Нурушев Введение в поляризационную 2007

что существует унитарный оператор U(T), который осуществляет преобразование

		ψ(T ,t) =U (T )		ψ(−t) .
Подставляя в (13), получим
i	∂ ψ(T ,t)	=U (T )H (−t)U −1 (T ) ψ,(T ,t) .
	∂t

Полагая

H (t)=U (T )H (− t)U −1 (T ),

приходим к уравнению Шредингера

i ∂ ψ(T ,t) = H (t)ψ(T ,t) .

∂t

(14)

(15)

(16)

(17)

Таким образом, соотношение (16) определяет математическую формулировку физического постулата об инвариантности взаимодействия относительно обращения времени.

Из уравнения Шредингера (12) следует решение для волновой функции ψ(t) . Для каждой такой функции из уравнения (16) следует наличие

другой функции ψ(T ,t) , удовлетворяющей уравнению (17) и описы-

вающей движение системы вспять во времени. Теперь посмотрим, какое требование накладывает на S-матрицу условие обратимости во времени.

Мы имеем два уравнения Шредингера с двумя волновыми функциями, но с одной и той же S-матрицей, так как S-матрица не зависит от начального состояния системы, а только от динамики взаимодействия.

Исходя из сказанного, по аналогии с соотношением (1) запишем

ψ(T ,+∞) = S ψ(T ,−∞) .

Используя соотношение (14), перепишем это равенство следующим образом:

U (T )ψ(− ∞) = SU (T )ψ(+ ∞)

Умножим это соотношение слева на U −1(T ) и находим
	ψ(− ∞) =U −1(T )SU (T )		ψ(+ ∞) .	(18)
Теперь вспомним, что S-матрица унитарна, т.е.				S +S =1 и

S + = S~ по определению, где знак “*” обозначает комплексное сопряжение, а знак “~” обозначает транспонирование матрицы. Умножая равенст-

91

во (1) слева на S+, беря комплексное сопряжение и с учетом свойств S- матрицы, получим

	ψ(− ∞)		~		ψ(+ ∞)		.	(19)
			= S
Сравнивая (18) и (19), приходим к равенству
			~					(20)
	U −1(T )SU (T )= S .

Это и есть требование, накладываемое на S-матрицу из инвариантности взаимодействия к операции обращения времени.

Взаключение сведем вместе полученные результаты:

•инвариантность взаимодействия относительно вращения координат-

ной системы – операция R дается выражением (6)

U −1(R)SU (R)= S ;

•инвариантность взаимодействия относительно инверсии координат-

ной системы – операция Р дается выражением (11)

U −1(I )SU (I )= S ;

• инвариантность взаимодействия относительно операции обращения

времени – операция T дается выражением (20) U T SU T S .

−1( ) ( )= ~

В приложениях обычно используется другая матрица M, обусловленная исключительно взаимодействием нуклонов. Начальное состояние час-

тиц при t → −∞ обозначим i , а конечное при t → +∞ – через f . В этих состояниях частицы не взаимодействуют и имеют относительные

импульсы p и p' , полные импульсы Q и Q'	и полные энергии E и E′
соответственно. Тогда матрица M определяется через S соотношением
S – 1 = M,	(21)

или через матричные элементы, принимая во внимание законы сохранения энергии и импульса:

f		S		i = f		i −2πiδ(Q'−Q)δ(E'−E) f		M		i .	(22)

Здесь δ-функции обеспечивают сохранение импульсов и энергии. Матрица M переводит начальное состояние i в конечное состояние f и действует только в спиновом пространстве. По определению матричных

элементов можно записать					r r
f		M		′+		(23)
				i = (χ	M (p', p)χ).

Здесь χ и χ′ – спиновые волновые функции начального и конечного состояний нуклонов соответственно. Как и матрица S, матрица M зависит от

92

динамики взаимодействия и подчиняется требованиям R, Р и T инвариантностей. Рассмотрим их подробнее.

Из постулата об инвариантности взаимодействия относительно вращения системы координат было получено следующее ограничение на S- матрицу (см. (6)):

U −1(R)SU (R)= S .

