[ Суслина ] Аналитическая геометрия. Задачи к коллоквиуму в 1 семестре (усиленный поток)

“•ˆ‚…•‘ˆ’…’

"Ž••€‡Ž‚€•ˆ…"

ã-

á â¥â¥"

•à®¥ªâ "ˆ--®¢•¨«æ¨®--â-ë©ï ®¡à¯à®¥§®¢ªâ •22⥫ì-÷•ï §àá ¥¡®âª¤ ¢ ª«¨ ¢-¥¤à -¨¥

¨--®¢ 樮--®© ®¡à §®¢ ⥫ì-®© ¯à®£à ¬¬ë ÷•à¨ª« ¤-ëáá¨ç¥ ¥â᪮¬¥¬ â¨

¨¢¥à䨧¨ª öö

”¨§¨ç¥áª © ä ªã«ìâ¥â

Š ä¥¤à ¢ëá襩 ¬ ⥬

⨪¨ ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨

’. €. ‘ã᫨-

‘•¡¥ç ƒâ“.¥âáï ¯®

à è¥-¨î

¬¨áᨨ 䨧¨ç¥áª®£® ä ªã«ìâ¥â

•¥ª®¬¥-¤®¢ -® “ç¥-ë¬ á®¢¥¬â®¬¥â®¤¨ç䨧¥áª®©ª®£® ä ªã«ìâ¥â

‘•¡ƒ“.

€-

ï £¥®¬¥âà¨ï. ‡ ¤ ç¨

ª®««®ª¢¨ã

‚ ã祡- -¬¥â®¤

á® ¥à¦ âáï

â¥à¨ « ª ª®««®ª¢¨ã

¯® ªãàáã "‚ëá

•®á®¡¨«¨â¨ç¥ ¯à¥¤- §-¥áª®¬- ¤«ï áâã¤à¥è-¥â®¢ 1-£® ªãàá .

¬ã (ãᨫ¥--ë© ¯®â®ª). ‘•¡., 2007

¬ãᨫ --®¬ ¯ .

è ï «£¥¡à "

¯ à¢

¯®á®¡¨¨¥ ¥áâà¥

¤«ï áâ㤠-⮢, ®¡ãç îé¨åáï

- ª®««®ª¢

㬥,®á ®¡à §æ ¬¨

-¨© ¨ ª®¬¬â¨¯®¢ëå¥- à¨ï¬¨.

â®â ¬ â¥à

¯ ¢ïé¥- à §¤

"€- «¨â¨ç¥áª ï £¥®¬¥âà¨ï". •à¨¢¥¤ - á ®ª ⥮-

à¥â¨ç¥áª¨å

¢®¯à

®¢

ª®««®ª¢¨¥«ã¬ã - ¡®à

§ ¤ ç, ¯à¥¤« £

¥¬ëå ¯¨áâ㤮⮪¥- ¥¬

Œ

«, ª®â®àë© ¢ë-

¨âáï -

ª®««®ª¢¨ã¬ ¯

ªãàáã "‚ëá

§¯à£è¥®¬¤¬¬¥ï¤«¥ç¥âà-â¨ï"¥¥¡àà¨ï¬¨¬ëå. "•àáâã¤-¯.¥¤«¥ï‡à¢®¬. ¥¤£-‡¥ç¨¬®á¤¥¬¥-¥¯®ááâਬ®¥««®ª¢¨ã¬¡¨¥,îâ-¯®á¥ëᮤ¯®ï駥-নâ¥ë©-, ¬,ã஢§¤®¡à-¯à¨¥¡®à«ã¥§æ-ìí⮬"€¬¨á«®¦-¯®¢ëåà¥ã¬-襧à-¨©¤.æ¨ç,‚¨ï

᪮¡ª å

᪢®§-

á«®¦-®áâì §¤¥«¥ç¨ ¯® ¤¥áï⨡ «ì-®© èª «¨â¨ç«¥. ‚¥-᪠-

«¥ ¯à¨ ¥¤¥- ᯨ᮪

⥮à¥ç¨â ç¥áª¨å ¢®¯à®á®¢,

®в®ал¥ ¢л-®бпвбп

-

ª®««®ª¢¨ã¬.

áë

ª®««®ª¢¨ã¬ã

Žà¨¥-

æ¨ï

4

àאַ㣠«ì-륂®¯à®¤ ª ⮢ë

á¨á⯥à¬ë

ª®®à¤¨- .

5

¯ª «ïà

®á⢠.¥ªâ®à¤¥-¨¢¥¥ªâ®à

¢.

樨 -

¢¥ªâ®à ¬¨.

