Экон. мат. моделирование

Подставляя оптимальное значение, находим G(x1* , x2* ) 551.74(ден.ед.)

4.3.ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ № 4.

В	таблице 4.1		заданы	коэффициенты	,	,	ПФ Кобба-Дугласа
(	)	(	)	.
	Изобразить		изокванту, соответствующую плану (					). Какое
	количество продукта выпускается при этом плане?
	Найти первый, второй предельные продукты для плана (							) и дать
	экономическую интерпретацию полученным результатам.

Каким эффектом от расширения масштабов производства характеризуется производственная функция

Каковы затраты производителя на покупку ресурсов при плане

производства (

) и заданном векторе цен на ресурсы (

)?

Найти самый дешевый (оптимальный) план по ресурсам,

обеспечивающий выпуск такого же количества продукции, что и для

плана (

). Найти аналитически решение этой задачи

o методом Лагранжа

oметодом подстановки.

Сделать геометрическую иллюстрацию решения задачи, изобразив ОДР и целевую функцию линиями уровня.

						Таблица 4.1
Вариант	a0	a1		a2	( x1* , x2* )	(w1, w2 )
1	12	1/2		1/4	(9, 16)	(2, 3)
2	8	1/3		1/2	(8, 16)	(4, 5)
3	10	1/4		1/2	(81, 25)	(3, 6)
4	10	1/5		1/3	(32, 64)	(3, 5)
5	16	1/4		1/5	(81, 32)	(6, 5)
6	12	1/5		1/4	(243, 81)	(5, 7)
7	12	1/2		1/3	(36, 27)	(3, 4)
			51

8	20	1/2	1/4	(25, 16)	(4, 6)
9	14	1/3	1/3	(27, 64)	(3, 7)
10	10	1/4	1/3	(256, 8)	(5. 3)

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 5

" ТЕОРИЯ ИГР”

5.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобрести навык решения матричных антагонистических игр в чистых и смешанных стратегиях, а также принимать решения, используя различные критерии.

5.2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Согласно номеру своего варианта выберите условие задачи и постройте

математическую модель.

2.Постройте матрицу игры и найдите решение матричной игры в чистых стратегиях (5.3 варианты).

3.Найдите решение игры в смешанных стратегиях (5.4 варианты).

4.Найти оптимальные стратегии, используя критерии Вальда, Лапласа, Гурвица и Сэвиджа (5.5 варианты).

Перед решением задач по данной теме следует изучить следующие теоретические вопросы:

1.Область применения теории игр.

2.Основные понятия теории игр: игра, выигрыш, стратегия, оптимальная стратегия, платежная матрица, цена игры, смешанные стратегии и др.

3.Решение матричных игр в чистых стратегиях.

4.Графическое решение игр (2×n) и (m×2).

5.Сведение задачи теории игр с матрицей (m×n) к задаче линейного программирования.

6.Игры с природой: критерии Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа.

52

Задача 5.1.	Дана платежная матрица	(	). Найти решение	в
чистых стратегиях и цену игры.
	Решение
Рассмотрим	платежную матрицу (матрицу		выигрышей первого игрока)
(	) . Элемент , где i – это номер строки в матрице А,			–

номер столбца, есть выигрыш первого игрока, при условии что он выбрал стратегию i, а его противник – стратегию j. Как правило, в этой матрице положительные элементы соответствуют выигрышу первого игрока, а отрицательные – проигрышу первого игрока и соответственно выигрышу второго. Отметим, что это так называемая антагонистическая игра с нулевой суммой (сколько один игрок выиграл, столько другой проиграл). Решить антагонистическую игру – значит указать для каждого игрока стратегии, которые приводят к максимальному выигрышу первого игрока и минимальному проигрышу второго. Оба игрока предполагаются одинаково разумными.

Нижняя цена игры находится по формуле . Согласно формуле, выберем в каждой строке минимальный элемент, а затем из выбранных элементов – максимальный. Получим:

Верхнюю цену игры найдем по формуле . Выбирая в каждом столбце максимальный элемент, затем минимальный из полученных элементов, найдем

Верхняя и нижняя цена игры совпадают и определяют цену игры

. Цена игры достигается на элементе, стоящем во второй строке, третьем столбце. Таким образом, для первого игрока оптимальной будет вторая стратегия, при которой он получит гарантированный выигрыш не менее 4 ед., а для второго игрока оптимальной будет 3 стратегия, при этом он проиграет не более 4 ед.

