[ Лялинов ] Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке

16. Через прямую

x = y = z

1 2 ¡1

провести плоскость, параллельную прямой x ¡ 3 = y ¡ 1 = z ¡ 1: ¡7 2 3

Указание. Нормаль к искомой плоскости перпендикулярна к направляющим векторам обеих прямых.

17. Написать уравнение плоскости, проходящей через следующие две параллельные прямые:

x

=

y + 2

=

z ¡ 1

;

x ¡ 1

=

y ¡ 3

=

z + 2

:

7

3

5

7

3

5

18. Найти растояние между двумя параллельными прямыми

x ¡ 2

=

y + 1

=

z

;

x ¡ 7

=

y ¡ 1

=

z ¡ 3

:

2

3

4

3

4

2

Указание: вектор (2 ¡ 7; ¡1 ¡ 1; 0 ¡ 3) спроектировать на вектор (3; 4; 2).

~

~

~

~ ~

~

~

Задача. Через прямую (~r¡2i¡3j+k)£(5i+j+2k) = 0 провести

~ ~

~

плоскость перпендикулярно плоскости ~r(i + 4j ¡ 3k) = 7.

~

Решение. Дано: для прямой – направляющий вектор l = (5; 1; 2),

r

;

;

1), нормаль для заданной плос-

прямая содержит точку ¡!0

= (2 3

~

¡

кости – N = (1; 4; ¡3), D = ¡7 – свободный член в общем уравнении

N

плоскости Ax+By+Cz+D = 0. Очевидно, вектор нормали ¡!1 иско-

~

~

мой плоскости должен быть перпендикулярен к l и к N, например,

¡! =

~

~

= ( 11 17 19)

можно взять

N

1

l

£

N

¡

;

;

. Осталось найти какую-

либо точку на искомой плоскости. Например, точка M0(2; 3; ¡1), лежащая на прямой, подходит для этого. Таким образом, уравнение искомой плоскости ¡11(x ¡ 2) + 17(y ¡ 3) + 19(z + 1) = 0 или

11x ¡ 17y ¡ 19z + 10 = 0.

1.3.6.Кривые 2-го порядка на плоскости. Эллипс. Гипербола. Парабола

19. Найти длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 25x2 + 169y2 = 4225.

20.Написать уравнение прямой, касающейся эллипса x162 + 12y2 =

=1 в точке (2; ¡3).

11

21. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если:

а)	Расстояние между фокусами 10, а расстояние между верши-
нами 8;
б)	Вещественная ось равна 6 и гипербола проходит через точку
(9; ¡4);
в)	Гипербола проходит через точки P (¡5; 2) и Q(2p	5	; p	2).
22. Составить уравнение параболы, если:
а)	расстояние фокуса от вершины равно 3;
б)	фокус имеет координаты (5; 0), а ось ординат служит дирек-
трисой;
в)	парабола симметрична относительно оси Ox, проходит через
начало координат и через точку M(1; ¡4);
г)	парабола симметрична относительно оси Oy, фокус помеща-

ется в точке (0; 2) и вершина совпадает с началом координат;

23.Найти условие касания прямой y = kx + b и параболы y2 =

=2px.

24.Выписать уравнение общей хорды двух пересекающихся кри-

вых

x2 + (y ¡ 1)2 = 1; y2 = 2x :

Задача. Преобразовать к каноническому виду уравнение кривой и нарисовать фигуру

x2 + 4xy + 4y2 ¡ 20x + 10y ¡ 50 = 0:

Указание: Перейти в уравнении к новым декартовым координа-

там x1; y1

x = x1 cos ® + y1 sin ®;

y= ¡x1 sin ® + y1 cos ®;

скоординатными осями, повернутыми на угол ® относительно исходных. Выбрать ® так, чтобы в новых координатах коэффициент

при x1 ¢ y1 обратился в ноль. Нетрудно проверить, что ® удовлетворяет уравнению

4 cos(2®) ¡ 3 sin(2®) = 0;

и sin(®) = 1=p5, cos(®) = 2=p5. Далее, выделяя полные квадраты по x1 и y1, находим вектор параллельного переноса начала координат, приводящего кривую к главным осям.

12

Задача. Доказать оптическое свойство эллипса: всякая касательная образует равные углы с фокальными радиусами-векторами точки касания.

