[ Суслина ] Высшая алгебра. Задачи к экзамену во 2 семестре (усиленный поток)

“•ˆ‚…•‘ˆ’…’

"Ž••€‡Ž‚€•ˆ…"

ã-

á â¥â¥"

•à®¥ªâ "ˆ--®¢•¨«æ¨®--â-ë©ï ®¡à¯à®¥§®¢ªâ •22⥫ì-÷•ï §àá ¥¡®âª¤ ¢ ª«¨ ¢-¥¤à -¨¥

¨--®¢ 樮--®© ®¡à §®¢ ⥫ì-®© ¯à®£à ¬¬ë ÷•à¨ª« ¤-ëáá¨ç¥ ¥â᪮¬¥¬ â¨

¨¢¥à䨧¨ª öö

Š ä¥¤à ¢ëá襩 ¬ ⥬

⨪¨ ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨

”¨§¨ç¥áª © ä ªã«ìâ¥â

’. €. ‘ã᫨-

‘•¡¥ç ƒâ“.¥âáï

¯®

à è¥-¨î

¬¨áᨨ

䨧¨ç¥áª®£® ä ªã«ìâ¥â

•¥ª®¬¥-¤®¢ -® “ç¥-ë¬ á®¢¥¬â®¬¥â®¤¨ç䨧¥áª®©ª®£® ä ªã«ìâ¥â ‘•¡ƒ“.

ï

«£¥¡à . ‡

ç¨

íª§ ¬¥-

¢® ¢â®à®¬

ᥬ¥áâà¥

«¥--ë©

¯®â®ª). ‘•¡., 2007

‚ëáèç - -¬¥â ¤¨ç¥á

¯®á ¡¨¨

¬ â¥à¨ « ª íª§ ¬¥-ã

¯® ªã áã "‚ëáè ï

•®á®¡¨¥ ¯à¥¤-íª§- 窮¬¥- ¤«ï áâã¤á®¤-⮢¥à¦¨âáï1-£® ªãàá .

«£¥¡à " ¢® ¢

(ãá¨

¤«ï áâ㤠-⮢, ®¡ãç îé¨åáï ¢ ãᨫ¥--®¬ ¯®â®ª¥. •à¨¢¥-

¤¥- ᯨ᮪ â¥â®à®¬à¥â¨ç

ª¨å ¢ ¯à®á®¢ ª íª§ ¬¥-

¨ - ¡®à

®¢ëå § ¤ ç, ¯à¥¤« £ ¥¬ëå

áâ㤥-â ¬ -

¬¥-¬¥¥,áâ஡à¥

§æ ¬¨ à¥è¥-¨© ¨ ª®¬¬¥-⨯à¨ï¬¨.

¯«†®à£-¥¥ªá¥Œ¡à©-â-¥®¢®à¨)",¢®£ä®à¬ë",à ¢â®à-«,"‹¨¬¬ãª-¥¬«ì©"-…áàá-륢ª«¨¤®¬(㥩ï¥áâய¢ëä®à¬¢®¨«-¥¥,ë--â®à¯à®áâफ拉©à¦-᫨¢¥¯®â®ª)¬--íª§¥¥áâà©-§®¬£¥®¥¢å®¤ïâ-«ë®¯¥"‹¨àªãàâ®à-¥--ª¦©"-ë. "‚ëá襥-áâ¢à ª®¬§¤¡¨å¥ï

«ë

«£¥¡à

¨¥ ®б¨вбпагªвгал", "‹¨-(¢¥©¥-й¥бв¢а®бва¥

-áâ¢

",

"‹¨-¥©-ë¥ ®¯¥à â®àë".

•â®â

â¥à¨

¥¢ª«¨¤®¢¢ë-®á¨âáï -

¬.

‚®¯à®áë"Ž¡é¨¥§ ¤ ç¨

ªã¨ç¥««®ª¢¨ã᪠®à®¬ã

- - ©â¨

¯®á®¡ ª®««®ª¢¨ã[1].