Перепишем это в матричных элементах в базовой и повернутой R- системах

f

U−1(R)SU(R)

i = f ,R

S

R,i = f

S

i .

(24)

Здесь R,i и R, f представляют волновые функции в повернутой

R-системе. Если Q и p есть полный и относительный импульсы в базовой системе координат, а QR и pR – в повернутой, то между ними существует связь

(QR )li = aliQi , (pR )li = ali pi ,	(25)
где a – матрица поворота от базовой системы к R-системе, а ali	– ее

матричные элементы (в данном случае косинусы и синусы угла поворота от старой к новой системе отсчета).

Соотношение (24) показывает, что элементы матрицы S в разных системах равны друг другу. Исходя из определения M-матрицы (22), то же справедливо и для ее матричных элементов:

	r r	r r	(26)
где χ(R)	(χ'+ (R)M (pR ', pR )χ(R))= (χ'+ M (p', p)),
	и χ'(R) – спиновые волновые функции в повернутой системе,
аχ и χ'	– в базовой системе. Так как эти наборы функции описывают

одно и то же спиновое состояние, но только в разных системах, они должны быть связаны унитарным преобразованием

χ(R)=U (R)χ , χ'(R)=U '(R)χ' .

(27)

В рассматриваемом конкретном случае нуклон-нуклонного рассеяния мы имеем две спиновые частицы в начале и в конце реакции. Это значит, что спиновые функции и в начале, и после реакции являются произведениями функций отдельных нуклонов. Как следствие, унитарные операто-

ры U(R) и U′(R) являются прямыми произведениями матриц, действующих на спиновую функцию каждой частицы в отдельности.

Среднее значение оператора спина в квантовой механике является наблюдаемой величиной, а именно, вектором поляризации (точнее, вектор

r	r	σ – оператор Паули, а	s – вектор спина).
поляризации P = σ = 2s , где
		93

Среднее значение оператора спина должно преобразовываться как вектор, а именно:

χ+(R)slχ(R)= aliχ+siχ.

Здесь sl – оператор спина одного из начальных нуклонов. Отсюда сле-

дует условие на матрицу U(R):
U −1(R)s U (R)= a s .		(28)
l	li i

Очевидно, что точно такое же условие накладывается на матрицу U′(R). При заданном угле поворота системы R из этих условий можно

восстановить матрицу U.
Из (26) и (27) следует
U '−1(R)M (pr'R , prR )U (R)= M (pr', pr).	(29)

Это есть математическое выражение постулата инвариантности взаимодействия относительно вращения пространства.

Теперь рассмотрим операцию Р – инверсию координатных осей. Импульсы, как полярные векторы, меняют при этом знаки, в то время как вектор спина, как аксиальный вектор, знака не меняет. Иначе говоря,

s =U −1	(I )s U (I ),		s'	=U '−1(I )s' U '(I ),	(30)
l		l	l	l
где унитарная матрица U (I )		(U '(I ))	обеспечивает преобразование вол-

новой функции начального (конечного) состояния из базовой системы в

инвертированную систему I. Преобразование это записывается следующим образом:

χ(I ) =U (I )χ,	χ'(I )=U '(I )χ' .
Из условия на S-матрицу следует
r r	s r	(31)
(χ′+M (p′, p)χ)= Ii I*f (χ′+(I )M (− p′,−p)χ(I )).

Здесь Ii и If – внутренние четности двух начальных и двух конечных

нуклонов. Используя связь волновых функции		χ и χ	′	, получим
r r		r r			(32)
M (p', p)= Ii I f U −1	(I )M (− p',−p)U (I ).

Список литературы

Биленький С.М. и др. УФН 81 (1961) 243. Wolfenstein L., Ashkin J. Phys. Rev. 85 (1952) 947.