Решение. Из фокусов F1 и F2 опустим перпендикуляры F1P1 и F2P2 на касательную. Пусть M0(x0; y0) - точка касания. Для доказательства оптического свойства достаточно проверить, что треугольники F1P1M0 и F2P2M0 подобны. Уравнение касательной xax20 + yby20 = 1 приведем к нормальному виду

x0b2x + y0a2y ¡ a2b2 = 0 ;

¹

p

где ¹ = x20 b4 + y02 a4:

Вычислим отношение расстояний jF1P1j и jF2P2j.

jF1P1j	=	¡x0 b2 c ¡ a2b2	=	a2 + c x0	:
jF2P2j		x0 b2 c ¡ a2b2	a2 ¡ c x0

С другой стороны F1M0 = r1 = a+" x0, F2M0 = r2 = a¡" x0, где " - эксцентриситет эллипса. Таким образом, jF1M0j : jF2M0j = jF1P1j :

jF2P2j, откуда и следует подобие треугольников.

§1.4. Программа экзамена в 1 семестре.

Матрицы (вещественные и комплексные). Алгебра матриц. Равенство, сложение, умножение на число, квадратные матрицы, перемножение матриц и свойства, ассоциативность произведения матриц (с доказательством). Произведение прямоугольных матриц. Примеры. Обратная матрица. Примеры обратимых и необратимых матриц 2x2. Единственность обратной матрицы. Обратная матрица к произведению. Транспонирование матриц, свойства транспонирования. Транспонирование произведения. Транспонированная матрица к обратной. Эрмитовское сопряжение. Перестановки, инверсии, транспозиции. Теорема о смене четности перестановки при транспозиции. Определение детерминанта. Использование определения для матриц 2х2 и 3х3. Свойства определителя (детерминанта): определитель транспонированной матрицы, линейность по строке (столбцу), нулевая строка (столбец), перестановка строк (столбцов). Определить произведения (без доказательства). След матрицы. Миноры

13

иалгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Обобщенная теорема о разложении по строке (столбцу). Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Формула для элементов обратной матрицы. Системы типа Крамера. Теорема Крамера. Метод Гаусса для системы Крамера. Осуществимость алгоритма. Метод Гаусса для произвольных систем. Теорема об определителе транспонированной матрицы. Определение детерминанта симметричное относительно индексов элементов матрицы. Векторные пространства строк и столбцов. Линейная зависимость и независимость векторов. Шесть теорем о линейной зависимости и независимости. Миноры. Ранг матрицы. Элементарные преобразования, сохраняющие ранг. Базисные строки

истолбцы. Теорема о базисных строках и столбцах (теорема о базисном миноре). Ранг матрицы по строкам, ранг по столбцам. Теорема о ранге. Теорема Кронекера-Капелли. Системы с прямоугольной матрицей.

1.4.1.Матрицы и определители. Системы уравнений

Задача. Возможно ли	равенство AB		¡	BA = I ?
		n					n
Решение. (AB)ik =		s=1 ais bsk, (BA)ik			=		r=1 bir ark. В част-
		элементов:				P
ности, для диагональныхP
(AB)ii = Xs		ais bsi ; (BA)kk =			Xr		bkr ark :

Найдем следы матриц AB и BA, т.е. сумму диагональных элементов:

X XX X XX

(AB)ii = ais bsi ; (BA)kk = bkr ark : i s i k k r

Эти величины совпадают, что очевидно, если заменить обозначения индексов суммирования (эта операция аналогична изменению обозначения переменной интегрирования в определенном интеграле):

X X XX

(BA)kk = (BA)ss = bsi ais : k s s i

14

Поэтому след разности AB¡BA равен нулю, т.е. Pni=1(AB¡BA)ii = 0. Но след единичной матрицы равен n, таким образом, равенство

(1)невозможно.

25.Выполнить действия:

04

5

61 0

0

5

0 1 :

1

2

3

¡1

0

3

@7 8 9A ¢ @ 7 0 ¡1A

26. Проверить, что каждая матрица второго порядка

A =

µc

d¶

a

b

удовлетворяет своему характеристичеcкому уравнению: x2 ¡ (a +

d)x + (ad ¡ bc) = 0.

27. Считая, что 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 исходное расположение,

определить число инверсий в перестановках:

а) 1, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 9, 5;

б) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

28. С каким знаком входят в определитель 6-го порядка произ-

ведения:

а) a23a31a42a56a14a65;

б)

a32a43a14a51a66a25 ?

2

1

4

¯

¯

31

¯

0

1

0

2

¯

1

4

1

¯

¡

¯

Задача. Вычислить определитель ¢ =

¯

¯

¯

7

2

3

¯ :

¯

4

¯

¯

¯

Решение. Упростим определитель, пользуясь¯

его¡свойствами:¯

из

4-ой строки вычтем 1-ую:

¯ 01 2 1 4

¯

=

¯

¯

¯

¯

¡1

2 1 4

¯

=

¯

1 2 1 4

¢ = ¯

3

1

0

2

¯

(1)

¯

¡

7

3

14

¯

(2)

¯

¡

7

3

14

¯

:

¯

0 1 4

1

¯

¯

¯

¯

0

¯

0 1 4 1

0 1 4 1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

6

2

1

¯

¯

1 6

2 1

¯

¯

0 8

1 5

¯

¯

¡

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Поясним¯

сделанные преобразования:¯

(1) - к 1-ой строке прибавили

2-ую строку, умноженную на 3; (2) - к 4-ой строке добавили 2-ую.