•à¥¤«

£

¥¥¬®¥

¯®á®¡¨¥

-

¡®à ⨯®¢ëå § ¤ ç, ¯à

£ ¥¬ëå áâã

-

íª§ ¬¥-¥,

§æ ¬¨ à¥è¥-¨©

¨

¬¬ -â

‚-

ç «¥ ¯à¨¢¥¤¥- á¯ç¨áᮤª

¥à¦¨â®à¥â¨ç¥áª¨å

¢®¯à®á®¢,

ª®â®àë¥

¢ë-

à¨ï¬¨.

‡ ¤

ç¨

-ë ¯® ⥬¬®¦.

•à¨ í⮬

㬥à æ¨ï §¤«

ç

㪠᪢®§á«®¦-®áâ짤¥«¥

¯®

áﮡà

«ì-®© èª «¥.

ï. ‡

ç¨ ¨¬¥îâ

§-ë© ã஢¥-ì á«®¦-®áâ¨. ‚ ᪮¡ª å

-®бпвбп -

íª§ ¬¥-.

‚®¯à® ë

ª íª§ ¬¥-ã

2

‚â®à®¥

--®¥

à®áâà

--á⢮.

--ë¥

1

‹¨-¥©-ë¥ ä®à¬ë.

„¢®©

¢¥

®¥ ¯à áâà -á⢮.

3

८¡à §®¢ -¨ï ¤¢®©á⢥--ëå ¡

§¨á®¢

ª®

¤¨-„¢®©áâ¢E0.¥

•à¥

§¨áë.

¨ï ¨§®¡à ¦ îé¨å ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à®¢ ¨§ E

E ;

§

®¡à

§®¢

4

E ¢ E0;

¤¢®©á⢨§ E0

¥E.

Ž¯à¥¤¥«¥-

¯à¨¬¥àë. •à®áâà -á⢮

•

«¨-¥©-

ï ä®à¬ .

«¨-¥©-ëå

.

0

0

6

.

•à ®¡à §®¢ -

¨§®¡à ¦ îé¨å

âà¨æ ¡¨«¨

Ÿ¤à® ¨ ä®à¬ë£

¥©-ä®à¬ë®©

.

‘.

’à -ᯮ-¨à®¢ -- ï ä®à¬ .

5

Ž¯¥à â®à ¡¨«¨-¥© ®©

ˆ§®¡à ¦ îé ï ¬

7.

-

-®©

.

. •à¨¢¥¤¥-¨¥, ª¢ ¤à â¨ç-®© ä®à¬ë

ª áã¬-

Š¢ ¤à ⨨ç- ï ä®à

¥â

륡¨«¨-â¨á¨¬¬¥â

¨

-ë¥ ¡¨«¨-¥© ë¥

.

‘¨¬¬¥©ª¢ ¤à

⮢

(ª®¬¯«¥ªá-ë© á«ãç

©).

-3-

‡ ¤

1.

’¥¬ 1. ‹¨‡ ¤¥©-ç¨ë¥

ª íª§¡¨« -¬¥¥©-ë¥ ä à¬ë

-®¢ á⥯ -

(8 ¡ ««®¢). ‚ ¯

-á⢥ E = Ò

-

¢ëè¥ n (á ¢¥é¥á⢥--묨 ª íää¨æ¨¥-

¬)n

à áᬮâਬ «¨- ©-

k

, k = 0; 1; . . .à®áâà; n, ®¯®áâ ¢«ïî騥 ¬-®£®ç«¥- P (x) ¥£®

-ë¥ ä®à¬ë g

§- ç¥-

¢ â®çª¥ x = k:

; g1

k

®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ ¤ ®©á⢥- ®¬

㨻

¦¨â¥,

çâ® ä®à¬ë g0

; . . . ; gn

¢ëè¥ n (á

¢¥é¥á⢥--묨

ª®íää¨æ¨¥-â

¨) à áᬮâਪ®â®à®¬ã«¨-¥©

ë

ä

®áâà¬ë g , k = 0; 1; . . . ; n,

¯®áâ ¢«ïî騥

¬-®£®ç«¥-ã P (x) §- ç¥-§¨á¥

‡ ¤ ç

g (P ) = P (k):

¬-®£®ç«¥-®¢ á⥯¥-¨ -

2. (8 ¡ ««® ). ‚ ¯à áâà -á⢥ E = Ò

¯à

1

- ⢥ E0 ¨ - ©

⥠¡ §¨á P

; P

; . . . ; P

n

¢ E, ª

¡

g

0

; . . . ; g

n

ï¢ ï¥âáï ¤

0

1

; g

--ë¬.

