Общая топология (лекции)

x0. ®é­®áâì ¬­®¦¥áâ¢

1. ¥ ®¯à¥¤¥«ïï á ¬®£® ¯®­ïâ¨ï "¬®é­®áâì", ¤ ¤¨¬ á«¥¤ãî饥

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¬­®¦¥á⢠A ¨ B à ¢­®¬®é­ë, ¨ ¯¨- á âì A B, ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï A ! B.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ­®¦¥á⢮ A áç¥â­®, ¥á«¨ A N.

⢥ত¥­¨¥ 1. ᫨ A áç¥â­® ¨ B A, â® B ª®­¥ç­® ¨«¨ áç¥â­®.

⢥ত¥­¨¥ 2. ãáâì Ak { áç¥â­ë¥ ¬­®¦¥á⢠¨ A = [1k=1Ak. ®£¤ A áç¥â­®.

ਬ¥àë. 1) 2N áç¥â­®; 2) Záç¥â­®.

⢥ত¥­¨¥ 3. ãáâì A1, ..., An { áç¥â­ë¥ ¬­®¦¥á⢠, B = A1 ::: An.®£¤ B áç¥â­®.

­®¦¥á⢮ Bj = f(a1; :::; an; a(nj+1) ); ak 2 Ak; k 6 ng áç¥â­® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥- ­¨î ¨­¤ãªæ¨¨, â.ª. Bj A1 ::: An. «¥¤®¢ ⥫쭮, B = [1j=1Bj áç¥â­®.

¥®à¥¬ 1. ãáâì A B1 B ¨ B A1 A. ®£¤ A B.¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠.

ਬ¥àë. 1) Q áç¥â­®;

2)Zn ¨ Qn áç¥â­ë;

3)¬­®¦¥á⢮ ¬­®£®ç«¥­®¢ á 楫묨 ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ áç¥â­®. ­®¦¥á⢮ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« áç¥â­®.

2.ᥠ¯à¥¤ë¤ã騥 ¬­®¦¥á⢠¡ë«¨ áç¥â­ë.

¥®à¥¬ 2. â१®ª [0; 1] ­¥ áç¥â¥­.

«¥¤á⢨¥. ãé¥áâ¢ãîâ âà ­á業¤¥­â­ë¥ ç¨á« .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ­®¦¥á⢮ A ¨¬¥¥â ¬®é­®áâì ª®­â¨­ã㬠, ¥á«¨ A [0; 1].

⢥ত¥­¨¥ 4. ਠ«î¡ëå ¢¥é¥á⢥­­ëå a < b ¡ã¤¥â [a; b] [a; b)

(a; b] (a; b) [0; 1].

2

¥®à¥¬ 3. ãáâì Ak [0; 1] ¨ A = [1k=1Ak. ®£¤ A [0; 1].®ª § ⥫ìá⢮. Ak (1=(k + 1); 1=k].

ਬ¥àë. 1) R [0; 1].

2)­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ ­ã«¥© ¨ ¥¤¨­¨æ [0; 1].

3)[0; 1]n Rn [0; 1].

¯à ¦­¥­¨ï.

3) ãáâì A [ B [0; 1]. ®ª ¦¨â¥, çâ® å®âï ¡ë ®¤­® ¨§ ¬­®¦¥á⢠A ¨ B ¨¬¥¥â ¬®é­®áâì ª®­â¨­ã㬠.

3

« ¢ I. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠x1. âªàëâë¥ ¬­®¦¥áâ¢

1. ãáâì X { ¬­®¦¥á⢮, { ᥬ¥©á⢮ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥áâ¢.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. (X; ) ­ §ë¢ ¥âáï ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, ¥á«¨ ¢ë- ¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë:

1) ;; X 2 ;

2) U 2 =) ([ U ) 2 ;

3) U1; :::; Un 2 =) (\nk=1Uk) 2 .

®ª § ⥫ìá⢮. ­¤ãªæ¨ï ¯® n.

ਬ¥àë. 1) ãáâì X { ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¬­®¦¥á⢮, = f;; Xg. " à®áâà ­á⢮ ᫨¯è¨åáï â®ç¥ª".

