn	Ga	Ge		As	Rb	Sr
	1,35	2,81	3,85		2,96	0,852	1,72
	Cd	In	Sn		Sb	Cs	Ba
	1,16	2,52	3,14		2,75	0,804	1,90
	Ng	Ti	Pb		Bi
	0,67	1,88	2,03		2,18

Электронное строение переходных металлов

Общая отличительная черта переходных металлов – значительное влияние внутренних d- или f-оболочек на электронные свойства.

В d-переходных металлах имеется пять узких зон, соответствующих d-состояниям, которые пересекают зоны почти свободных s-электронов, d-состояния удобно рассматривать как линии атомарных d-уровней на фоне сплошного спектра газа свободных валентных 5-электронов, тем более что волновые функции d-со- стояний кристалла оказываются близки к волновым функциям d-состояний атомов.

Большое число d-зон приводит к существенному изменению плотности состояний вблизи EF (рис. 1.30), что важно для целого ряда физических свойств. Плотности состояний на уровне Ферми изображены на рис. 1.31.

Приближенно плотность состояний переходных металлов представляют в виде суммы двух вкладов (модель Фриделя, см. рис. 1.30). Первый – это плотность состояний d-типа, расположенная вблизи энергии Ed в пределах области с шириной Wd :

gd (E)=10Wd при (Ed −Wd 2)< E < (Ed +Wd 2). Кроме того,

30