¥£®

¯à®¨§¢®¤-®© ¯®à浪¢®©áâ¢k ¥â®çª¥ x = 0:

n

k

0

kP

:

gk1(P ) = ndxk jx=0

„®ª ¦¨â¥, çâ® ä®à¬ë g ; g ; . . . ; g

®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ ¤ ®©á⢥- ®¬

‡ ¤ ç

3. (9 ¡

««® ). ‚ ¯à áâà -á⢥ E = Ò

¬-®£®ç«¥-®¢ á⥯¥-¨ -

¯à®áâà - ⢥ E0 ¨ - ©

⥠¡ §¨á P ; P ; . . . ; P

¢ E, ª

¡

¢ëè

n (á

¢¥é¥á⢥--묨

ª®íää¨æ¨¥-â

¨) à áᬮâਪ®â®à®¬ã«¨-¥© ë

ä®à¬ë g , k = 0; 1; . . . ; n¢®©áâ¢, ¯®áâ¥

¢«ïî騥

¬-®£®ç«¥-ã P (x) §- ç¥-§¨á¥

g

0

1

; . . . ; g

n

ï¢ ï¥âáï ¤

0

1

n

; g

--ë¬.

n

¨-⥣à

k

®â P (x) ¯® ¯à®¬¥¦ãâªã [0; k + 1]:

«

gk

k+1

(1)

(P ) = Z

P (x) dx:

0

1

0n

®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ ¤¢®©á⢥--®¬

„®ª ¦¨â¥, çâ® ä®à¬ë g

; g

; . . . ; g

¯à®áâà -á⢥ E0.

-5-

1 + 4x2 + x + 2 x1x2 + 10

6

3

5.

(7 ¡ ««®¢.) „«ï á«¥¤ãî饩 ª

¤à â¨ç ®© ä®à¬ë ¢ R

Q(x) = x2

2x 3x2

+ 2x1x2

2x1x3 + 2x2x3

®¯à¥¤¥«¨âì ¨-¤¥ªáë ¨1

-¥à樨2

¢ §3

¢¨á¨¬®á⨠®â §- ç¥-¨© ¯ à ¬¥âà

‡.

¤ ç

6.

(7 ¡ ««®¢.)

‚ Rn (n 2) à áᬠâਢ ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç- ï

ä®à¬

n

Q(x) =

X

q

ij

x

x

; q = q

ji

2 R:

i;j=1

i

j

ij

„®ª § âì, çâ® ¤ ï ¯®«®¦¨ ¥«ì ®© ®¯à¥¤¥«¥--®á⨠í⮩ ä®à¬ë ãá«®

‡ ¤ ç

7. (8 ¡

««®¢.) • ©¢«ï¥âáï-¤ ªá뮡室¨-¥à樨 ª¢ ¤à â¨ç-®© ä®à¬ë

¢¨¥ q

> 0, j = 1; . . ; n, ï

-

-® -¥ ¤®áâ â®ç-ë¬.

Q(x) = Tr x2

«¨-¥©-®¬ ¯à®áâà -

M¬ë¬,n ®¡à §®¢ --®¬ (n n)-

¬ âà¨æ ¬¨ á

¢¥é¥á⢥--묨

í«¥¬¥áâ¢-

¥¬¨.

jj

(¢ R ) -

¥£¢ª® ¤«¨ £®- «ì®à⮣®¢

1=n ¤«¨-ë ¤¨ £®- «¨.

n-¬¥à-®£® ªã¡

’¥¬

2. …

¤®¢ë ¯à á

-áâ¢

⢮ - ¤ ¯ «¥¬ R,

.)