2)ãáâì X { ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¬­®¦¥á⢮, { ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å ¥£® ¯®¤¬­®¦¥áâ¢.¨áªà¥â­ ï ⮯®«®£¨ï.

3)ãáâì X á®á⮨⠨§ ¤¢ãå í«¥¬¥­â®¢ X = fa; bg, = f;; fbg; Xg.

4)ãáâì X { «î¡®¥ ¡¥áª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮. §®¢¥¬ ®âªàëâ묨 ¯ãá⮥ ¨

⥠¬­®¦¥á⢠, ¤®¯®«­¥­¨¥ ª®â®àëå ª®­¥ç­®. ®¯®«®£¨ï à¨á᪮£®.

5)X = Rn. U 2 () 8x 2 U 9" > 0 : B"(x) U.

2.ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ãáâì x 2 M X. ®çª x ­ §ë¢ ¥âáï ¢­ãâ७­¥© â®çª®© ¬­®¦¥á⢠M, ¬­®¦¥á⢮ M ­ §ë¢ ¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ x, ¥á«¨ áãé¥- áâ¢ã¥â ¬­®¦¥á⢮ U 2 , â ª®¥ çâ® x 2 U M. ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠M ­ §ë¢ ¥âáï ¥£® ¢­ãâ७­®áâìî ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï int M.

¥®à¥¬ 1. «¥¤ãî騥 âਠãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë: 1) M 2 ; 2) M = int M; 3) M ï¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî «î¡®© ᢮¥© â®çª¨.

®ª § ⥫ìá⢮. 1) =) 2) ¨ 2) =) 3) { ®ç¥¢¨¤­®.

3) =) 1). «ï «î¡®© â®çª¨ x 2 M áãé¥áâ¢ã¥â Ux 2 , â ª ï çâ® x 2 Ux M. «¥¤®¢ ⥫쭮,

⢥ত¥­¨¥ 2. ­ãâ७­®áâì int M «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠M ®âªàëâ .

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì x 2 int M. ãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ U, â - ª®¥ çâ® x 2 U M. á­®, çâ® U int M. «¥¤®¢ ⥫쭮, int M ï¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî «î¡®© ᢮¥© â®çª¨ ¨, ¯® ⥮६¥ 1, ®âªàëâ®.

4

⢥ত¥­¨¥ 3. ãáâì A { ¯®¤¬­®¦¥á⢮ X. ¥¬¥©á⢮

A = fV = U \ A; U 2 Xg

ï¥âáï ⮯®«®£¨¥© ­ A.

®ª § ⥫ìá⢮. 1) ; = ; \ A, A = X \ A. 2) ãáâì V = U \ A, U 2 X. ®£¤

¯à ¦­¥­¨ï.

1)V1, ... Vn { ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ x. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ \nk=1Vk {

⪦¥ ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ x.

2)®ª ¦¨â¥, çâ® int(A \ B) = int A \ int B. ।ê⥠¯à¨¬¥à, ª®£¤ int(A [ B) 6= int A [ int B.

3)®ª ¦¨â¥, çâ® ¢á类¥ ®âªàë⮥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ­ ¢¥é¥á⢥­- ­®© ®á¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ ª®­¥ç­®£® ¨«¨ áç¥â­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ­¥¯¥à¥á¥ª - îé¨åáï ¨­â¥à¢ «®¢.

x2. ¬ª­ãâë¥ ¬­®¦¥áâ¢

1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ­®¦¥á⢮ F X ­ §ë¢ ¥âáï § ¬ª­ãâë¬, ¥á«¨ X n F 2 .

⢥ত¥­¨¥ 1. 1) ; ¨ X § ¬ª­ãâë;

2) ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ «î¡®£® ç¨á« § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠§ ¬ª­ãâ®; 3) ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ª®­¥ç­®£® ç¨á« § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠§ ¬ª­ãâ®.