1

ï⨥

ᥢ¤

¨ «¨-¥©-ë¥

-

7

à®áâà-ï⨥

ªâ .

¯

¢¥ªâ®à®¢.

9

„¢®©-®¥

¢¥ªâ®à-®¥

¯à®¨§¢¥¤âì¥-¥£®.

- - ¥, ãà

- -

¯àאַ© ¢

0

¯à¥¤¥«¨â¥«¨

ᨬ®áâì

‚¥ªâ®à

2

‹¨-¥©

ï §

¢. • §¨á. Š®

¤¨- âë.

8

‘¬¥è

--

ந§¢¢¥¤¥-à¥

ªâ®à®¢.

-

®áì.

3

Š ¬¯

-

-

® ®á¨. •à® ªæ¨ï ¢¥ªâ®à

15. •àï¬

à®áâà -á⢥: ®¡é¨¥, ª -®-¨ç¥áª¨¬¥âà¨ç¯

¥áª¨¬¥¥âà¨ç¥-

6

Ž

àï¬

-

¢â®à®£®

âà

¯®à浪®¢.

ãà ¢

2

®¡é-

¥-¥¨ç¥áª®¥

¨ ¯

3

áâì ¢

à®áâà -á⢥:

®¡é¥¥

ãàந§¢-¥¤¥ «®áª®áâ , -®à

ª å -

®áïå, ãà ¢- -¨¥

㣫®¢ë¬ ª®íää¨æ

-⮬.

¬ «ì-®

ã

¯«®áª®áâ¨:¢-¥- ¥.

-3-

1

®âà᪨¥§ã¯àﬢ-¥-¨ï ¯àאַ©.

-

- -¨¥,

â®ï-¨¥ ®â

«ì-

4

â®çª¨ ¤® ¯àï¬ ©. ‚§ ¨¬-®®à¬¥ ᯮ«

¦¥-¨¥ ¤¢ãå

¯àï¬ëå.

¤¢ãå

-¨¥

®â

â®çª¨ ¤®

¯«®áª®áâ¨. ‚§ ¨¬-®¥

¯®«®¦¥-

¯«®áª®á⥩.

©.

- -¨ï

87 ƒŽª¨¯¥ã¦à -®áâì.

¨ í««¨¯á.

å-

.-¨ï¤¨¢â®à- ®©-âàá⯫®áª®á⨥¥å¬¯¥¥-à--®¬¯à®áâà. «®áª®áâ¨--.

212109. á⢕à८¡à. Žà⮡®«§. ¢£®-¨«ì¥ ®¡é-륥£¬â®¢® ã

1.

(5 ¡

’¥¬

1.

âà¨æë‚ ª®®à- ï

«£¥¡

.

‡-

¢¥ªâ®

ë, á«ã¦ 騥 áâ®à®- ¬¨ âà¥-

¡¨áᥪâà¨á ¬ 㣫

í⮣®

-«®ª¢¨ã¬ã.

‡ ¤ ç

2.

(7

¡

.

‚âà- ¥ã£®«ìâ¥âà

í¤à

ABCD ¢§ïâ â®çª O.

‡ ¤ ç

5.

(4 ¡

«««®¢). —¥•à®¬ã

¥ªæ¨ï¢- á㬬

㣮«ì- ª

‡¤¥ª

ç¨

«

AB = ~c, BC = ~a, CA = b, - ©â¨ ¢¥ªâ®àë, ª®««¨-¥ à-ë¥

1.1. ‹¨-¥©-ë¥ ®¯¥à æ - ¤

¬

„®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«®¢)¨

~

~

~

~

~

~

~

~

~

â® ç¨á«

OA + OB + OC + OD = 0;

; ; ; ®¤-®£® §

.

-

®áì

Œ®¦-

Ǭ -

1.2.

¨, çâ® á㬬

¢á¥å ¥¥ ॡà å â ¢¥ªâ®àááâ ¢¨âì

3.

(7 ¡ ««®¢). ‚ ®á-®¢ -¨¨ ¯¨à ¬¨¤ë «¥¦¨â ᥬ¨ã£®«ì-¨ª.

®â«®¦¥-ë ¢¥ªâ®àë, ¯® ¤«¨-

®¨§¢-ë¥

¯«®é ¤ï¬áâ८«ª

¯®«ã --ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¡ã¤¥â

¢-

-ã«î?

1.3. ‘ª «ïà-

¯

¤¥-¨¥

¢¥ªâ®à- -®â¢«î.¥âáâ¢ãîé¨å

£à -¥©. „®ª ¦¨â¥, çâ® á㬬

íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢

¥á«¨ ~a;

4.