Q(x; y) ᨬ¬¥âà¨ç- ï ¡¨«¨-¥©- ï ä®à¬

‡ ¤

8.

(4 ¡ ««

„®ª § âì, çâ®

«ì- ï

ï ॡà

9.

(7 ¡ ««®¢.)

•ãáâì E n-¬¥à-®¥ «¨-¥¯à®©

¥ªæ¨¯à®áâà --

á

-¤

¬¨ ¨-¥à樨

n+

= n, n = 0.

㨻

§ âì, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®

¯à¨ç¥¬

¢¥-á⢮

n

¤«ï â¥å ¨ ⮫ì

â¥å ¢¥ªâ®à®¢ x, y,

-¥à ¢ ªá- ⢮

p

p

¤«ï ª

p

Q(x + y; x + y)

Q(x; x) +

Q(y; y); 8x; y 2 E;

¢ë¯®«¨¬-

¥-¥®â

x = y ¯à¨ -¥ª®â®àëå

-¥®âà¨æ ⥫ì-ëå

ç¨á«

®â®àëå, , ®¤-®¢à¥¬¥--¬¥-áâ®à ¢-ëå -ã«î.

-6-

¯®¤¯à®áâà¯à®¨§-á⢮ ¬ âà¨æ á -ã«r¥¢ë¬.

•гбвмб«¥¤®¬F. •= f©в¨a 2 M

£: ®Tr- a«ì=-®0g¥

¤®¯®«-

¨¥ F

?.

n

¯à®áâà -11á⢮. (7(n¡ n)- .)

âà¨æá (áì E¢¥=é¥Má⢥- 묨¢¥é¥á⢥-®à⮥¬¨)¥¢ª«¨¤®á®

«ïà-ë¬ ¯

t

. •ãáâì F ¯®¤¯à®áâà -

- ¥¬ (a;b) = Trab

‡ ¤

-ëå ¬ âà¨æ.

©â¨ ®à⮣®-

ì-®¥ ¤ í«¯®«¥¬-¥-¨¥ F

?

.

á¨áâ¥-

12. (7 ¡

««®¢.)

•ãá

f1

; . . . ; fk

®àâ®-®à¬¨à®¢ -- ï

ᨬ¬¥âà¨çந§¢¥R¤¥.

„®ª § âì,

çâ® ¤«ï

«î¡®£®

x 2 R

n

á¯à ¢¥¤«¨¢®

-

y¢¥ªâ®à®¢- .

n

-á⢮ •¥áᥫï

k

•¥à

X(x; fj )2 kx 2:

-á⢮

j=1

• àᥢ «ï) ¤«ï «î-

£¤

é ¥âáï ¢ à ¢¥-á⢮ (à ¢¥-

¡®£® x 2 Rn

⠫쪮 ⮣¤

, ª £¤

k

á⢮n . ¥. á¨á⥬

f ; . . . ; f

®¡à §ã¥â

â®-®à¬¨à®¢

--ë© ¡ §¨á ¢ R

.

1

n

13. (7 ¡

n

n

‡

ç

««®¢.)

•ãáâì x; y 2 R

, x =6 0, y =6 0. „®ª § âì, çâ®

¥¢ª«¨¤®¢

¯à®áâà -áâ¢

E. •ãáâì

2 E, ¯à¨ç¥¬ x 6?F . •ãáâì

a)¡

x = y, £¤¥

>

0, ⮣¤

¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

㣮« ¬¥¦¤ã x

<

‡ ¤¯àç

15.

-ã«î.

.)

•ãáâì Ò

®¥ ¥¢ «¨¤®¢

¯à®

(10

¡

‡

¢¥

ç

14.

(8 ¡ ««®¢.)

