Николаев Сборник задач по курсу Физикатвердого тела. 3-е изд.,исправленное и дополненное 2009

дующие значения p 7,5 106 град-1 Cp =7,95 107 эрг/град.

Рассчитать смещение температуры Кюри от приложенного давления.

11.4.В рамках теории фазовых переходов второго рода Ландау определить критические показатели для намагниченности , восприимчивости и , критической изотермы , теплоемкости и .

11.5.Найти скачок теплоемкости C в точке фазового перехода, следуя теории Ландау.

11.6.В приближении среднего поля найти намагниченность M(T, H) как функцию температуры T и внешнего магнитного поля H для модели Изинга на d-мерной (гиперкубической) решетке.

11.7.Для модели Изинга (d -мерной) в приближении среднего поля найти: а) теплоемкость при H = 0, б) намагниченность при H = 0, в) изотермическую восприимчивость при H = 0, г) критиче-

скую (T =Tc ) изотерму, д) зависимость M = M(Tc ,H), ж) корре-

ляционную длину (H = 0) и парную корреляционную функцию при T Tc + 0 и T Tc - 0. Определить соответствующие критиче-

ские показатели.

11.8.Найти намагниченность в модели Изинга, модифицированной так, чтобы каждый спин взаимодействовал бы со всеми остальными спинами на d-мерной решетке. Определить критическую температуру Тc и исследовать поведение термодинамических величин около Тс.

11.9.Найти точное решение одномерной модели Изинга и исследовать поведение термодинамических величин при T .

11.10.Проверить гипотезу подобия (скейлинг) для одномерной модели Изинга и d-мерной модели Изинга, рассмотренной в приближении среднего поля.

11.11.Найти критическую температуру модели ферромагнетика Гейзенберга (спин равен S) и сравнить ее с критической температурой для модели Изинга. Обе модели рассмотреть в приближении среднего поля на кубической решетке.

41

11.12.Найти критическую температуру Тс для двухмерной модели Изинга на квадратной решетке.

11.13.Для двухмерной модели Изинга найти точное выражение для свободной энергии при нулевом внешнем поле.

11.14.Найти свободную энергию и намагниченность (как при H = 0, так и при H 0) для модели антиферромагнетика Гейзенберга на кубической решетке.

11.15.Сравнить температурные зависимости восприимчивости для ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Изинга в случае: а) d 1, б) d 2 (использовать приближение среднего поля).

11.16.Найти температурное поведение свободной энергии и намагниченности при ненулевом внешнем магнитном поле в модели плоских ротаторов.

11.17.Показать, что модели “решеточного газа”, бинарного сплава и модель Изинга эквивалентны.

11.18.Найти средний магнитный момент системы N не взаимодействующих частиц со спином S в магнитном поле H как функцию температуры T.

11.19.Определить восприимчивость системы не взаимодействующих частиц со спином S в пределе высоких и низких температур.

11.20.Найти параметр ближнего порядка для модели Изинга в приближении Бете.

11.21.Вывести выражение для свободной энергии как функции параметра порядка для модели бинарного сплава типа АВ.

11.22.Определить критическую температуру для модели бинарного сплава в приближении Брэгга–Вильямса.

11.23.Используя приближение Брэгга–Вильямса, определить теплоемкость бинарного сплава типа АВ.

11.24.Для бинарного сплава типа АуВ1–у найти критическую температуру как функцию относительной концентрации y.

11.25.Вывести уравнение для параметра дальнего порядка в бинарном сплаве типа АуВ1–у в приближении Брэгга–Вильямса.

42

11.26.Найти точное решение задачи об одномерном бинарном сплаве типа АуВ1–у, установив связь этой модели с моделью Изинга.

11.27.Используя связь модели бинарного сплава типа АВ с моделью Изинга, найти в приближении Кирквуда температуру перехода порядок–беспорядок.

11.28.В приближении Бете найти критическую температуру (температуру перехода порядок–беспорядок) в модели бинарного сплава типа АуВ1–у.

11.29.Определить зависимость теплоемкости бинарного сплава

типа AyB1 y от относительной концентрации y.