¬¥ç ­¨¥. ®¦­® § ¤ âì ⮯®«®£¨î ­ ¬­®¦¥á⢥, ®¯¨á ¢ § ¬ª­ãâë¥ ¯®¤- ¬­®¦¥á⢠.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ãáâì M X. ¬ëª ­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠M ­ §ë¢ ¥âáï ¯¥- à¥á¥ç¥­¨¥ ¢á¥å § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠F, ᮤ¥à¦ é¨å M,

M = \ F:

F M

⢥ত¥­¨¥ 2. M ï¥âáï ­ ¨¬¥­ì訬 § ¬ª­ãâë¬ ¬­®¦¥á⢮¬, á®- ¤¥à¦ 騬 M.

®ª § ⥫ìá⢮. á­®, çâ® M § ¬ª­ãâ® ¨ çâ® M M. «¥¥, ¥á«¨ F0 {

§ ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ ᮤ¥à¦ 饥 M â® M F

5

⢥ত¥­¨¥ 3. ­®¦¥á⢮ M § ¬ª­ã⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

M = M.

¥®à¥¬ 1. M = fx 2 X : «î¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì x ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á Mg.

®ª § ⥫ìá⢮. 믨襬 á¥à¨î íª¢¨¢ «¥­â­ëå ã⢥ত¥­¨©.

x 2 M ()

¥á«¨ x 2= F = F ; â® M 6 F () ¥á«¨ x 2 U 2 ; â® U \ M 6= ; ()

«î¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì x ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á M:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ­®¦¥á⢮ M (¢áî¤ã) ¯«®â­® ¢ X, ¥á«¨ M = X.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4. à®áâà ­á⢮ X ­ §ë¢ ¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬, ¥á«¨ ¢ ­¥¬ áã- é¥áâ¢ã¥â áç¥â­®¥ ¯«®â­®¥ ¬­®¦¥á⢮.

ਬ¥àë. 1) Q2 = R2 =) R2 { ᥯ à ¡¥«ì­®.

2)àï¬ ï á ¤¨áªà¥â­®© ⮯®«®£¨¥© ­¥ ᥯ à ¡¥«ì­ .

3)ãáâì X { ¡¥áª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ á ⮯®«®£¨¥© à¨á᪮£® (á¬. x1.1 ¯à¨¬¥à 4). î¡®¥ ¡¥áª®­¥ç­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ M ¯«®â­® ¢ X. X ᥯ à ¡¥«ì­®.

2.ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, M X.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5. ®çª x ­ §ë¢ ¥âáï £à ­¨ç­®© â®çª®© ¬­®¦¥á⢠M, ¥á«¨ «î¡ ï ¥¥ ®ªà¥áâ­®áâì V ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á M ¨ á ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥¬,

V \ M 6= ;; V \ (X n M) 6= ;:

­®¦¥á⢮ ¢á¥å £à ­¨ç­ëå â®ç¥ª M ­ §ë¢ ¥âáï £à ­¨æ¥© ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï @M.

¬¥ç ­¨¥. á­®, çâ® 1) @; = @X = ;; 2) @(X n M) = @M.

⢥ত¥­¨¥ 4. 1) @M = M \ (X n M); 2) @M § ¬ª­ãâ®.

®ª § ⥫ìá⢮. 1) ® ⥮६¥ 1 â®çª x ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¯¥à¥á¥ç¥­¨î M \

(X n M) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ «î¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì x ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á M ¨ á X n M;

2) ®ç¥¢¨¤­® ¨§ 1).

ਬ¥àë. 1) ãáâì X = R, M = [a; b). ®£¤ int M = (a; b), M = [a; b], @M =

fa; bg. @Q = R.

2) X = Rn, @B1(0) = Sn;1.

¯à ¦­¥­¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® int M = M n @M; M = M [ @M.

x3. ¥¯à¥àë¢­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï

6

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ãáâì x0 2 X, f(x0) = y0 2 Y . â®¡à ¦¥­¨¥ f ­¥¯à¥à뢭® ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠V â®çª¨ y0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ- ­®áâì U â®çª¨ x0, çâ® f(U) V . â®¡à ¦¥­¨¥ f ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬, ¥á«¨ ®­® ­¥¯à¥à뢭® ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ x 2 X. ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ®¡®§­ ç ¥âáï C(X; Y ).

¥®à¥¬ 1. f 2 C(X; Y ) () f;1(G) 2 X 8G 2 Y .®ª § ⥫ìá⢮. =)) ãáâì G 2 Y , x 2 f;1(G). ®£¤

9Ux : f(Ux) G =) Ux f;1(G) =) f;1(G) 2 X:

(=) 祢¨¤­®.

