[ Суслина ] Высшая алгебра. Задачи к экзамену в 1 семестре (усиленный поток)

“•ˆ‚…•‘ˆ’…’

"Ž••€‡Ž‚€•ˆ…"

ã-

á â¥â¥"

•à®¥ªâ "ˆ--®¢•¨«æ¨®--â-ë©ï ®¡à¯à®¥§®¢ªâ •22⥫ì-÷•ï §àá ¥¡®âª¤ ¢ ª«¨ ¢-¥¤à -¨¥

¨--®¢ 樮--®© ®¡à §®¢ ⥫ì-®© ¯à®£à ¬¬ë ÷•à¨ª« ¤-ëáá¨ç¥ ¥â᪮¬¥¬ â¨

¨¢¥à䨧¨ª öö

Š ä¥¤à ¢ëá襩 ¬ ⥬

⨪¨ ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨

”¨§¨ç¥áª © ä ªã«ìâ¥â

’. €. ‘ã᫨-

‘•¡¥ç ƒâ“.¥âáï

¯®

à è¥-¨î

¬¨áᨨ

䨧¨ç¥áª®£® ä ªã«ìâ¥â

•¥ª®¬¥-¤®¢ -® “ç¥-ë¬ á®¢¥¬â®¬¥â®¤¨ç䨧¥áª®©ª®£® ä ªã«ìâ¥â ‘•¡ƒ“.

ï

«£¥¡à .

‡

ç¨

¬¥ ã ¢ ¯¥à¢®¬

ᥬ¥áâà¥

«¥--ë©

¯®â®ª). ‘•¡., 2007

‚ëáèç - -¬¥â ¤¨ç¥á

¯®á ¡¨¨

¬ â¥à¨íª§« íª§ ¬¥-ã ¯® ªã áã "‚ëáè ï

•®á®¡¨¥ ¯à¥¤-íª§- 窮¬¥- ¤«ï áâã¤á®¤-⮢¥à¦¨âáï1-£® ªãàá .

®¢ëå § ¤ ç, ¯à¥¤« £ ¥¬ëå

¤¥- ᯨ᮪ ⥮à¥â¨(ãᨪ¨å ¢ ¯à® ®¢ ª íª§ ¬¥- ¨ - ¡®à

áâ㤥-â ¬ -

¬¥-¥, á ®¡à §æ ¬¨ à¥è¥-¨© ¨ ª®¬¬¥-⨯à¨ï¬¨.

«£¥¡à " ¢ ¯¥à¢®¬

¥¬

âॠ¤«ï

âã

-⮢, ®¡ ç îé¨åáï ¢ ãᨫ¥--®¬ ¯®â®ª¥. •à¨¢¥-

•«£§¥Œ¡à

(ãᨫ¥--ë© ¯®â®ª)

â""¥€",à¨-¨§«®¦¯"‘¥«,ࢮ¬¨â¨çª®â®àë©¥¬ë-¥¨î᪫¨ïã-£¢ë¥¥§©®¬--®á¨âáï¥åâëå«ï",£¥§¤¡à- ¥ª¦«®¢¨çíª§¥¥¤áª¨å¯®á¢ï鬥¢å«ë¥-¤ï騩"Œ¥-ªãàáãâà¨æë-ë¥-¯®á¢¨©¯à®"¡¨ï.,‚ëáè£"Ž’à¥[1,2]®¬¬ãà¥ï.

ªãàá

¢

ᥬ¥áâॢ,ë ®á¨âáï

-

ª®««

.

(‚

¨

â¨ç¤§¥«¨â¥ç¨áª®¬¥«¨

¬®¦-

-

©â¨

¯®á®¡¨¨ [3]).

•à¥¤« £

®¥ ¯®á®¡¨¥

¬¥-¥,

- ¡®à ⨯®¢ëå § ¤ ç, ¯à®áë

£ ¥¬ëå

áâ㪮««®ª¢¨ã¬ã- íª§

§æ ¬¨ à¥è¥-¨© ¨

¬¬ -â

à¨ï¬¨.