94

§16. Условие унитарности

Напишем уравнение Шредингера для волновой функции Ψk:

	2Ψ +	2µ	(E −uˆ)Ψ = 0,	(1)
		h2
	k		k

где µ – приведенная масса сталкивающихся частиц, uˆ – потенциальная энергия их взаимодействия, записанная в операторной форме (может содержать операторы спина и изотоп-спина). Для случая упругого рассеяния

можно представить Ψk в виде суммы двух членов:

	r	r	1	r	r
	Ψk = eik	•r χ +		eikr M (k	'',k )χ .	(2)
			r

Первый член представляет падающую плоскую волну, второй – расхо-

дящиеся от центра рассеянные волны. Причем k означает волновой век-

r

тор начального состояния (до взаимодействия), k '' – конечного; χ – спи-

норная функция начального состояния; М – матрица реакции. Поскольку рассматривается упругое рассеяние в системе центра масс (с.ц.м.), то

r	=	r	, uˆ+ = uˆ .	(3)
k ''		k

Второе условие представляет условие эрмитовости, накладываемое на потенциал взаимодействия, так как требуется, чтобы его собственные значения были действительными.

Далее взаимодействие в промежуточном состоянии столкнувшихся

частиц приводит к переходу волнового вектора k '' в волновой вектор k ' , определяющий заданное направление (например, направление на регистрирующий детектор).

На больших расстояниях от центра столкновения можно использовать разложение (для определения абсолютных фаз нужно включить известное, например, электромагнитное или слабое взаимодействие в дополнение к сильному):

1

r

r

∞

sin kr −

2

lπ

Ψ0

= eik

•r

= eikz cosθ

=

∑

il (2l +1)P (cosθ)

=

k

l

kr

(2l +1)

l =0

=

1

∑∞

Pl (cosθ)eikr −

(4)

ikr l =0

2

(2l +1)

−

1

∑∞ (−1)l

Pl (cos θ)e−ikr .

ikr l =0

2

95

	Можно показать, что имеют место равенства
	∑∞	(2l +1)		Pl (cosθ)= δ(1− cosθ),
	l =0	2	(2l +1)			(5)
	∑∞	(−1)l
					Pl (cosθ)	= δ(1+ cosθ).
	l =0	2

Правильность этих формул проверяется умножением обеих частей на Рl(соsθ) и интегрированием по соsθ. Если учесть условие ортогонально-

сти полиномов Лежандра
1 P	(cosθ)P (cosθ)d cosθ =	2		δ	ll'	(6)
∫ l'	l	2l +1
−1
и определение δ-функции Дирака
	∫ f (x)δ(x − a)dx = f (a),					(7)

то справедливость соотношений (5) очевидна. Тогда из (4) с учетом (5) находим

eikr•rr =

1

eikrδ(1− cosθ)−

1

e−ikrδ(1− cosθ).

(8)

ikr

ikr

С учетом этого запишем

r

r

r

1

1

1

Ψk (r )=

eikr χ

δ(1− cosθ)+ M (k ′′,k

′) −

e−ikrδ(1

+ cosθ) χ . (9)

r

ikr

ik

И по аналогии:

r′′ r′

)−

r

1

−ikr

+

1

1

ikr

+

Ψk′(r )=

e

χ

δ(1−cosθ) +

.(10)

r

M (k ,k

ik

ikr

e δ(1+cosθ) χ

Из уравнения Шредингера

2Ψ +

2µ

(E −uˆ)Ψ

= 0,

2Ψ+

+

2µ

Ψr+

(E −uˆ)= 0

(11)

k

h2

k

k'

h2

k ′

можно получить соотношение

Ψ+ 2Ψ − 2Ψ+Ψ = 0,

(12)

k '

k

k '

k

которое можно преобразовать к виду

(Ψk+' Ψk − Ψk+'Ψk )= 0.

(13)

Интегрируя по объему V, получим

∫ (Ψk+' Ψk

− Ψk+' Ψk )dv = ∫ (Ψk+' Ψk

− Ψk+' Ψk )ds = 0.

(14)

96

∂

Используя (9) и (10), а также оператор = ∂r , найдем

			1		1	r	r	')+	i
	∫			δ(1+cosθ)δ(1+cosθ')−		M +(k	'',k			δ(1−cosθ')	×
			2		2				k
		kr			r

		r r	1
	×	M (k '', k ')−		δ(1−cos θ) ds = 0,
			k

где ds = r 2 dωk '' , и, проведя интегрирования, придем к формуле:

21i [M (kr', kr)− M + (kr, kr')]= 4kπ ∫ M + (kr'', kr') M (kr'', kr)dωk ''

Это условие можно обобщить на случай и неупругих реакций:

(15)

. (16)

1

1

r r

1

r r

1

r r

r r

M

(k',k )−

M +

(k,k')

= ∑

∫

M +

(k'',k ) M

(k'',k')dω

,(17)

2i

k

k

4π

ab

ba

C

bc

ac

k''

a

b

где предполагается суммирование по всем возможным каналам реакции.

