Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА»

В. А. Есаков, В. Г. Дудко

Основы теории автоматического управления

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским

советом университета в качестве учебного пособия

для самостоятельной работы студентов

Москва

Издательство Московского государственного университета леса

2013 Г.

УДК 621.078

Е81

Разработано в соответствии с Государственным образовательным стандартом ВПО 2011 г. на основе примерных программ дисциплин «Теория автоматического управления», «Теория управления», «Основы теории управления»

Рецензенты: П. А. Тарасенко профессор кафедры ИИСиТП МГУЛ;

В. М. Ачильдиев главный конструктор МНЭМС, ОАО НПО «Геофизика – НВ».

Работа подготовлена на кафедре

«Системы автоматического управления»

Есаков В. А., Дудко В. Г.

Е81 Основы теории автоматического управления: учебное пособие

/В. А. Есаков, В. Г. Дудко. – М. : ГОУ ВПО МГУЛ, 2013. – 64 с. : ил.

Учебное пособие содержит краткое изложение основ теории автоматического управления, примеры решения типовых задач и контрольные задачи для закрепления практических навыков, связанных с анализом и проектированием систем управления в процессе самостоятельной работы студентов.

УДК 621.078

© В. А. Есаков, В. Г. Дудко, 2013

© ГОУ ВПО МГУЛ, 2013.

Предисловие

Настоящее учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов изучающих дисциплину «Основы теории автоматического управления» по программе подготовки бакалавров направлений: 200100.62 «Приборостроение», 220400.62 «Управление в технических системах», 230100.62 «Информатики и вычислительной техники», а так же может быть использовано студентами специальности 161101.65 «Системы управления летательными аппаратами» и магистратуры по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика».

Учебное пособие включает в себя краткие теоретические сведения по базовым разделам курса таким, как передаточные функции динамических систем и их свойства, структурные схемы и их преобразования, временные и частотные характеристики систем управления, анализ устойчивости разомкнутых и замкнутых систем с помощью алгебраических и частотных критериев.

Кроме того, так как вся теория линейных динамических систем построена на основе широкого использования преобразования Лапласа, то в учебном пособии, в качестве справки, приводятся основные теоремы и свойства преобразования Лапласа.

Для приобретения практических навыков по расчету и проектированию автоматических систем и закрепления знаний, полученных на лекциях и практических занятиях, в учебном пособии, в качестве иллюстрации, рассматриваются решения типовых задач теории управления и приводятся варианты примеров для самостоятельной проработки всех излагаемых разделов дисциплины.

Преобразование Лапласа

Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

(1)

ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s) — изображением или изображением по Лапласу и s — переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.

Предполагается, что функция x(t), подвергающаяся преобразова­нию Лапласа, обладает следующими свойствами:

1. функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интер­вале [0, ∞);

2. x(t) ≡ 0 при t < 0;

3. существуют такие положительные числа с и М, что │x(t)│ < Me^ct при 0 ≤ t < ∞.

Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функ­цией-оригиналом.

Соотношение, определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ > с.

(2)

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде

X(s) = L{x(t)}, x(t)=L^-1{X(s)},

где L — оператор Лапласа, a L^-1 — обратный оператор Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β

L{αx₁(t) +βx₂(t)} = aL{x₁(t)}+βL{x₂(t)},

т. е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преоб­разований слагаемых и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная является функцией-оригиналом, то

где X(s) = L{x(t)}, .

Здесь запись t → +0 обозна­чает, что t стремится к нулю, оставаясь положительной (предел справа).

Если п-я производная х⁽ⁿ⁾(t) является функцией-оригиналом, то

L{ х⁽ⁿ⁾(t)}=sⁿX(s) – s^(n-1) x(0) – s^(n-2)x(0) - … - x^(n-1)(0)

Здесь х^(k)(0) = lim х^(k)(t) k = 0,1,... , n - 1.

^{t → +0}

При x(0) = x(0) =…= x^(n-1)(0) = 0 последняя формула прини­мает вид

L{ х⁽ⁿ⁾(t)}=sⁿX(s).

Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференциро­ванию оригинала соответствует умножение изображения на s.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сво­дится к делению изображения на s:

4. Теорема запаздывания. Для любого τ > О

L{x(t - τ)} = e ^{- τS}L{x(t)} = e ^{- τS}X(s).

5. Теорема дифференцирования изображения. Изображение от произведения t на x(t) равно производной от изображения X(s), взятой с обратным знаком:

6. Теорема о смещении в комплексной плоскости. Изображение от произведения на, получаем заменой переменнойs на в изображенииX(s):

7. Теорема о свертке (умножении изображений). Если x₁(t) и x₂(t) — оригиналы, a X₁(s) и X₂(s) — их изображения, то

Интеграл в правой части называют сверткой функций x\(t) и x₂(i), его обозначают

x₁(t) * х₂(t):

Поэтому

8. Теоремы о предельных значениях. Если х(t) — оригинал, а Х(s) — его изображение, то

и если существует то

В таблице приведены изображения Лапласа для часто используемых функций

№	Оригинал x(t)	Изображение X(s)
1		1
2	1(t)
3
4	t
5
6
7
8
9
10
11
12

Пример 1. Найти изображение для

Решение:

Изображение равно

На основании теоремы 5 изображение X(s) будет равно

Пример 2. Найти изображение

Решение:

Выразим через косинус двойного угла

Изображение

На основании теоремы 6:

Пример 3. Найти изображение

Решение:

Изображение найдено в примере 1.

На основании теоремы 6: изображение получим, заменивs на в предыдущем выражении