⢥ত¥­¨¥ 1. ãáâì X, Y , Z { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, f : X ! Y; g : Y ! Z; h = g f:

1)᫨ f ­¥¯à¥à뢭® ¢ â®çª¥ x0, f(x0) = y0, g ­¥¯à¥à뢭® ¢ â®çª¥ y0, â® h ­¥¯à¥à뢭® ¢ â®çª¥ x0.

2)᫨ f 2 C(X; Y ), g 2 C(Y; Z), ⮠h 2 C(X; Z).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠X, Y ­ §ë¢ îâáï £®¬¥®¬®àä- ­ë¬¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : X ! Y , â ª®¥ çâ® f 2 C(X; Y ), f;1 2 C(Y; X). â®¡à ¦¥­¨¥ f ­ §ë¢ ¥âáï £®¬¥®¬®à䨧¬®¬.

2. ⬥⨬, çâ® ­ áç¥â ®¡à §®¢ ¯à¨ ­¥¯à¥à뢭®¬ ®â®¡à ¦¥­¨¨ ­¨ç¥£® ᪠-

¬¥ç ­¨¥. «¥¥ ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¢áï áä¥à ­¥ £®¬¥®¬®àä­ ¯«®áª®á⨠¨ ­¥ £®¬¥®¬®àä­ â®àã.

¯à ¦­¥­¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® è à B1(0) £®¬¥®¬®à䥭 ¯à®áâà ­áâ¢ã Rn. x4. ªâ®à⮯®«®£¨ï

1. ãáâì ­ ¬­®¦¥á⢥ X § ¤ ­® ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠. « ááë íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì x^, â.¥. x; y 2 x^ () x y.

⢥ত¥­¨¥ 1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, { ®â­®- 襭¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨. ¯à¥¤¥«¨¬ ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬­®¦¥á⢠(X= ) á«¥- ¤ãî騬 ®¡à §®¬: ; 2 , ªà®¬¥ ⮣®,

®£¤ { ⮯®«®£¨ï ­ ä ªâ®à¬­®¦¥á⢥.

7

2) ãáâì V 2 , V = [ V . ®£¤

3) ­ «®£¨ç­® 2).

2.ਬ¥àë.

1)᫨ ã ª¢ ¤à â ᪫¥¨âì ¤¢¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ áâ®à®­ë, â® ¯®«ãç¨âáï ¡®ª®¢ ï ¯®¢¥àå­®áâì 樫¨­¤à (­® ¬®¦­® ¢«®¦¨âì ¢ R2 { ª®«ìæ® ­ ¯«®áª®- áâ¨).

2)᫨ ¤¢¥ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ áâ®à®­ë ᪫¥¨âì "­ ®¡®à®â" (â.¥. ®â®¦¤¥-

á⢨âì â®çª¨ á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (0; x2) ¨ (1; 1 ; x2)), â® ¯®«ãç¨âáï «¨áâ ¥¡¨ãá (¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R3).

3)᫨ ᪫¥¨âì ¤¢¥ ¯ àë ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ëå áâ®à®­, ¯®«ãç¨âáï â®à.

4) ᫨ ¤¢¥ áâ®à®­ë ᪫¥¨âì "¯à ¢¨«ì­®", ¤¢¥ { "­ ®¡®à®â", â® ¯®«ãç¨âáï ¡ãâ뫪 «¥©­ (¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R4).

5)᫨ ¤¢¥ ¯ àë áâ®à®­ ᪫¥¨âì "­ ®¡®à®â", â® ¯®«ãç¨âáï ¯à®¥ªâ¨¢­ ï ¯«®áª®áâì (¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R4).

6)᫨ ¢áî ¯®¢¥àå­®áâì è à ¢ Rn ᪫¥¨âì ¢ ®¤­ã â®çªã, â® ¯®«ã祭­®¥

¯à®áâà ­á⢮ ¡ã¤¥â £®¬¥®¬®àä­® áä¥à¥ Sn.