53

Задача 5.2. На рынке преобладают две фирмы.		Первая фирма, учитывая
стратегии	поведения своего конкурента, разработала свои
собственные стратегии	Прибыль фирмы	в тыс. рублей, когда она

выбирает свою стратегию i, а другая фирма выбирает стратегию j, дана в платежной матрице. Проверить, что игра не имеет седловой точки и найти решение в смешанных стратегиях графическим методом.

	200	300	300	400
	500	200	400	100

Решение

Найдем в матричной игре верхнюю и нижнюю цену игры:

,

.

Поскольку α ≠ β, то в игре нет седловой точки и она не разрешима в чистых стратегиях. При этом первая фирма не должна надеяться на прибыль более 300 тыс. рублей, а прибыль 200 тыс. рублей ей гарантирована.

Найдем решение игры в смешанных стратегиях. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых

стратегий.	Обозначим через	вероятности выбора первой фирмой
стратегий	Тогда смешанная стратегия первой фирмы – это набор
чисел (	), удовлетворяющих соотношениям

Также введем смешанную стратегию для второй фирмы. Это будет набор

вероятностей (	), соответствующий выбору второй фирмой
стратегий	. При этом выполняются соотношения

Ожидаемая прибыль первой фирмы при выборе второй фирмой стратегии составит ( )

Аналогично найдем ожидаемую прибыль первой фирмы при применении второй фирмой стратегий и занесем полученные данные в таблицу:

54

Чистые стратегии второй	Ожидаемая прибыль
фирмы	первой фирмы

Ожидаемая прибыль первой фирмы зависит линейно от одной переменной. Построим графики прямых ( ) для i = 1, 2, 3, 4 в одной системе координат

.

w
500
400		400
		300
200		200
100
			x1
0	1
Figure 1	Рис. 5.1

Первая фирма выбирает такие стратегии, чтобы максимизировать свою минимально ожидаемую прибыль. Линия, определяющая минимальную прибыль, выделена на графике полужирной ломаной, она называется нижней огибающей. Ее максимальное значение достигается в точке x1* пересечения

прямых	( ) и	( ) Для нахождения этой точки надо решить уравнение
		,
откуда получаем		. Это означает, что фирма должна с вероятностью
0.75	выбирать стратегию , и с вероятностью		0.25 выбирать
стратегию	. Значение прибыли первой фирмы в оптимальной точке x1*
		55

будет определять цену игры ( ) 5

Поскольку оптимальное значение цены игры достигается при выборе

второй фирмой стратегий	, то оптимальная смешанная стратегия
второй фирмы получится, если положить		и найти вероятности
выбора первых двух стратегий		.

После исключения из рассмотрения двух стратегий c нулевыми вероятностями, матрица выигрышей будет следующая:

( ).

Вторая фирма стремится минимизировать свои максимальные убытки. Найдем оптимальную стратегию для второй фирмы.

Чистые стратегии первой	Ожидаемые убытки второй
фирмы		фирмы
	̃	(	)
	̃	(	)

Составим уравнение, чтобы найти оптимальную вероятность выбора первой

стратегии для второго игрока:
	(	)	(	).
Решением этого уравнения будет вероятность				. Соответственно
вероятность	.

Таким образом, цена игры ν составляет				275 тыс. рублей. Оптимальная
стратегия первой фирмы		(	),	а оптимальная стратегия второй
фирмы	(	).

Задача 5.3. Предприниматель рассматривает вопрос о поставке партии определенных товаров на рынок. Выгодность этой операции зависит от ряда факторов: стратегий конкурентов, объемов поставок, время экспозиции товара на рынке, уровень спроса и т. д. Маркетинговая служба провела исследования перспектив рынка аналогичных товаров и выявила четыре возможных состояния различающихся по предпочтительности для продвижения собственных товаров. Предприниматель разработал четыре

собственные стратегии продвижения товаров	а аналитический
56

отдел предприятия вычислил величину прибыли для каждой пары стратегий. Результаты расчетов приведены в таблице. Выбрать оптимальные стратегии для предпринимателя, используя критерии Вальда, Лапласа, Гурвица и Сэвиджа.

	32065	34980	20405	2915
	29150	20405	34980	3745
	11660	23320	17490	14575
	20405	40810	2915	20405

Решение

Рассматриваемая задача относится к играм с природой. В качестве второго игрока в таких играх может выступать природа, покупательский спрос, фирма – конкурент и т.д. В таких задачах всегда присутствует неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых действует второй игрок. Первый игрок в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.