11.30.Определить температурную зависимость флуктуаций параметра дальнего порядка для бинарного сплава типа АВ.

11.31.Каким ситуациям в модели бинарного сплава отвечают: а) ферромагнетик Изинга; б) антиферромагнетик Изинга?

11.32.Установить связь между моделями бинарного сплава и решеточного газа.

43

Ответы на некоторые задачи

1

1.1. ОЦК. 1.2. 0,68.																														1.3. 0,41 R.																			1.4. 4, 6, 8, 12.																												1.5. (10 15 6).
																															63r3																																																				1.13.								.
1.6. a/						.									1.11. V																									,				V					16														r3,								V				24						r3.								3
					10																																																					2																						2
																																																																																								8
																											1				3				3												2																							3
1.14.	V abc															1 cos2 cos2 cos2 2cos cos cos ,																																																																V 8102						Ǻ3.
1.15.	V abcsin ;																									V abcsin ;																						V a3															1 3cos2 2cos3 .
1.16. cos														cos cos cos																												;					cos																			cos cos cos																		;
																																																													sin
																sin															sin																																																			sin
	cos											cos cos cos																													.				cosi											(c ,a )															.
														sin																	sin																											c a
1.17. a					a		2			sin /V 0,24A																												1				,							114																									1.18. d102= 2,23 Å.
																																																											5.
1.19.					1				2											b2c2h2 a2c2k2 b2a2l2
																																			2					2			2																	,
																																b					c					c
	dnkl
					1				2										4					h2 hk k2																											l2
																			3												a		2																		c	2 ,
		dnkl
					1					2											h2 k2														l2																																1							2		h2 k2 l2
																											2										2 ,																																													2				.
																									a										c																																														a
		dnkl																																																													dnkl
																												h1h2										k1k2												l1l2
1.20.																													a2											b2											c2
	cos																																																																								;		17 .
																h						2						k		2					l		2				h							2					k			2									l		2
																			1										1						1												2									2											2
																			a			2						b		2					c		2								a			2								2											2
																																																					b												c
1.21. cos																																			hV																																	,						55 .
										a							b2c2h2 a2b2c2																									2ab2chlcos
1.22. cos																												u u			2	a2						v v								2		b	2 w w c2																														, 36							.
																													1													1														1				2

(u12a2 v12b2 w12c2)(u22a2 v22b2 w22c2)

44

			sin r
	1.25. Е ? 0,08 эВ. 1.27. 10.	1.28. f U(r)		dr.
			r
		0

1.29.Появятся от плоскостей (2 0 0).

1.30.p ? 100 кбар. 1.33. Tm 0,007mkBTD2rS / 2.

2

2. 3.

n

2w

w

= exp(18,1) = 7,37·10

7

.

n

Sh

exp

2k T

Fr

Sh

Fr

B

2.8. а)

P(n,N) p

P(n 1,N 1) q

P(n 1,N 1);

N n

N n

N n

б) P(n,N) CN

2

p

2

q

2 ;

в) n2 N2

4pqN(N 1);

г) если

p 1/2, то

N0 2

Nmax N0,

1

N0

4p

2

q

2

n

2

(1 4pq) 2pq

;

1 4pq

если р = 1/2, то n2 2 Nmax n2 .

2.9. а)

P

P

2

2P

, lim

a(p q)

,

2

lim

a2

.

t

x

2 x2

t 0

t

t 0 t

б) P(x,t)

1

(x t)2

в)

x(t) t,

x

2

(t) (2

2

2

t)t.

exp

,

4 2t

4 2t

2.13.

n

N n

N n

N n

P(n,N)

C

N

2

p

2

q

2

,

q (1 p).

N

3

2

1

2

{ 1 3

3.7. 1,2

k

2

[( 1 3 )2

4( 1 2 )( 1

2 2 3 )sin2

cos2 ]1/ 2},

2

k2,

k

x

k cos .