•ãáâì F ¯®¤¯à®áâà -á⢮

--®£®

cos x; y) = cos(x; y ), £¤¥

0 =6 y 2 F , ¢ë¯®«-便éâáï¥á⢥à¨ç£¤

¥¬

x = y + z,

£¤¥

2 F ,

z 2

0

F

?

.

„®ª § âì, çâ®

¨§

á¥å

¢¥ªâ®à®¢

¯

®áâà

-á⢠F - ¨¬¥-

-

㣮« á x0

®¡à §ã¥â

y, ¯

®«ìª®

, ª®£¤

y = y

> 0.

묨¢¥ªâ®à®íää¨æ¨¥--

-á⢮ ¯

-®¬««®¢á⥯¥ì訩 n (á ¢¥é¥á⢥

áâଠ) -

®â१ª¥ [ 1; 1].

‘ª «ï¥ª®â-®®à묥 ¯à®¨§¢¥¤¥--¨¥ ¯®«¨-®¬®¢ P (t)

¨ Q(t)

§ £¤ ®«¨-

0

=

R

1

P (t)Q(t) dt. •à®¢¥àìâ¥,

çâ®

ä® ¬ã«®© (P; Q)

¯®«¨-®¬ë ‹¥¦ -¤à

, § ¤

--ë¥ ä®à¬ã« ¬¨

P0(t) = 1; Pk(t) =

1

k

1

[(t2

1)k]; k = 1; . . . ; n;

2kk! dtk

-7-

‡ ¤ ç

®â ¯®«¨-®¬®¢ ‹¥¦ -4¤à

«¨èì ¬-®¦¨â¥«ï¬¨.

16. (8 ¡ ««®¢.) ‚ R

- ©â¨ 㣮« ¬¥¦¤ã ¯®¤¯à®áâà -á⢠¬¨

F騩áïG, £¤¥ FB0=1LfC1e1

;

g, GB0=1 C1Lfg1

; g2g,B0

C1

;

g

=

B0

2 C1

:

e =

@0 A

;

e =

@

0 A

;

g

1

=

@

1 A

2

@

25

A

’¥¬

1

2

‡

3. ‹¨-¥©-

®¯¥à â®àë

ª

¯à áâà -á⢠å

ç

17. (8 ¡

.) •ãáâì E n-¬¥à«¨¤®¢ëå-®¥ -¥©- ¥

®áâà -

- ï

íନ⮢

ଠ, ¯à¨ç¥¬ Q(x; x) ¯®«®¦¨â «ì-

®¯à¥¤¥«¥-- ï.

„®ª § âì, çâ®

-

Q(Ax; x) = 0 ¯à¨ «î¡®¬ x

2 E,

¯®«ãâ®àA ã«¥¢ ©

®¯¥à â®à.

- «®£¨ç- ã⢥ত¥-¨¥, ¥á«¨

E n-¬¥àá⢮- ¥

«¨-¥©-

ï

¥á«¨«¨-¤ ªá ¬¨ n+

= n, n

= 0 ?

n

‡

¤

ç

18. (6 ¡

««®¢.) ‚

®¬¯«¥ªá-

¥¢ª«¨¤®¢ ¬ ¯à®áâà -á⢥ M

¯®«¥¬ C, A

ë-¥©-ë© ®¯¥à â®à

E, Q( ; y)

«¨ ¥©

®¥ ¯

®áâà

-á⢮ - ®«®¥¬ R ¨ Q(x; y

ᨬ¬¥âà¨ç-

¡¨

ã-¨â à-

ä®à¬âà¨æ

¨¬¥¥â -®à

ã, à ¢-

n; b) «¨-¥©-ë©

®¯¥à

â®à

-¨¥¬

(x; y) = Tr xy

¤®ª

§ âì

¨¥

᢮©á⢠:

a)

¢áïª

ï

(n n)-

‚¥¨æà

(á ª®¬¯«¥ á-

¨

í«¥¬¥-

¬

)

á

᪠«ïà-ë¬ ¯à®¨§-

a 2 Mn

: Ax

= ax, x 2 Mn,

®¯¥àâ®à®¬B

ã¬-®¦¥-¨æãï -

íà

n

x 2

n, ï¥âáï

ã-¨â à-ë¬ ®¯¥à

.