7)ãáâì X = Rn n f0g. ¢¥¤¥¬ ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠x y () 9 2 R : x = y:

®«ãç ¥¬®¥ ä ªâ®à¯à®áâà ­á⢮ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ¨

®¡®§­ ç ¥âáï RP n. RP 1 £®¬¥®¬®àä­® S1. 8) C P n.

¯à ¦­¥­¨ï.

1) ஥ªâ¨¢­ ï ¯«®áª®áâì ¨§ ¯à¨¬¥à 5) £®¬¥®¬®àä­ RP 2.

2) ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, { ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨, f : X ! (X= ) { ®â®¡à ¦¥­¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 í«¥¬¥­â x ¢ ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­®- áâ¨, ª®â®à®¬ã ®­ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â, f(x) = x^. ®ª ¦¨â¥, çâ® f ­¥¯à¥à뢭®.

3) ᫨ ¤¢ «¨áâ ¥¡¨ãá ᪫¥¨âì ¯® ªà î, ¯®«ãç¨âáï ¡ãâ뫪 «¥©­ . x5. § ⮯®«®£¨¨

1. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, B { ᥬ¥©á⢮ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥áâ¢.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ãáâì B . B ­ §ë¢ ¥âáï ¡ §®© ⮯®«®£¨¨, ¥á«¨ «î¡®¥ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ U ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ U = [ V , £¤¥ V 2 B.

¥®à¥¬ 1 (ªà¨â¥à¨© ¡ §ë). ãáâì X { ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮, B { á¥- ¬¥©á⢮ ¥£® ¯®¤¬­®¦¥áâ¢. B ï¥âáï ¡ §®© ­¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ¤¢ ãá«®¢¨ï:

1)8x 2 X 9 U 2 B : x 2 U;

2)¥á«¨ x 2 U, x 2 V ¨ U; V 2 B, â® ­ ©¤¥âáï W 2 B, â ª®¥ çâ®

8

®ª § ⥫ìá⢮. =)) ãáâì B { ¡ § ⮯®«®£¨¨ ­ X. ஢¥à¨¬ ¢ë¯®«- ­¥­¨¥ ãá«®¢¨© 1 ¨ 2.

1)X = [ V =) 8x 9V 2 B : x 2 V ;

2)(U \ V ) 2 =) U \ V = [ W =) 9 : x 2 W U \ V .

(=) ãáâì B { ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬­®¦¥á⢠X, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨ï¬ 1 ¨ 2. ¯à¥¤¥«¨¬ ⮯®«®£¨î â ª¨¬ ®¡à §®¬: ®âªàëâ묨 ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¯ãá⮥ ¬­®¦¥á⢮ ¨ ¢á¥ ¬­®¦¥á⢠¢¨¤ U = [ V , £¤¥ V 2 B. ஢¥à¨¬ ¢ë¯®«­¥­¨¥ ªá¨®¬.

á«¥¤®¢ ⥫쭮, U \ V = [xWx.

¬¥ç ­¨¥. ®¦­® § ¤ âì ⮯®«®£¨î, § ¤ ¢ ¡ §ã.

2. áâ¥á⢥­­® ¤ âì á«¥¤ãî饥

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ®¯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X; ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà ­- á⢮¬ á® áç¥â­®© ¡ §®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡ § B = fUkg1k=1.

ਬ¥àë. 1) ¤­®â®ç¥ç­ë¥ ¬­®¦¥á⢠®¡à §ãîâ ¡ §ã ¤¨áªà¥â­®© ⮯®«®£¨¨. 2) X = Rn { ¯à®áâà ­á⢮ á® áç¥â­®© ¡ §®© B = fBr(x); x 2 Qn; r 2 Q+g.

⢥ত¥­¨¥ 1. à®áâà ­á⢮ á® áç¥â­®© ¡ §®© ᥯ à ¡¥«ì­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì xk 2 Uk, A = fxkg { áç¥â­®. ­®¦¥á⢮ V = X n A ®âªàëâ®, §­ ç¨â, V = [j Ukj . ® xkj 62V , ¯®í⮬ã V = ; ¨ A = X.