3

3

3.8. 12

(bsin2

d cos2

)k2,

2,32

1

{asin2

f cos2

d [((a d)sin2

(d f )cos2 )2

2

45

(c d)2 sin2 2 ]1/ 2}, где a, b , c, d, f — упругие модули, — угол между

осью z и вектором k: kx = ksin ,													ky =		0, kz = kcos .
3.9.			2		2 4			4		2		2		2		2
		2k					16k		k				k				.
					c2							c2				c2
					t							t				l

4

m

4.2. q2

p2

ch

,

cth

,

2m

2k

T

2k T

B

2

B

	1
Eпот/Eкин=1,	E H		cth
						.
	2				2kBT

4.3.E 2 N cth 2kBT .

4.4. (k) 0					|sin(ak /2)|,				0			2	/m.
	2	2			0	c2k2	( 2				0	c2k		2)	2		2c2k2	1/ 2
4.11.			t						t								t	.
					2n2							4n4					n2

4.13. (k) w0 2U0 cos(ak).

4.14. P

sin l

cos l coskl,

P

2m

l(Vb)/2,Vb const.

2

l

4.15. 2(k) 2

C2k2

,

2

4 n

e2

/m ,

C

S

— скорость звука.

p

S

p

e

e

4.16. p 1016 с 1.

4.18.

(k) 4JS[1 cos(ak)].

4.19. meff 2 /2a2U0.

4.20.

Eg

2|V(G)| .

p

2

memp

e

4

1

4.21. n(p) Eg

2(m m

p

)

m m

p

2

n

2

.

e

e

2

p2

4.22.(p) 0 2m ,

4.23.(k) 2JSsin(ak).

m		m a		.
	e	2 f (1 3cos2
			)

5

5.1. 2(k) (2 /m)1 cos(ak).

5.2. c a

/m

.

46

5.3. 2(k)

{m1 m2

}.

m12 m22

2m1m2 cos(ak)

m m

2

1

2

ak

5.4. vph

sin(

)

, vg

a

cos(

ak

).

k

m

2

m

2

5.5. c a

.

2(m1 m2 )

5.8. 2 (k)

1

{ 1 2

}.

12 22 2 1 2 cos(ak)

m

5.9. (k)

2 2

sin(ak /2)

.

m

d

T

5.11. C(T) 3k

N

D

где использована функция Дебая

T

,

B

D

T

dT

1 T

2

y

C(T)

1

D

, T T ;

1

x3

и

20 T

D

D(y)

dx

y

3

ex

1

3kBN 4

2

T

3

0

, T T

.

5

D

T

D

2

5.12.TD kB m .

5.13.Используйте результаты двух предыдущих задач.

5.15.

C(T) T3/n .

5.19. kBT.

5.20. C 2akBTD / .

11 км/ч.

5.21. 213 K.

5.24. Статистическая сумма решетки, содержащей N узлов и средняя энер-

гия

на один узел

имеют

вид

ZN (P,T) (2 mkBT / 2)N / 2QN ;

k T

1

a

bk T

a P

a P

bkT

E(P,T)/ N

B

(P,T) ,

где

Q

exp

B

2

b

a

bkBT

bkBT

(P,T)

lnQ

.

(1/kBT)

lnQ

1

bk

B

T

a P

5.25. x kBT

ln

b

,

P

a

bkBT

ln (y)

kBT

(y)

, x

,

T 0.

y

2(a P)

47

5.26.	ma	4		2	.	5.27.		N E2	2		E
							C		sech			.
								4T2
											2T

	5.29.			3
		C				Nk			1 2 7/2
				2					B
	5.30.		C					2
									kBT			.
			kBN				2				F

N	h	3
				.
			3/2
2V (2 mkBT)

5.33. C Nk	B	2 (k T /	F	), T 0.
		B

5.36. а) C 0,113k						k		B	T				3/2	б) C (4	2	3	3
													,			/S)(2nkB)	(T / N )	,
					B 2SJa2
	0 /kB T N.
														6
6.3.	g( )	V	2m 3/2											6.4. 6 эВ.
										.
		2 2
			2

6.5. m* /m 1,2.		6.7. а) F 1 эВ.
6.8.	0 m exp[ik Rm ].		Для простой кубической решетки:
0	[cos(akx )+ cos(aky ) +		+cos(akz)].

6.9. a) F = N/2D0, б) kB T >> N/2D0.