A

n, § ¤ --ë© ã

-®¦¥-¨¥¬

-

á«-¥¨â¤ãîéà- î ¬ âà

u: Ax = ux,

‡

ç

19. (6 ¡ ««®¢.) ‚

®¬¯«¥ªá-

p

-á ¢¥ M

¥¢ª«¨¤®¢ ¬ ¯

(n n)-

âà¨æ (á ª®¬¯«¥ªá-묨

í«¥¬¥-

¬¨) á

áª

à®áâà«ë¬ ¯à®¨§-

¢¥¤¥-¨¥¬

(

; y) = Tr xy

§ ¤ -

A

-

-

ï -

¬ âà¨æã

®¯à殮--ãî

âà¨æã

b = a :

Bx = bx, x 2 M .

„®ª §

â쬨⮢®, çâ

á⢮ âਣ®-®¬¥âà¨ç¥áª¨å

¯®«¨-®¬®¢ á⥯¥--¨ n

(â. ¥., äã-ªæ¨©

.

n

B = A

20. (7 ¡ ««®¢.) •ãáâì E ¢¥é¥á⢥

®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà --

‡

ç

¢¨¤

f(t) = a

+ a

1

cos t + b

sin t + . . . + a

cos nt + b

n

sin nt

0

1

-8-

n

ᨬ¬•à®¢¥âà¨ç¨âì,¥-ç⮢ E®¯¥à¤®ªâ®à(f;§ gâì,) =

çA1â®=á¨áâdtf2(2t)¥g¬( ) dt:äã-ªæ¨©

-®¬®¢ á⥯®à¬¨¥- n, § ¤ --ëå -

®â१ª¥ [ 1; 1], ᮠ᪠«ïà-ë¬

1

; cos t; sin t; . . . ; cos nt; sin nt

p

§ã¥â ®àâ®-

2

â®à A.

஢ --ë© á®¡á⢥--ë© ¡ §¨á ¤«ï

®¡à¯®«¨§¢¥¤¥-¨¥¬

P; Q) =

Z1

P (t)Q(t) dt;

¯áâ¥à -á⢥ Ò

‡ ¤ ç 21. (7 ¡ ««®¢.) ‚ ¢¥é¥á⢥- ®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à

•à®¢¥àìâ¥, çâ® ®¯®¯¥àâ®à A ᨬ¬¥âà¨ç¥-.

n

(AP )(t) = (t

1)P (t) + 2tP (t):

áᬠâਢ ¥âáï

1

â®à A, § ¤ --ë© á®®â-®è¥-¨¥¬

‡

22.

(7 ¡

2

00

0

.) •ãáâì A á ¬ á®

殮 ë© -¥®âà¨æ ⥫ì-

-ë© ®¯¥à

-®¬ ¥¢

¤®¢®¬

¯à®áâà--á⢥ E. „®ª § âì,

⮫ìç⮠⮣¤ , ª®£¤¬¯«A ¥ªá®« ¦¨â¥«¥ .

¬®á®¯à殮

-ë¥ -¥®âà¨-

23.

(9 ¡««®¢.)

áâì A«¨ B á

¥¢ª«¨¤®¢®¬®¯¯à¥àáâà -á⢥ E

¨¬¥îâ

®¤¨- ª®¢ãî -®à¬ã: kxk = kyk.

çâ®

áãé¥áâ¢ã¥â â

©

¬ á® à殮--ë© -¥®âà¨æ ⥫ì ë© ®¯¥à â®à

B,

¢ë¯ «- -

B

2

= A. „®

§ âì, çâ® B ®«®¦¨â¥«¥- ⮣¤

¯à

®¯¥à â

B ®¡à ⨬.

„®ª § âì, ç⮠ᮡá⢥--ë¥ §- ç¥ ¨ï

‡ ¨ç¥¬24. (8 ¡ ««®¢.)