⢥ত¥­¨¥ 2. ãáâì X { ­¥áç¥â­®¥ ¬­®¦¥á⢮, { ⮯®«®£¨ï à¨á- ᪮£®. ®£¤ (X; ) { ᥯ à ¡¥«ì­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¢ ª®â®à®¬ ­¥â áç¥â­®© ¡ §ë.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì B { ¡ § ⮯®«®£¨¨, x0 2 X. «ï «î¡®© â®çª¨ y 6= x0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥­â ¡ §ë Uy 2 B, çâ® y 62Uy, x0 2 Uy. «¥¤®¢ ⥫쭮,

᫨ ¡ § B áç¥â­ , â® ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠⮦¥ ­¥ ¡®«¥¥, 祬 áç¥â­®.¦¤®¥ ¬­®¦¥á⢮ (X n Uy) ª®­¥ç­®, ¯®í⮬㠢ᥠ¯à®áâà ­á⢮ X áç¥â­®, ¨ ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î.

3. ãáâì (X; X ), (Y; Y ) { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠. áᬮâਬ ¤¥-

9

⢥ত¥­¨¥ 3. ¥¬¥©á⢮ B = fU V ; U 2 X; V 2 Y g { ¡ § ­¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ­ X Y .

®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç­® ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«­¥­¨¥ ãá«®¢¨© ⥮६ë 1. 1) 8(x; y) 2 X Y .

2) ãáâì (x; y) 2 U1 V1, (x; y) 2 U2 V2. ª ç¥á⢥ W ¬®¦­® ¢§ïâì W = (U1 \ U2) (V1 \ V2).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. (X Y; B) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®- áâà ­áâ¢.

ਬ¥àë. 1) R R £®¬¥®¬®àä­® R2;

2)S1 S1 £®¬¥®¬®àä­® â®àã;

3)Sn;1 (0; 1) £®¬¥®¬®àä­® Rn n f0g.

¯à ¦­¥­¨¥. ãáâì : X Y ! X { ®â®¡à ¦¥­¨¥, ª®â®à®¥ ¯ ॠ(x; y) áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ â®çªã x. ®ª ¦¨â¥, çâ® ­¥¯à¥à뢭®.

x6. ¢ï§­ë¥ ¬­®¦¥áâ¢

1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯а¥¤¥«¥­¨¥ 1. а®бва ­бв¢® X б¢п§­®, ¥б«¨ ­¥ бгй¥бв¢г¥в ¤аг£¨е ¬­®- ¦¥бв¢, ®вªалвле ¨ § ¬ª­гвле ®¤­®¢а¥¬¥­­®, ªа®¬¥ ¯гбв®£® ¨ ¢б¥£® X.

¯а¥¤¥«¥­¨¥ 1'. а®бва ­бв¢® X ­¥ б¢п§­®, ¥б«¨ ®­® ¯а¥¤бв ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ ®¡к¥¤¨­¥­¨п ¤¢ге ­¥¯гбвле ­¥¯¥а¥б¥ª ой¨ебп ®вªалвле ¬­®¦¥бв¢.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ­®¦¥á⢮ A X ­ §ë¢ ¥âáï á¢ï§­ë¬, ¥á«¨ á¢ï§­® ¯à®- áâà ­á⢮ (A; A) (á¬. x1, ã⢥ত¥­¨¥ 3).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2'. ­®¦¥á⢮ A X ­¥ á¢ï§­®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ®â- ªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠U ¨ V , çâ®

A U [ V; A 6 U; A 6 V; A \ U \ V = ;:

⢥ত¥­¨¥ 1. â१®ª [a; b] á¢ï§¥­.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì [a; b] U [ V , U \ V = ;, U; V 2 R . ¥ ®£à ­¨ç¨¢ ï ®¡é­®áâ¨, áç¨â ¥¬ a 2 U. ãé¥áâ¢ã¥â " > 0, â ª®¥ çâ® [a; a+") U. ®«®¦¨¬ x = supfy : [a; y) Ug. ᫨ x < b, â®

x 62U =) x 2 V =) (x ; ; x] V;

¨ ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ® ¦¥ á ¬®¥ ¢ á«ãç ¥, ¥á«¨ x = b 62U. áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ ਠ­â [a; b] U, V = ;.