‡

¤ ç¨

-ë ¯® ⥬ ¬.

•à¨ í⮬ª¢¨ã¬¬¥à æ¨ï §¤« ç

ï. ‡

ç¨ ¨¬¥îâ

§-ë©

ã஢¥-ì á«®¦-®áâ¨. ‚ ᪮¡ª å

ãª

᪢®§á« ¦-®áâ짤¥«¥ç¨ ¯®á®¤¥à¦¨âáï®¡à «ì-®© èª «¥.

ª®â®àë¥ ¢ë-

‚-

篫¥à¢®¬¥ ਢ¥¤¥- ᯠ᮪

®à¥â¨ç¥áª¨å ¢®¯

•¨¦¥ ç¥à § M

®¡®§- ç ¥âáï

ª« áá ª¢ ¤à

-ëå (n n)-¬ âà¨æ.

‘¨¬¢®« I

®§- ç

â

¥¤¨-¨ç- î ¬

ª« áá

M .

ˆá¯®«ì§ã¥¬

A

®¡®§- 稬 âà

ᯮ-¨à®¢ --ãî âà¨æ㬠æã ¤«ïà®á®¢,A

çâ®à¥ ¥§

-®бпвбп

-

íª§ ¬¥-.

M

n

Bg = AB + BA ¤«ï -⨪®¬¬ãâ

. —¥à¥§

®¡®§- ç¥-¨¥ f

n

íନ⮢® ᮯà殮--ãî ¬ âà¨æã. ˆá¯®«ì§ã¥¬ ®¡®§- ç¥-¨ï det A ¤«ï

¡®§- ç¥-¨¥ [A; B] := AB BA ¤«ï

ª®¬¬ãâà¨æë A.

¬ âà¨æ A; B 2

®¯à¥¤¥«¨â¥«ï

rankA; = r

¤«ï à -£

t

n

6. Œ¨-®à뤥«¨â¥«¨:«£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤®¯®«-¥-¨ï. • §«®¦¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«¨-

A

1

Œ âà æë

‚®¯à®áë ª íª§ ¬¥-ã

ᯮ-¨

¤¥©á⢨ï - ¤ -¨¬¨: «¨-¥©-ë¥ ¤¥©á⢨ï, âà

2

®¢ - ¥, ᮯ

¬

-¨¥,

¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æ.

Š¢ ¤à

-

.

’à¥ã£ «ì-ë¥ ¬ âà¨æë; ¤¨ £®- «ì-ë¥ ¬

âà¨æë. ‘«¥¤

£® ᢮©á⢠.

3

-ë¥ ®â®¡à

¦à殮-âà¨æë¥.

®à¤¨-

-ë¥ ¯à®áâà -á⢠. ‹¨-¥©

¤-®

á

®«¡æ®¢ë¥

¬ âà¨æë. Š

4

•¥

-®¢ª¨ ¨

®¤áâ -®¢ª¨.

¨ ᢮©á⢠.

5

Ž¯à¥

®¯à¥¤¥«¥-¨¥

â¥«ï ¯® áâப¥ (á⮫¡æã).

-3-

9

‹¨ ¥©-ë¥ ¨á⥬ë

- ®á®¡®© ª¢ ¤à

-®© ¬ âà¨æ¥© ª®íää¨æ¨

3210

”ã-⮢-ªæ¨¨ªâ. ƒ

Ší«¨ª¢.«ë¤à. Šàâ-¬ëå¥-®£¬.®ç«¥- .

ᯥªâà ª¢ ¤à

-®©

âà¨æë.

4

• ¦¤¡¨¥á⢮”®à¬ãâà¨æ.

ááë

- «¨§

¬ âà¨æë.