Теперь разложим определитель по 1-ому столбцу:

¢ = 0

¯

1 4 1

¯

¡

(

¡

1)

¢

¯

1 4 1

¯ +

¢ ¯

2

1

4

¯

¯

7

3

14

¯

¯

8

¡

1

5

¯

¯

8

¡

1

5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

15

+ 0

¯

2 1 4

¯

+ 0

¢

¯

2

1 4

¯

=

¯

1 4 1

¯

:

¢ ¯

7

3

14

¯

¯

7

3

14

¯

¯

7

3

14

¯

¯

8

¡

1 5

¯

¯

1

4 1

¯

¯

8

¡

1 5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Из 3-его столбца¯

вычтем¯

удвоенный¯

1-ый¯столбец,¯

затем разложим¯

по 3-ему столбцу

¢ = ¯

2

1

0

¯

= (

¡

11)

¢

¯

7

3

¯

=

¡

11(7

¡

6) =

¡

11 :

¯

7

3

0

¯

2 1

¯

8

¡

1

11

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

29. Исходя¯

только¯из определения детерминанта, доказать, что

определитель матрицы

0®1 ®2 ®3 ®4 ®51

BB¯1 BBa1 B @b1

c1

¯2	¯3	¯4	¯
a2	0	0	05C
				C
c2	0	0	0	C
				C
b2	0	0	0	A
				C

равен нулю.

30. Разложить по элементам 1-го столбца и вычислить определи-

тель матрицы				0	1	11
		0b
			a	1	1	1		:
		Bc		1 0		1C
		B					C
31.		Bd		1 1		0C
		@					A
	Пользуясь формулой Крамера, вычислить A¡1, если:
A =		00	1		2 1:
		1	2	¡3
32.		@			A
		0	0		1
0	Найти ранг матрицы:
	4	8	18		7	1	:
@	0	4	10		1	A
		18	40
B10					17C
B	1	7	17		3 C

16

Задача. Решить систему3

21

32 ¯

14 1

0 3

1

B

1

1

¡

¡

¯

¡

C

B

¡

¡

¡

¯

¡

C

:

1

2

3

1

¯

4

B

¯

C

@

¡

¯

¡

A

2

3

1

1

¯

6

¯

Решение. Вычитаем из 2-ой строки¯

утроенную 1-ую, из 3-ей -

утроенную 1-ую, из 4-ой – 1-ую. Получим

1

0

0

4

5

11

¯

7

B

1

1

2

3

¯

1

C

¡

¡

¡

¡

:

B

¡

¡

¯

¡

C

0

1

1

4

¯

5

B

¯

C

@

¡

¯

¡

A

0

1

5

7

¯

8

¯

Вторую строку умножим на (-1) и переставим¯

2-ую и 4-ую строки

(это делается для удобства счета). Дальнейшие переходы обозначе-

ны стрелками:

¡5 1 0

1 ¡4 ¯

¡5 1

0 0 1 1 ¡4 ¯

0 1

1

1

2

3

¯

1

1

1

2

3

¯

1

!

B

0 1

5

7

¯

8

!

0 1

6

3

¯

3

C

!

¡

¡

¯

¡

C B

0 0

¡

¡

¯

¡

B

0 4 5 11

¯

7

C B

1 27

¯

27

C

@

¯

A

@

¯

A

¯

¯

0

1¯

1

2

3

¯

1

1

¯

0

1

1

¡4

¡5

0

0

1

27

¯

27

!

B

¯

C

0

0

2

1

¯

1

B

¯

C

@

1

¯

A

1 2 3

1

1 1 2 3

¯

1

0 0 1 1 ¡4

¯

¡5

1

¯

0 0

1 1 ¡4

¯

¡5 1 :

!

0 0 1 27

¯

27

!

0

0 1 27

¯

27

B

¯

C

B

¯

C

0 0 0

¯

58

0

0 0 1

¯

1

B

58 ¯

¡

C

B

¯

C

B

¡

¯

C

@

¯

A

@

¯

A

¯

¯

¯

Прямой ход выполнен, система¯

оказалась совместной. Так как ранг

левой части равен числу неизвестных, то решение единственно (это случай крамеровой системы).

3Здесь мы используем символическую запись системы линейных уравнений в виде расширенной матрицы системы.