										2		k T							2						4			k T								4
6.10.				F		1								B																	B							,
										12				F											80						F
			3								5 2 k T 2																		4 k T										4
	E																			B															B					.
					F				1
			5																									16							F
												12							F
6.12. P					32/3 4/3n5/3 2															105 Па = 1 атм.
	0									5m
6.19. VD			= 3·10-6 м/с, VT = 10-6 м/с.																																								N B2
6.24.				2																		N																			. 6.25.			.
						B																				D
																																											3VkBT
			kBT					1 (1/2)exp( (ED )/kBT)
6.31. невыр выр = (2/9)(TF /T).																																									6.33.	T1/ H 2 B / F.
					1				V									3v													2	k T												12		2
6.37.																																									(T 0) 11,7 10				см		/дин.
																								1											B
					V				P																			18										,
											T					2																				F
																					F

48

6.45. T = 300 K,

p = 1014

см 3; T = 78 K,

p = 1014

см 3;

T = 4,2 K,

p = 109 см 3.

8Nd

6.46.

1

d

(T)

k

T ln

4

1

N

exp

k T

1

,

F

d

B

C

B

N

C

2(2 m

k T / h2)3/2.

eff

B

6.48.

R

3 up2 p un2n

.

6.52.

t

2

t

0,391·10

3

с.

H

1

8ec (up p unn)2

ln(n1 /n2 )

6.53. / 0,15.

6.55.

n(t) n(0)exp( t/ ).

6.56. n(t)

n(0)

.

6.60. S 2,5·10 16 см2 .

1 n(0)t

6.61.

D

kBT

n0

p0

.

6.62. p(0) = 1012

см 3.

e

n

1

p

0

1

0

p

n

g

0

p

1

6.64. UD 1,6 10

5

6.63. p(0)

.

В.

S

L

p

p

6.67.

U

ФМ

e( n p)hDB n(0) n(l) .

l

l 0 e( n p ) n(x)dx

6.71. Uc 1

0

2,

где e 1,2

— работа выхода для металлов.

6.73.

eV

где

I

en v

или

I

IS 1 exp

kBT

,

S

0

D

I

S

0,25e v nexp( eU

c

/k T).

T

B

6.74.

eV

где

I

e D

n/L

D

p/L

.

I I

1 exp

S

p

p

S

k T

B

x

2

6.78.

k T

n(x) n

0

,

x

B

.

2 n e2

0

x x

0

0

0

6.86. d E

e

31

К·м.

6.89.

d

2

/3kBT.

1,4410

4 0r2

6.90. C k

(pE /k T)

.

6.93.

E

1

N

0,823.

N

1

B

sinh

2(pE/ k T)

E

3

B

L

0

B

49

	7
7.1. ( ) 1 ( 2p / 2 ),	2p 4 Ne2 /m.

7.2. ( ) 1 4 em2n0 ( 02 12 i ) .

7.3. g 4 e2N H. m2c 3

	T2		(2d / )						T (2d / )
7.4. Re	2					,	Im		2				.
	1 T		2		2						2	2
								1 T
	2									2
7.6. ( ) 1		4 Ne2(m 1					M 1)	.
		( 2			2	i )
				0
7.7. 1 4 N(1 N /3) 1,								n2.

7.9.= c/[2 1/2 0,5·10 4 см.

7.10.0 2 (mc2 /4 Ne2)1/ 2. Для Na 0 = 2070 Ǻ.

7.11.Энергия основного состояния экситона

		m m					e	4
E				p n					= – 0,0017 эВ и Eg	E1	.
1	m		p	m			2 2
					n

1/2

7.12. При 1: R 1 2 . При 1 p :2

R 1	2	.	При p : R ? 0.
	p
			8

8.1. Нэф = 107 Э.

8.4.F / N kBT ln[2cosh( H /kBT)],

C/ N kB( H /kBT)2sech2( H /kBT),

S / N kB{ln[2cosh( H /kBT)] ( H /kBT)tanh( H /kBT)},

M/ N tanh( H /kBT).

8.5. M M 2 2Nsech2( H /kBT).

50