-ë¥, ª®á®-

5

‘¯¥æ¨ «ì-ë¥ ª«

¤à

ã-¥ëå¬ë¥

âà¨æ:

6

ᨬ¬¥â

à¨áâ¨ç-

¥íà¬áª¨©„¨â®ª¢ë ¬âà¨æë.

âà¨æ.

Œ¥â®¤£®-

-ë¥,

-¨â

à-ë¥

âà¨æë. ƒà㯯ë

ªâãà

1

à¨â¥à

-ë¥á¨á⥬

-¨ï

âà¨

«ì-®£® à¥è¥-¨ï.

•¥®¤-

-£®

-¥©-

«£¥¡à ¡àᨬ¬¥âà¨çå

ãà ¢-¥

7

’à

®¯à¥¤¥«¥-¨ï

¯àאַ㣮«ì-®© ¬

æë.

ã ’¢¥-®à¥¬¨©.

®

8

à -£¥

(ä®à¬ã«¨à®¢ª

) ¨ ¥¥

.

„®ª § ⥫ì

á¨á⥬

® à -£¥.

19

¡é¨

᢮©áâ¢

á«¥¤¤á⢨數á⢨ï - ¤ -¨¬¨

®¡é £®

’¥¬ 1. Œ

¥èáãé¥- ¥á⢮¢. ” -¤ ¬¥-

«ì

à¥è¥- ©.

¥è¥ª¥-à¨ï.

0

Š

¯

. “á«®¢¨ï⥮६ë§

¨

. ‘âàãªâãà

®¡é¥£®

Ž

-®à -ë¥

«¨ ©-ëå

¨ç¥áª¨åå

ãà ¢- -¨©.

- ©.

®à®¤Š

áãé¥á⢮¢

-

à¥è¥-¨ï (⥮६

Šà®

22.

âà¨æ¥««¨)©. ¨â€«ì¥à¨©- ⨢

à”¥è¥¤£®«ì¬ .

‘¨áâ ¬ë

«¨-¥©-ëå

«£¥¡à «¨ç¥

â¨ëåá¨áâãà ¢ ¥¬-¨©¨ç¥ª¢áª¤à‘âàã-®© ¬ -

1.

(6 ¡ «

‡

ç¨ ª

íª§ ¬¥-ã

¢ ¤à â

. •

©¤¨â¥

¢á¥ ¬

¢â®à®£® ¯ à浪 ,

ª®â®àëå

¢¥- -

âà¨æëæ¥.

2

6

. • ©¤¨â¥ ¢á¥ ¬ âà¨æë ¢â®à®£® ¯®à浪 , ª¢ -

¤à âë ª®â®àëå àã«¥-¢®©ë ¥¤¨-¨ç-®© ¬

âà¨æë¨æ¥.

‡ ¤ ç

3. (7 ¡

««®¢). „®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å ¬ âà¨æ

A; B 2 M

n

á¯à ¢¥¤«¨¢

ä®à¬ã«

"¡¨-®¬

•ìîâ®- "

m

m!

(A + B)m =

AjBm j; £¤¥ Cj

=

; m 2 N:

XCj

j=0

m

-4-

m

j!(m j)!

¤¨¬ç⮡ëâà¨æ£®- ¬«ì5¬¨,âà¨æ- .¥®¡å®¤¨A 2 Mn

ª®¬¬ã¤®áâ â®ç¨à®¢-®, ç⮡ëá®

âà¨æ¤¨¨A£¥®:á-

ïì-¡ë«â®¬¨£®,

M

n

6 (7

. 㨻

á«¥¤ãî饥 ã⢠ত¥ ¨¥: ¥á«¨ A 2

¤¨ £®- «ì- ï ¬ âà¨æ¦¨â¥ ¢á¥

-âë¢á¥¬¨£« ¢-®© ¤¨ £®- «¨

à

-ë

á ¡®©, â® «î¡ ï ¬

¨æ

B 2 M

n

, ª®¬¬ã

îé ï

7

㨻

çâ®í«¥¬âà¨æ¥

A 2 Mn

,

ª®¬¬â¨àãâ¨àã-

îé ï á «î¡®©¬¥¦¤ã

âà¨æ¥© B 2¦¨âMn¥,

ªàâà-

¥¤¨-¨ç-®©.