(8 ¡

.

¢-¥è- å -®à¬ «ïå

£à -ï¬ â¥âà í¤à

b;

~c âਠ¥¤¨-¨ç-ëå ¢¥ªâ®à ,

㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î

~

~

~

~

~a b + b ~c + ~c ~a;

-4-

j~a + b + ~cj = 2 ?

(1x.25;.y2); A3

=-(®x¥3

;¯à®¨§¢y3 «¥¦¥¤â¥--x¨321

®¤¢y¥-321ªâ®à®¢®©1 ¯àאַ©,= .0:‘¬¥¥è᫨--¨®¥â®«ìª ¥á«¨¤¥-¨¥

¬®¦-‚¥«¨ªâ®à¯

âì ~x â ª, ç⮡ë ~a = b ~x?

‚ᥣ¤

«¨¯à®¨§¤ ç ¨¬¥

‡ ¤ ç

8.

(9®¤®¡à««®¢).

„ -ëé-¥áâ¢ã-ã«¥¢ ¥ ¢¥ªâ®àë ~a;

b;

~c.

„®ª § âì

7

.

~

§ ¤ --ë¥ - -ã«¥¢ë¥ ¢¥

1)2

…᫨ ~a ¨ b

¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ~a;

b;

~c ®â«®¦¨âì ®â ®¤-®© â®çª¨, â® ª®-æë ¢

ªâ®àë,¢

¥?

…᫨ à¥è¥-¨ï áã

~

îâ, â® ®¯¨è¨â¥ ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å

à¥è¥-¨©.

~

çâ® á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥-â-ë:

~

~

~

~a b + b ~c + c ~a = 0

9.

(9 ¡

~

. „ - ¯ à

¥¤ ABCDA B C D .

„®

¦ -

¤ ®©

¬®©.

¥£® ¯®¯ à-® -¥¯

«-

§ âì,

çâ®

á㬬

ª

¤à ⮢ ¯«®é ¤¥©

«¥«ì-ëå £à

-¥© ¯àï-

á㬬¥ ª¢ ¤à««¥â®¢«¥¯¨¯«®é ¤¥© £à -¥© â¥âà

í¤à

¢¥ªâ®à

. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à

~x á¯à

¢¥¤«¨¢®

⮦¤¥á⢮

‡ ¤ ç

10.

(8 ¡ ««®¢). •ãáâì ~a;

b; ~c âà¥¨å «¨-¥©-

1

-¥§ ¢¨á¨¬ëå

A1BC1D.

x

~

~

~

~

x

1

1

1

~x =

b) ~c

~a +

x

~

(~a b)

~c

(1)

(~a

(~a b) ~c

~c

b +

~

¢«ïî饥 ᮡ®© à

«®¦¥-¨¥ ¢¥ªâ®à

~x ¯® ¡ § áã ~a

‡

ç

b, ~c).

11. (8 ¡

. •ãá

~a; b; ~c; d

¥¤¨-¨ç ë¥

àë,

¨

(¯à¨§ ¥æ¤áâ-âà

¯à ¢¨ ì-

â¥âà í¤à

¯

- ¯à ¢«¥-¨î¢¥ªâ¥£®

¢¥àèãé¨- ¬.¥

„®ª ¦¨â¥, çâ®

¤«ï

¯à®£®¨§¢®«ì-®£®

¢¥ªâ®à

~x á¯à ¢¥¤«¨¢®

⮦¤¥á⢮

~

~

3

:

(2)

(~a ~x®¢)~a + (b x~)b + (-~c5-~x)~c + (d ~x)d =

~

~

~

~

4~x

§ âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à

~x á¯

¢¥¤«¨¢

ä®à¬ã«

~x = ~a ~x

~ +

~a (~x ~a)

â®(¯àã ~a

2

2

~x -

ª®¬¯®-

âã ¯® ¢¥ª-

¢«ïîé®à⮣®ï- ᮡ®©«ì- îà ᮧ«®¦j~aj ¢«пойго)¥ ¢¥ªв®аj~a.j

‡ ¤ ç

13. (10 ¡ ««®¢). •ãáâì ~a;

b;

~c ¤ --ë¥ - -

«¥¢ë¥

ª

ã¤

¢«¥â¢®àïî騩

¤¢ã¬ ãà ¢-¥-¨ï¬: ~x ~a =

¨ ~x b = ~c ?

‚ᥣ¤

¬-®¦¥á⢮

¢á®¥å

à¥è¥-¨©.

~

®¤- ¢à¥¬â®àë¥--

Ǭ

¤ --

ç¨á«®.