17

Теперь совершаем обратный ход: из 3-ей строки вычитаем 4-ую, умноженную на 27, к 2-ой строке прибавим 4-ую, умноженную на 4,

из 1-ой вычитаем 4-ую, умноженную на 3:														1	1	0	¯ ¡1 1
	0 0			1 1 ¡4				¯ ¡5 1				0 0
			1	1 2 3				¯	1				1	1	2	0	¯	¡2
!	B		0	0 1 27				¯	27	C	!	B	0	0	1	0	¯	0	C	!
			0	0 0 1				¯	1				0	0	0	1	¯	1
	B							¯		C		B					¯		C
	@							¯		A		@					¯		A
								¯									¯
		0		1	1	0	0	¯	¡2	1		0	1	0	0	0	¯	¡1	1 :
				0	1	0	0	¯	¡1				0	1	0	0	¯	¡1
		B						¯		C		B					¯		C
				0	0	0	1	¯	1				0	0	0	1	¯	1
!		B						¯		C	!	B					¯		C
Ответ: x1	=	@		1 ; x2		=		¯		A		@					¯		A
								1¯; x3 = 0 ; x4 = 1 .									¯
			¡				¡	¯									¯

33. Решить систему:

8

< x1 ¡ 2x2 + x3 + x4 = 1 ;

:x1 ¡ 2x2 + x3 ¡ x4 = ¡1 ; x1 ¡ 2x2 + x3 + 5x4 = 5 :

Задача. Вычислить обратную для матрицы4
0	1	¡1	0	1	:
	2	2	3	A
@ ¡1		2	1

Решение.					1	0		¯	0 1			0 1 0					2			2 3		¯	1 0 0			1
		0	1	¡																								!
								¯							!		1 ¡1 0					¯
		@	2	2		3		¯	1 0			0				@						¯	0 1 0			A
			1 2			1			0 0			1						1 2 1					0 0 1
			¡					¯					A				¡					¯
			1	¡1	0			¯		1		0					1		¡	1	0	¯	0	1		0
	0					¯		¯0					1 0								1	¯	0 1			1		1
!			0 4 3					1		¡	2 0						0 1					¯							!
	@					¯							A		!	@						¯						A
						¯				¡											¡	¯		¡		¡
						¯							¡				0 0				1	¯	1	¡		¡
			0 1 1 ¯				¯	0 1 1						3								¯			6		4	3 1		:
		0 0 1 0				¯			1			5			1 0				0 1 0			¯	1		5
			1 0 0				¯		1			4		3					1 0 0			¯	1		4			3
			0 0		1				1	¡		6	¡	4	A		@		0 0 1			¯	1 6				4
!		@			¡		¯									!						¯	¡	¡		¡		A
							¯			¡			¡									¯
							¯															¯
							¯															¯

4Вычисление обратной матрицы размеров n £ n равносильно решению n неоднородных линейных систем систем, с правыми частями, являющимися столбцами единичной матрицы.

18

34.					@	1	¡4	¡3	A
Ответ: A¡1				=	0	1	¡5	¡3	1	:
						¡1	6	4
	Вычислить обратную матрицу для данной матрицы A:
A =		00	2	51:
		1	2	1	A
35.		@
		1	0	1
	Являются ли векторы (1; 2; 0), (0; 1; 0), ( 1; 0; 2) линейно за-
										¡

висимыми?

19

Глава 2

§2.1. Программа коллоквиума во 2 семестре.

Линейные пространства (вещественные и комплексные), определение, аксиоматика и простейшие следствия, примеры линейных пространств. Линейная зависимость и независимость, примеры. Шесть теорем о линейной зависимости и независимости. Базис в линейном пространстве, теорема о единственности разложения по базису. Размеренность пространства: теорема "подготовительная"и теорема о базисности набора из n линейно-независимых векторов в n-мерном пространстве. Примеры базисов. Изоморфизм линейных пространств. Сохранение линейной зависимости (независимости) при изоморфизме. Критерий изоморфности конечномерных линейных пространств. Примеры. Подпространства (п/п). Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма п/п. Единственность разложения в прямую сумму. Формула для размерности суммы п/п (без доказательства). Примеры. Подпространство решений однородной линейной системы уравнений. Его размерность. Базис и фундаментальная система решений. Общее решение. Неоднородная линейная система (НЛС). Общее решение НЛС.

Линейные операторы в линейных пространствах. Примеры. Матрица оператора. Пространство операторов и базис в нем, размерность. Композиция операторов и матрица композиции. Собственные значения и собственные векторы матриц. Линейная независимость собственных векторов для матриц с простым спектром. Характеристический полином матрицы и вычисление его некоторых коэффициентов. Алгебраическая и геометрическая кратности. Теорема о соотношении алгебраической и геометрической кратностей (с дока-

20