Соотношение (16) приводит к ряду важных следствий. При k '= k (упругое рассеяние на нулевой угол) получаем так называемую оптическую теорему

	Ima(0)=	k	σTOT ,	(18)
		4π

связывающую мнимую часть амплитуды упругого рассеяния вперед а(0)

сполным сечением σTOT.

Сдругой стороны, если уравнение (17) применить к матрице пионнуклонного рассеяния, то получаются два соотношения:

r

r

k

r

r

r

r

Im a (k ' ' , k ')=

∫ [ a * (k ′′, k ′) a (k

′′, k

′)+

4 π

(k

)×b(k

r′′

r′

)]dωk′′ ,

*

′′

′

′′

′

(19)

+ ib

,k

,k

) (n

×n

r′

r

k

*

r′′

r′

r′′

r′

*

r′′ r′

r′′

r′

∫[a

)+ b

)+

Reb(k ,k )=

4π

(k ,k

) b(k ,k

(k ,k

) a(k ,k

r′′

r′

*

r′′ r′

r′′

r′

)

r

(20)

+ Re[b (k

,k

) b(k

,k

) (n

×n

n]]dωk′′ .

Аналогичные соотношения имеют место и в случае нуклоннуклонного рассеяния. Эти соотношения особенно полезны при низких энергиях, когда открыт только упругий канал. В результате число необходимых экспериментов сокращается в два раза (в случае πN-рассеяния – на два эксперимента, нуклон-нуклонного рассеяния – на пять). Однако эти

97

утверждения надо воспринимать осторожно, так как они справедливы только в идеальных условиях, практически не доступных в реальных экспериментах.

Изложение основано на работе [Нурушев (1983)].

Список литературы

Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ ОЭФ 83-192, Серпухов (1983).

§17. Пион-нуклонное рассеяние

Рассмотрим конкретные реакции типа
π+ N = π+ N ,	(1)

или в спиновых обозначениях 0 + 1/2 → 0 + 1/2. Мы имеем двумерное спиновое пространство, и в качестве полного набора спиновых операто-

ров можно использовать матрицы Паули σ (σx, σy, σz) и единичную матрицу 1. Тогда матрицу плотности начального состояния можно записать в виде (§14(11))

r	(2)
ρˆ H = C0 1+ C1σ.

Следовательно, ρˆ -матрица целиком определяется заданием вектора поляризации мишени Pt или пучка PB .

Теперь нужно найти матрицу реакции М. В общем случае она должна быть, во-первых, функцией двух переменных, например, импульсов ki и k f до и после реакции, и, во-вторых, двурядной матрицей в спиновом

пространстве. Как матрицу, ее можно разложить по полной системе матриц Паули и единичной матрицы:

r	(3)
M (ki ,k f )= a(ki ,k f ) I + b(ki ,k f )•σ.

Теперь мы потребуем в соответствии с экспериментом, чтобы в сильных взаимодействиях выполнялись следующие условия [Нурушев (1983)]:

1. Закон сохранения четности. Так как четности начальной и конечной систем одинаковы, то М-матрица должна быть скалярной функцией на-

чальной энергии и угла рассеяния частицы. Это означает, что вектор b

тоже должен быть аксиальным, как и σ. Из двух векторов ki и k f	мож-
но составить единственный аксиальный вектор nr = ki ×k f / | ki ×k f	| ,
b' (ki ,k f )= bnr ,	(4)
98

где мы ввели единичный вектор n , нормальный к плоскости реакции. Разумеется, величина a(ki , k f ) должна быть скалярной функцией.