Œ®¦ ® «¨ - ©â¨ ¢¥ªâ®à ~x,

§ ¤ ç ¨¬ ¥â

-¨¥? …᫨

à¥è¥-¨ï

áãé¥áâ¢ãîâ,

â® ®¯¨è¨â¥

մ 2.

-

ª®áâì

~

®â ¯àאַ©

x

+ y

2.1. •àï¬

¯«®áª®áâ¨

= 1 -

à ááâ•àï¬-¨¥ a.

ãà ¢-¥-¨¥ ¯ãçª

¯àï¬ëå,

¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M ¨¬¥¥â ¢¨¤

‡ ¤ ç

4.

(5 ¡

««®¢).

.

®á¨

¡áæ¨áá - ©â¨ â®çªã, ª

ï ®âá⮨â

15.

(8 ¡

•ãáâì M

®çª ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï

å -

à «-

«¥«ì ëå ¯àï¬ëå L ¨ L -

¯«®áª®áâ

. •àï¬ë¥ § ¤ -ë®â®à¤¢ã

¢-¥¯- ﬨ

a

b

1

2

0

L

: A x + B

=

0

L

: A

x + B

y + C

= 0.

„®ª §

ì, çâ®

1

y + C

1

2

2

1

1

2

2

=6 0:

(3)

(A

x + B

y + C

) + (A

x + B

y + C

) = 0; 2 +0 2

1

1

1

2

2

2

ˆ- ç¥ £®¢®àï, â

2

¡ã¥âáï ¤®ª § âì:

1) ¤«ï «î¡®© ¯ àë ç¨á¥« ,

â ª¨å çâ®

2

+

=6 0,

¢-¥-¨¥ (3) § ¤ ¥â -¥ª â®àãî ¯

¬ãî

®å ¤ïéã

ç¥à¥§

â®çª

M ; 2) ¤«ï «î¡®© ¯àï

¯à®å®¤ï饩

ç¥à¥§ â®çªã M , -

©¤гвбпзв®

ç¨á«

; (å®âï ¡ë ®¤-¬®©¨§

ëå -

¯à

-

-ã«î)

ª¨¥,

¢ ¥-¨¥ í⮩ ¯àאַ©

¢¨¤ (3).

®âᥪ ¥¬ë¥ ¥î -

®áïå

- â, á®åà -ïîâ ¯ áâ ï--®¥

- è¥-ª¨,

a : b = q. •

©â¨

âà ¥ªâ®ª®®à¤¨â®çª¨, ¤¥«ï饩 ¢

®â- è¥-¨¨ ®â१®ª

‡

ç

16. (6 ¡ «« ¢).

• ï¬

ï «¨-¨ï ¯¥à¥¬¥é ¥ ¨¬á便âª,

ç

¯®¤¢¨¦-®© ¯àאַ©, §

ª«îç¥--®© ¬¥¦¤ã ®áﬨ ª®®à¤¨- ª®â®.

0

0

-6-

L3íää¨æ: A3x¤®áâ+¨¥B-3⮢yâ®ç+ Cãà-3®,=ç⮡ë-0¥¯à®å®¤¨«¨-¨©®¯à᢮¡®¤¥¤¥«¨âç¥à-¥ëå«ì§ ®¤ç«¬-¥ãâà¨æ-®¢,âãë,®¡à¦á®á⥠â®çªã,é «á¥--¢¥®©-¡å®®«ì,§-

⤨¬®¥áâì,

21

21

21

= 0:

A3

B3

C3

¯® ¯à ¢¨«ì-®¬ã è¥áâ¨ã£à®¢¥-ਨªã.

L § ¤ -

®¡é¨¬¨

㤨ªã«ïà¢-¥-

‡ ¤¨ ç .

(9ªã¡««®¢).

•ãáâ«ì

¯àï¬

A x + B y

C z

D

= 0; A x + B y + C z + D

= 0.

(•«®áª®áâﬨ

ª

8.

(6

.

2.2. •«®áª®á

-

1

19

1

1

1

2

2

2

¯¥

2

2

£®- «¨

¯à®å ¤ïé

ç¥à¥§ ¥¥ á¥à¥¤¨-ã,

¥â ªã¡

¯«®áª®á⥩, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ¯àï¬ãî

L

âì,¨¬¥¥â ¢¨¤

1

2

2

0

2

2

Í : A x + B y

+ C z D = 0 ¨ Í :

A x + B y + C z + D =

0

áç¨â îâáï -¥¯

««¥«ì-묨.)