‡

§«¨ç¤

8.

¡

««®¢).

• áᬠâਢ îâáï ¬ âà¨æë •

á A, ⮦¥ ¤¨ £®- «ì- .

2

3

(10

0

1

;

=

0

i

;

=

1

0㫨:

=

1

0

i

0

0

1

; g

2

) •à®¢¥àìâ¥, çâ® f

I.

¡) „®ª ¦¨â¥, çâ® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â

¬ âà¨æë 2 M

2

j

l

2

jl

á® á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨:

= ;

= I; f ;

g = 0; j = 1; 2; 3:

’¥¬

j

9.

(5

¡

2. Ž¯à¥¤¥«¨â¥«¨

n,

.

.

Š ª

¬¥-¨âáï

।¥«¨â¥«ì ¯

‡ ¤ ç

0

(6 ¡

Š ª

¨§¬¥-¨âáï

¥¤¥«¨â¥«ì, ¥á«¨

¦¤ë©

11.

(9 ¡

««®¢).

‚ëç¨á«¨â¥

®¯à¥¤¥«¨â¥«ì

‚ -¤¥à¬®®à浪-

¥á«¨ ¯¥à¢ë© á ® ¡¥æ ¯¥à¥áâ ¢ âì -

¯®á«

-¥¥ ¬¥áâ®,

®áâ «ì- ¥

á⮫¡æëí«¥¬¥- a

¬

âà¨æë ã¬-®¦¨âì -

i k

(£¤¥

> 0)?

¯¥à¥¤¢¨-ãâì ¢«¥¢®, á®åà -ïï ¨å

ᯮ«®¦¥-¨¥?

ik

12

1

. .

21

x1

x2

-5.-. . xn+1

. .

.

n

n

¢ ¤ ¢¡)-®©iª¯-¥ãîià-¬¥áâ©áâபãà¨æ¢¨âì¥ Ai:-¯à¦¨âìj¢¨âì-î áâப¨?- j-ç¨á«®ãî,

c-=6®¦0?¥--ãî

c?

‡ ¤ ç

13. (8 ¡

. •ãáâì A 2 M

n

®¡à

ï ¬ âà¨æç¨á«® 楫®ç¨-

¬á«¥âà¨æ--묨â®í«£¤¥áâப¬¥¨-

¥¬¨«ìª®. „®ªâ®£¤¦¨âª®¥,£ç⮤ ã¬Aâà¨æ1 ⨬Aª¦ã-¥¨¬®¤ã«ïà楫®ç¨á«-¥--(â®ï

‡ ¤ ç

14. (8 ¡

««®¢). „ -

¬ âà¨æ

¥áâì det A = 1).

”ã-ªæ¨¨ ®â ¬ âà¨æ. ’®¦¤¥á⢮ Ší«¨

’¥¬

4.

A

A =

1

1

:

• ©â¨ e

.

0

¬ âà¨æ

‡ ¤ ç

15. (8 ¡ ««®¢). „ -

A =

1

1

:

• ©â¨ sin A.

0

(n n)-¬ âà¨æ

‡ ¤ ç

16. (9 ¡ ««®¢). „ -

1

0

0

(1)

A

A = B

0

0

. . .

C:

@

0

0

A

• ©â¨ e .

. . . . . . . . .

. . . . . .

