[ Лялинов ] Программа и задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии в основном потоке

Решение.

© = x21¡4x1x2+2x1x3+4x22+x23 = (x1¡2x2+x3)2¡4x22¡x23+4x2x3+ +4x22 +x23 = y12 +4x2x3 +x23 = y12 +(x3 +2x2)2 ¡4x22 = y12 +y22 ¡4y32 ;

где

y1 = x1 ¡ 2x2 + x3 ; y2 = 2x2 + x3 ; y3 = x3 :

Здесь треугольное преобразование координат задается матрицей

0 1 ¡2 1 1 P = @ 0 2 1 A :

0 0 1

10. Выделяя квадраты линейных форм, привести к сумме квадратов квадратичную форму:

x21 ¡ 4x1x2 + 2x1x3 + 4x22 + x23:

Задача. Привести квадратичную форму к сумме квадратов

© = 2x1x2 + x2x3 + x3x1:

Решение.

1-й способ. Здесь сначала следует сделать преобразование типа поворота в плоскости x1, x2 (точнее, это поворот с растяжением), чтобы выделить квадраты:

x1 = y1 + y2 ; x2 = y1 ¡ y2 ; x3 = y3 ) © = y12 ¡ y22 + 2y1y3 :

Далее задача решается, как предыдущая.

2-й способ - ортогональное преобразование (поворот).

Пусть ~x = T~y, где T - ортогональная матрица, составленная из координат собственных векторов матрицы A квадратичной формы.

Тогда © = h¤~y; ~yi = ¸1y12 + : : : + ¸nyn2, где ¸1; : : : ¸n - собственные значения матрицы A (здесь каждое собственное значение учте-

но столько раз, какова его кратность).

11. Привести к каноническому виду ортогональным преобразованием квадратичную форму:

31

x21 + 2x22 + 3x23 ¡ 4x1x2 ¡ 4x2x3:

Задача. Привести к каноническому виду с помощью поворотов и сдвигов уравнение

x21 ¡ 4x1x2 + x22 + x1 ¡ x2 ¡ 1 = 0 :

Указание.

=

µ ¡2 1

¶

= 3

= ¡1

1

2

A

µ

1

¡2

; ¸

; ¸

;

T = p2

1

1 ¶

; T ¡1AT = µ 0 1 ¶

:

1

1

1

3

0

¡

¡

После поворота ~x = T~y получится 3y12 ¡ y22 + y1p

¡ 1 = 0 : Сдвиг

2

по координате y1 позволяет привести уравнение гиперболы к кано-

ническому виду.

Задача. Привести к каноническому виду при помощи поворота

и сдвига уравнение поверхности

4x1x2 + x22 + 4x2x3 + 2x32 ¡ 4x1 ¡ 2x2 ¡ 5 = 0 :

Решение. Здесь

~

A = 0 2 1 2 1

< A~x; ~x > + < b; ~x > +c = 0;

0 ¡2 ¡1 2

1

;

~b = 0 ¡2 1

;

¸2

= 1

; T = 3

:

0 2 0

¡4

¸1

= 4

1

¡1 ¡2 ¡2

@ 0 2 2 A

@ 0

A

¸3 = ¡2

@ ¡2 2 ¡1 A

A

; ;

;

diag

После поворота ~x = T~y получится

e =8

f4

1 ¡2g

e

1

@

A

4

!¡b = T t~b =

3 0

10 1 :

Сдвиги по координатам yi

1

5

1

z1 = y1 +

; z2 = y2 +

; z3 = y3 ¡

3

3

3

32

приводят уравнение к каноническому виду (однополостный гипер-

болоид)

4z12 + z22 ¡ 2z32 ¡ 8 = 0 :

12.Привести к каноническому виду при помощи поворотов и сдвигов уравнение и сделать рисунок 1) кривой или 2) поверхности:

1)7x21 ¡ 24x1x2 ¡ 38x1 + 24x2 + 175 = 0;

2)4x1x2 + x22 + 4x2x3 + 2x23 ¡ 4x1 ¡ 2x2 ¡ 5 = 0:

13.Приведя квадратичную форму к каноническому виду выделением квадратов, определить тип поверхности в пространстве:

2x21 ¡ x1x2 ¡ x2x3 + 4x22 + 7x23 ¡ 1 = 0:

33

Литература

А.Г. Аленицын, Методические указания к практическим занятиям по курсу "Высшая математика", алгебра, 1 курс. // Ленинградский Университет, 1984.

А. Г. Аленицын, А. С. Благовещенский, М. А. Лялинов, В. В. Суханов, Методы математической физики, (Линейная алгебра, Электронное пособие), 2005.

О.Н. Цубербиллер, Задачи и упражнения по аналитической геометрии. // М. Наука, 1968.

34