„®ª §

çâ® ãà ¢à-¥á-¥¨ª¥ ¯ãçª

(A

x+ B

y + C

z + D

) + (A

x+ B

y + C

z0+ D

2

) = 0;

2

+ 2

=6 0: (4)

1

1

1

1

2

2

1)

2

ˆ- ç¥ £®¢®àï, âॡã¥âáï ¤®ª § âì:

«î¡®© ¯ àë ç¨á¥« ,

ª¨å çâ®

2

+

2

=6 0,

(4)

§¤«ï¥â -¥ª®â àãî ¯« ᪮áâì,

ç¨á«

; (å®âï ¡ë ®¤-

§ ª®â®àëå®å®¤ïé¥-©

ç¥à¢-¥§

¯àï¬ãî L , -

-г«о) ª¨¥, зв®©¤гвбпа ¢-¥-¨¥

í⮩

¯«®áª®á⨫®áª®á⨬¥¥â ¢¨¤ (4).

ª®á⥩

Í : A x + B y + C z + D = 0, Í : A x + B y + C z + D = 0,

¯à®å ¤ïéã

ç¥à¥§ ¯àï¬ãî L

; 2) ¤«ï «î¡®©

, ¯à

íâ¨å âà¥å

0

0

«®áª®á⥩ ¥¤¨-á⢥-- .) „®ª § âì,¯¥àç⮥á¥ãç¥ ¢-¥-¨¥ á¢ï§ª¨

‡ ¤ ç

20.

(9 ¡ ««®¢). •ãáâì M

0

â®çª

-¨ï âà¥å ¯«®á-

Í

1

1

1

1

= 0.

1

2

2

2

2

2

: A x + B y + C z + D

çâ® â®çª

¯¥à¥á¥ç¥-¨ï

¯«®áª®á⥩,

¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ â®çªã M¥âáï,¨¬¥¥â ¢¨¤

3

3

(A x + B y

C z

D )

(‘ç¨âA x0+ B y

C z + D )+

1

3

1

3

1

3

1

2

2

2

+ 2

2

(5)

(A

+B

+ C

+ D

+

x

3

y

z

) = 0;

2

2

=6 0:

3

3

§ âì:

3

1) ¤«ï «î¡®© âனª¨ ç¨á¥« ,

ˆ- ç¥ £®¢®àï, âॡã¥âáï ¤®ª

, , â ª¨å çâ®

2

+

2

+

2

=6 0, ãà ¢-¥-¨¥ (5) § ¤ ¥â -¥ª®â®àãî

-7-

ª®â®àëå -¥ à ¢-

-ã«î)

ª¨¥, çâ® ãà ¢- ¨¥ í⮩

«®áª®á⨠¨¬¥¥â

¢¨¤ (5).

21.

(5 ¡

«®¢)2.3..

•àffl -ë ïâ®çª¨¢

¥à¥-á¥ç¥-¨ï ¯àï¬ ©

¤¢ã¬ï

न- -묨 ¯«®áª®áâﬨ: (x

; y

1

; 0)

(x

; 0; z

). ‚ëç¨á«¨âì ª®®à

¤¨- âë â®çª¨î.

¯

-

1

2

2

®à¤¨-

-®©

«®¢).

нв®© ¦¥¯а®бвааאַ© бв¢¥

é¨åáï

.

(8 ¡

L , L , L

âàâ௮¯¥â쥩-ª®

î

«¥¦

é¨å ¢ ®¤-®©

«®áª®áâ¨

Í. •àï

ï L ®¡à §ã¥â

¯«®бª®бвмап¬л¬¨п¬ле,L L¥а,¥Lб¥з¥

-ë¥ ã£«ë. „®ª § âì, çâ® ¯àï¬

L ®à⮣®-

•ãáâì

~s

-

¢«ïî騩

1

¯àאַ© L ,

~s

- ¯

â®çª ,

ªâ®à

23.

¬®© L .

•ã•ãáâì~r = M M , £¤¥ M

-¥ª®â®à

‡ ¤ ç

(6 ¡ «« ¢).

L

¨ L

áªà¥é¨¢ î騥¯áï¥à¥á¥ª .

«¥¦ é¯àï-

1

¯àאַ© L ,

¨ M

1

2

3

àï¬ë-¥

- ª®â®à ï â®çª , «¥¦

- «ì-

2

3

«®áª®á⨠Í.

¯àאַ©

1

L .

„ ª § âì, çâ® ¢¥ªâ®àááâ®ï-¨¥ d ¬¥¦¤ã ¯àï¬ë¬¨¢«ïî騩L L

2

~

2

1

1

2

1

2

1

2