•ãáâ⥫ì - -ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë x ¨ y ¢ ª®¬¯«¥ªá-®¬

æ

-ë¥

â® ë

ª® ¯«¥ªá-®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ E,

®¯¥â५ì à

AB -¥®âà¨æ

-ë.

-9-

᢮©ª®¬¯ 25:

- (10 ¥¡¢ª«¨¤®¢®¬«®¢.)

¯а®бвабвм A -бв¢¥ E.

„®ª § --âìë©á«¥¤ãî騥

a)

A

= (A iI)

1

( + iI) ã-¨ à¥-;

db)c) ®¯¢ë¯¥à â®à- -B⮦¤iI ®¡à¥á⢮⨬;A = i(B I) 1(B + I).

à¨ç¥¬

â®à

â®àë

- ¬

¯à®áâà -á⢥

E,

A

¯®«®¦¨â¥«¥-. „®ª § âì, çâ®

ë¥

- ç¥-¨

®¯¥à â®à

AB

‡ ¤ ç

27.

(8 ¡

««®¢.)

•ãáâìAB

¬®á®¯

--ë© ®¯®¯¥àâ®à ¢

ª®¬¯«¥ª®¬¯«ªá-

¥ªá

¥¢ª«¨¤®¢®¬à®áâàᮡá⢥

E. „®ª § âì, çâ® á« ¤ãî騥

¢á¢®©¥é¥á⢥

íª¢¨¢ «¥-â-ë:

ᮡá⢥--ëå §- ç¥-¨©

®¯¥à ®à A,

a)

2 [ ;¥¢ª«¨¤®] ï ¢á¥å

b)

®¯¥à â®à A I

âà¨æ ⥫¥- ¯à¨

¬®á®¯àï¦> ¨ ¥«®¦¨â¥«¥-

6

(9 ¡

á ¬

.)

B

«¨§ã¥¬.

¦¥--ë¥ ®¯¥à -

¥©-®£®

-ë,

¯¥à

¤¨ £--®

‡

ç

29.

(8 ¡ ««®¢¢.)

„®ª § âì, çâ®

à §

-¨¨ A = BC

j

(8 ¡

.)

j

⥫ì-

28.

•ãáâì A ¨ B á ¬®á®¯à殮--ë¥ ¯®«®¦¨-

¯¥à â®àë ¢

®¬

¯à®áâà -á⢥ E,à¨

< .

®¯¥à â®à A ¨¬¥¥â

¥¢ª«¨¤®¢®¬-¥©- ¯à®áâà -á⢥ E. •ãáâì ¢ ¡ §¨á¥ e ; e ; e

¢ë¯®«ë-¥-

A = BC, £¤¥ C ã-¨â à-ë© ®¯¥à

â®à.

„®ª § âì, çâ®

C = I.

(¯®«ï -®¥ à §«®¦¥-¨¥),

â®à B

¤«ï

£

-ë© ®¯¥à

B á

®¯¬®á

â®à殮--ë© -¥®âà¨æ ⥫ì-ë©

¯

â®à ¨ C ã-¨

-®§- ç-

¯¥à

â®àã

A. • ©¤¨â¥ ¢ëà ¦¥-¨¦¥¤«ï

®¯¥à

B.

‡

ç

30.

¯à áâà

-á⢥ E ¤®ª § âì, çâ®®¯¥¥àà â®à A Aà-¥¤¥®â¥«ï¨æ¥âá -

(7 ¡ ««®¢.)

„ ï «¨-¥©-®£® ®¯¥à

â®à

A ¢ ª®¬¯«¥ªá-®¬

⥫¥-. •à

íâ®

A A ¯®«®¦¨â¥«¥- ⮣¤

¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

A

®¡à

⨠.

’¥¬

4. †®à¤ -®¢

-®à¬ «ì- ï

‡

ç

31. (9 ¡ ««®¢.) •ãáâì A «¨-¥©-ë© ®¯¥ä®à¬à â ¢ ª®¬¯«¥ªá-®¬