⢥ত¥­¨¥ 2. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨ç¥¬ X á¢ï§­®. ᫨ f 2 C(X; Y ), â® f(X) á¢ï§­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ᫨

f(X) U [ V ¨ U \ V \ f(X) = ;;

â®

X f;1(U) [ f;1(V ) ¨ f;1(U) \ f;1(V ) = ;;

®âªã¤ á«¥¤ã¥â १ã«ìâ â.

10

⢥ত¥­¨¥ 3. ãáâì ­ ¡®à á¢ï§­ëå ¬­®¦¥á⢠A â ª®¢, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ¬­®¦¥á⢠¯¥à¥á¥ª îâáï. ®£¤ ¨å ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ B = [ A á¢ï§­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì U ¨ V { ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠, B U [ V , U \ V = ;.«ï ¢á类£® «¨¡® A U, «¨¡® A V . ᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ â ª¨¥ ¨­¤¥ªá ¨ , çâ® A U, A V , â®

U \ V A \ A 6= ; =) B \ U \ V 6= ;;

祣® ¡ëâì ­¥ ¬®¦¥â. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¢á¥ A ᮤ¥à¦ âáï ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¬­®¦¥áâ¢, ­ ¯à¨¬¥à, A U 8 , ¨ B U.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ãáâì x 2 X. ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ Lx ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¢á¥å á¢ï§- ­ëå ¬­®¦¥á⢠A (x), ᮤ¥à¦ é¨å â®çªã x, Lx = [ A (x). ­®¦¥á⢮ Lx

­§ë¢ ¥âáï á¢ï§­®© ª®¬¯®­¥­â®© â®çª¨ x ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ X.

¬¥ç ­¨¥. Lx { ­ ¨¡®«ì襥 á¢ï§­®¥ ¬­®¦¥á⢮, ᮤ¥à¦ 饥 â®çªã x.

⢥ত¥­¨¥ 4. z 2 Lx =) Lz = Lx.

®ª § ⥫ìá⢮. Lx { á¢ï§­®, z 2 Lx. «¥¤®¢ ⥫쭮,

Lx Lz =) x 2 Lz =) Lz Lx:

¥®à¥¬ 1. á类¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ª®¬¯®­¥­â á¢ï§­®áâ¨.

®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¤¢¥ â®çª¨ x, y. å ª®¬¯®­¥­âë á¢ï§­®á⨠Lx, Ly «¨¡® ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, â.ª. ¨§ z 2 Lx \ Ly ¢ë⥪ ¥â Lx =

Lz = Ly.

¯à ¦­¥­¨ï.

1)®ª ¦¨â¥, çâ® Q ­¥ á¢ï§­® ¢ R.

2)®ª ¦¨â¥, çâ® Lx = Lx.

x7. ¨­¥©­® á¢ï§­ë¥ ¬­®¦¥áâ¢

1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ã⥬, ᮥ¤¨­ïî騬 â®çª¨ x, y, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : [0; 1] ! X, â ª®¥ çâ® f(0) = x, f(1) = y.

⢥ত¥­¨¥ 1. ᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 â®çª¨ x, y, ¨ ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 â®çª¨ y, z, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 â®çª¨ x, z.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f; g 2 C([0; 1]; X), f(0) = x, f(1) = y = g(0), g(1) = z.®«®¦¨¬ h(t) = f(2t) ¯à¨ 0 6 t 6 1=2, h(t) = g(2t ; 1) ¯à¨ 1=2 6 t 6 1.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. à®áâà ­á⢮ X ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­® á¢ï§­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î- ¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª x; y 2 X áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ¨å ᮥ¤¨­ïî騩.

⢥ত¥­¨¥ 2. ãáâì X «¨­¥©­® á¢ï§­®. ᫨ f 2 C(X; Y ), â® f(X) «¨­¥©­® á¢ï§­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì y0 = f(x0) 2 f(X), y1 = f(x1) 2 f(X). ãé¥áâ¢ã¥â g 2 C([0; 1]; X), â ª®¥ çâ® g(0) = x0, g(1) = x1. ®«®¦¨¬ h = f g 2 C([0; 1]; Y ).

á­® çâ® h(0) = y h(1) = y