2. Обратимость по времени. При операции обращения времени происходят следующие переходы: ki → −k f и k f → −ki , так что n меняет

знак. При этой операции и σ меняет знак, так что величина σ• n должна быть скаляром. В случае системы (0+1/2) это требование автоматически выполняется после требования 1. Однако в случае более сложных систем (например, (1/2 + 1/2)) обратимость по времени приводит к дополнительным ограничениям.

Итак, матрица упругого πN рассеяния M (ki , k f )	имеет вид:
r r	(5)
M (ki ,k f )= a(ki ,k f )+ b σ• n.

Здесь b и а (они называются амплитудами с переворотом и без переворота спина соответственно) являются комплексными величинами, поэтому мы должны определить на опыте четыре вещественные функции (при фиксированной начальной энергии и угле рассеяния). Полным набором опытов назовем совокупность независимых экспериментов, необходимых для однозначного определения всех амплитуд реакции. Следовательно,

полный набор опытов для системы πN должен содержать как минимум четыре независимых эксперимента.

Однако действительность гораздо сложнее, чем приведенное выше описание. Во-первых, из-за того, что измеряемые в эксперименте величины являются квадратичными комбинациями амплитуд а и b, мы сможем на опыте определить в сильных взаимодействиях только разность фаз амплитуд а и b, а не их абсолютные значения. Для определения абсолютных фаз нужно включить известное (например, электромагнитное или слабое) взаимодействие в дополнение к сильному. Таким образом, набор экспериментов в полном опыте должен содержать больше четырех опытов. Вовторых, если упругое рассеяние является единственно разрешенным каналом реакции, то условие унитарности приводит к двум дополнительным соотношениям между амплитудами а и b, так что для их определения достаточно провести два независимых эксперимента.

Однако при энергиях выше порога образования пионов число опытов, входящих в полный набор, оказывается больше четырех.

Практически мы имеем дело с тремя реакциями, проходящими под действием заряженных пионов, а именно:

π+ + p → π+ + p (a),π− + p → π− + p (b), π− + p → π0 + n (c) . (6)

99

Эти три реакции связаны требованием изотопической инвариантности сильных взаимодействий. В результате между матрицами этих реакций имеют место соотношения

M(a)=M ,	M(b)=	1	(M +M ), M(c)=			1	(M −M ).			(7)
1		2		1	0	2		1	0

Здесь матрицы с индексами 1 и 0 соответствуют изотопическим состояниям пион-нуклонной системы c Т=3/2 и 1/2. Причем эти матрицы восстанавливаются таким же образом, как и матрица М. Без учета изотопической инвариантности три реакции (6) описывались бы набором из 12 экспериментов. Учет изотопической инвариантности приводит к сокращению этого количества до восьми.

Рассмотрим доказательство очень важного в практических приложениях равенства P = A – равенство между поляризацией частицы P и ее асимметрией A в бинарных реакциях [Биленький (1964)]. При этом речь идет о системе двух частиц со спином 1/2.

Рассмотрим волновую функцию системы, у которой изменено направление волнового вектора, и которая удовлетворяет уравнению Шредингера с обращенным временем ( t → −t ). Представим ее в виде

r r

1

r

r

Ψ−k '

= e−ik 'r +

eikr M

(k '',−k ')=

i

e−ikr δ(1

− cosθ')+

r

kr

(8)

1

r

r

+

eikr M (k '',−k ')−

i

δ(1

− cosθ') .

r

k

Подставляя эту волновую функцию в уравнение

∫ (Ψk+' Ψk − Ψk+'Ψk )dv = ∫ (Ψk+' Ψk − Ψk+'Ψk )ds = 0 ,

находим

(§16 (14))

r r

1

∫[M (k '', k ') δ(1 − cos θ')+

δ(1 − cos θ') δ(1 − cos θ)−

ik

− M (k '',−k ') δ(1 + cos θ)]dωk '' = 0.

(9)

Проинтегрировав, получим

M (k ',k )= M (− k ,−k ') .

(10)

Это соотношение представляет условие обратимости процесса по времени.

Построенная нами выше матрица рассеяния (10) удовлетворяет этому условно. Исходя из вида матрицы рассеяния, мы докажем следующее утверждение, которое широко используется на практике.

Пусть в реакции

100