¬ âà¨æ

‡ ¤ ç

17. (9 ¡ ««®¢). „ -

4

:

A =

3

5

2

-6-

â

¥

ç-201918ëå¥...áâì(5¬(5(5¡âà¨æ¢¡¥««®¢)¡é««®¢)¥áâ¢A. .¥•®ª-ª®¬¬ã.B в®„®ª§£з¨б«®§¤ м,¨аговм¦¨.祫쪮,¯à. ç⮯ந§â®§¢®¯à£¥¤¢¤¥¥¥¤-¤¡ã¤¥¨¥-«¨¥¨¥¤¢ãå¥â¥«ì ª®á®áåíନ⮢®á®á¨¬¬¬¥

¨ç

ëå

ª®£¤

A ¨ B

⮣¤

«ìª®

⮣¤

¡ã¤¥â ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç-®©

¬

ç

.

-⨪®¬¬ã

¨àãîâ.

- «ì-®á⨠ª¢ -

‡

(7 ¡ ««®¢).

„®ª § âì,

çâ®

¤«ï

¤à -

ë A -¥®¡å®¤¨¬®

¨

¤®áâ

â®ç-®, ç⮡ë det A = 1

ª

¦¤ë®© í«¥âà¨æ¬¥-

a ¡ë« à ¢¥- ᢮¥¬ã «£¥¡à

ç¥áª®¬ã ¤®¯®«-¥-

A

âà¨æ¢§ï⮬㥩,

á® §- ª®¬ " + ", ¥á«¨ det A = 1,

®à⮧£-®

®¬ " ", ¥á«¨î

det A = 21.

• -£ ¬ âà¨æë. ‹¨-¥©

ï § ¢¨á¨¬®áâì ¢¥ªâ®à®¢ ¢ R

n

մ 6.

‡ ¤ ç

ij

22. (7 ¡ ««®¢). —¥¬ã à ¢¥- à -£ ¬ âà¨æë

ij

0

1

1

A =

@

2

1

2 A

(2)

6

5

¯à¨ à §«¨ç-ëå §- ç¥-¨ïå

1

10

1

2 C?

‡ ¤ ç

23. (7 ¡ ««®¢). —¥¬ã à ¢¥- à -£ ¬ âà¨æë

0

7

12

6

1

A =

@

0

A

19

10

¯à¨

§«¨ç-

12

24

13

å §- ç¥-¨ïå 2 C?

‡

¤

. (6 ¡

. „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ âਠ-¥-ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à

a ; a ; a 24Rn «¨-««®¢)¥©- §

¨

¢¨¥ªâ®àa

a

-¥ ¢ëà ¦ ¥âáï «¨-¥©-

ç¥à¥§

¢¥ªâ®àë a ; a , â® ¢¢¨á¨¬ë¥ªâ®à

a

§«¨ç îâáï «¨èì ç¨á«®¢ë¬

1

2

3

1

2

1

2

3

¬-®¦¨â¥«¥¬.

-7-

ᮬ(¯àאַã3; 7-;®¦¨â8), £a26®«ì3¥=«ï. 7-(1..ëå)‘¨áâ; (96;¡1)¥¬ëâà¨æ.««®¢)-.

©¯à-„®ªë奢®á室¨â¦¨â«£¥¡à¥,

àçâ®-£

¨åàª-ãࣦ¤®©¯à®¨§¢¢- -¬¨©âà¨æ륤¥ ¨ï-

‡ ¤ ç 27. (6 ¡

.

ˆáá«¥¤®¢

âì á¨á⥬ã¨ç¥áª- ©â¨

®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥

¢ § ¢¨á¨’¥¬®á⨠®â §- ç¥-¨ï ¯ à ¬¥âà

:

2

=

(1 + ««®¢)

9

(1 +

1

(1 + )

=

x

1

+

x

2

+ (1 + )x

3

=

;

‡ ¤ ç 28. (6 ¡

2

. ˆáá«¥¤®¢ âì á¨á⥬㠨 - ©â¨ ®¡é¥¥ à¥è¥-¨¥

¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â §- ç¥-¨ï ¯ à ¬¥âà

:

3

= 3

+ 3 2

9

1

(1 + )

2

x3

;

x +

29.

(5

x + (1 + )x = 4

+ 3 3

. • ©â¨ ãá«®

ï, -

¬ë¥

¤®áâ â®ç ë¥

30.

(6

. •à

ª ª¨å

-- ï

«¨-¥©- ï ª®¬-

ãà ¢- -¨© á-®¢

à¡ã¤¥è¥â à¥è¥-¨¥¬ íâãá«®¢¨ïå© á¨á⥬ë?

‡ ¤ ç 31«î¡ëå. (7

««®¢). •

©â¨

ãá«®¢¨ï à

§à¥®¡å®¤¨¥è¨¬ á⨠¢ -¥®¤-®à®¤-®©

¤«ï ⮣®, çâ

á㬬

à¥è¥- © á¨áâ¥¬ë «¨-¥© ëå ãà ¢-¥-¨©

¡ - æ¨ï

-¨©¤¢ãå

-®© -¢¥¤¥-

-®©

¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå

; ¡) ¯à®¨§

-¨¥

¥è¥

-

ç¨á«® =6 1

ë«® ¡ë á-®¢ à¥è -¨¥¬.

3

1

9

á¨á⥬¥

2

+

2

x3

2

=

x

+

2x

= f3

>

1

2

3x

3

= f

4

;

-8-

-«¨‡®©,-¤ ç--ëå33¡å®¤¨¬®.ãà(8¢- -42(««®¢)-x¨©1 +.n

¤®áâ3-„®ªx¥2¨§¢+§â®ç¥áââì,753x--3®),çâ®+ ç⮡ë11¯à¨75¤«ïxx44

m=®¯àâ®=f=£f32®,¥4n¤;>=+ç⮥«¨1 ¡ë¥«ìᨬᮢ⥬ áâm

(n + 1)-£® ¯®àï ª ,

á®áâ ¢«¥--®© ¨§ ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥-⮢

¯à¨ -¥¨§-

¢¥áâ-ëå

¨§ ᢮¡®¤-ëå ç«¥-®¢, ¡

« à ¢¥- -ã«î.

•®ª § âì,

çâ®

íâ®

¡ã¤¥â

â ª¦¥ ¤®áâ â®ç-묨, ¥á«¨ r

= n (£¤¥ r

âà¨æë-£

í«¥âà¨æ¬ -â륩

à -ë -ã«î,

ªà®¬¥

®¤-®£® í«¥

àã¥â

ª®â®àë«î¡®©

•гбвмгб«®¢¨- з¥ «

í«¥ç¬¥áâ-â 1 á⮨⠢ ¬

âà¨æ¨æ¥ B -

¤¨ £®- «¨ - k-®¬

¥è¥-

ë á¨á⥬ë).

Ž¡à §æë à¥è -¨©

A

A

á

§ ¤ ç¨ 7. •®

á«®¢

, ¬

A ª®¬¬ãâ¨

¢á¥

B.

‚

¥ ¬

¨æ B ¡ã¤ ¬ ¯¥à¥¡¨à âì

¬¥áâ¥. ’®£¤

, ¯® ¯à

¢¨«ã "áâப

-

á⮫¡¥æ" ¯®«ãç

¥¬:

à ¢¥- ¥¤¨-ª®â®àëå¨æ¥ (â ¨¥ ¬ âà¨æë - §ë¢ îâ "¬ âà¨ç-묨 ¥¤¨âà¨æë,- ¬¨").

n

0;

i =6 k

X

a

;

j

= k

AB

a b

;¥á«¨ i

;

=

=

ik

;

j

[BA]

b

il

a

:

ij

l=1

lj

kj

•® ãá«®¢¨î ¢ë¯ - -® [AB]

á«¥¤ã¥â, çâ® a

= 0

= [BA] . Žâáî¤

i =6 k.

•

ॡ¨à

ï ¢á¥

ª¨¥

¢-ë

B, ¯®«ãç

,

çâ® ¢á¥

¥-᫨¥¤ £®-

-ë¥

®«í

-