Согласно критерию Вальда, который еще называют максиминным критерием, надо для каждой стратегии предпринимателя оценить наименьшую выгоду, а потом из них выбрать самую большую. То есть выбрать ту стратегию, при которой гарантированная прибыль будет наибольшей. Найдем такую величину для нашей таблицы:

Если выбрать стратегию	, то гарантированная прибыль будет составлять
2915 руб., независимо от состояния рынка. При выборе стратегии		– 3745
руб., при выборе стратегии	– 11660 руб., при выборе стратегии	– 2915
руб. Максимальная из гарантированных сумм получается при стратегии			–

11660 руб. Таким образом, если предприниматель не хочет рисковать, а хочет всего лишь выбрать “лучшее из худшего”, ему следует выбрать третью стратегию. При этом его выгода может составлять и 23320 руб., и 17490 руб., и 14575 руб., но меньше гарантированной суммы в 11660 руб. он точно не получит, а эта сумма значительнее, чем при выборе других стратегий.

Перейдем к критерию Лапласа. Этот критерий предполагает, что все состояния наступают с равной вероятностью и нам следует выбрать ту стратегию, средняя прибыль для которой будет наибольшей. Для каждой стратегии вычислим величину

57

∑

и выберем из них наибольшую.

Средняя прибыль для стратегии будет равна

				(			)
Для стратегии							получим:
						(	)
Для стратегии							получим:
			(				)
Для стратегии							получим:
						(	)

Окончательно выбираем max{22591,25; 22070; 16761,25; 21133,75}=22591,25.

Наибольшая средняя прибыль получается при выборе предпринимателем первой стратегии.

Таким образом, если он не боится рискнуть и хочет все-таки получить не плохую прибыль, ему следует, согласно критерию Лапласа выбрать стратегию .

Критерий Гурвица несколько сложнее двух предыдущих и может давать различные решения, в зависимости от того, насколько игрок готов к риску. В качестве количественной характеристики для каждой стратегии используют линейную комбинацию наилучшего и наихудшего результата по данной стратегии, а именно:

( )

где γ называется коэффициентом Гурвица. Выбирается та стратегия, для которой данная величина максимальная.

Коэффициент Гурвица определяет степень пессимизма-оптимизма и изменяется на промежутке [ ] При γ = 0 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда, при γ = 1 – это крайне оптимистичный критерий, то есть игрок выбирает стратегию с самым большим из возможных выигрышей,

58

несмотря на риски. При выборе значения γ следует руководствоваться следующим правилом: чем хуже последствия ошибочных решений, тем γ выбирается ближе к 0.

Выберем γ = 0.8. Для стратегий

получим

( )

( )

( )

( )

Максимальное значение по критерию Гурвица достигается при четвертой стратегии, при этом мы выбрали коэффициент γ = 0.8 достаточно большой, что говорит об оптимизме предпринимателя.

Перейдем к критерию Сэвиджа. Суть критерия состоит в том, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь. Для этого строится матрица “сожалений”, элементы которой вычисляются по формуле

Величина сожалений вычисляется для каждой возможной ситуации как разность между наилучшим при данном состоянии природы результатом и

всеми текущими. Сожаление		показывает, какой убыток понесет игрок
(фирма), если при состоянии		не выберет наилучшей стратегии с
максимальным значением	в этом столбце.

В нашей задаче матрица сожалений будет выглядеть следующим образом:

	32065-32065	40810-34980	34980-20405	20405-2915
	32065-29150	40810-20405	34980-34980	20405-3745
	32065-11660	40810-23320	34980-17490	20405-14575
	32065-20405	40810-40810	34980-2915	20405-20405

Далее лучшую стратегию выбирают по принципу минимакса:

59

	0	5830	14575	17490	17490
	2915	20405	0	16660	20405
	20405	17490	17490	5830	20405
	11660	0	32065	0	32065

Из последней таблицы понятно, что минимальное значение максимального риска достигается при выборе первой стратегии.

5.3.ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ № 5.

1.Два игрока записывают независимо друг от друга любое число от 1 до 3. Затем показывают друг другу листочки. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то первый игрок выигрывает количество очков, равное разности между цифрами, и, наоборот, если разность отрицательна, то выигрывает второй игрок. Если разность равна нулю, то игра заканчивается вничью. Составить платежную матрицу первого игрока и найти решение игры.

2.Петя и Маша выбирают числа x и y от 5 до 7. Если сумма чисел больше 12, то Петя выигрывает у рублей у Маши, если сумма чисел меньше 12, то Маша выигрывает x рублей у Пети. Если сумма чисел равна 12, то ничья. Составить платежную матрицу для Пети и найти решение игры.

3.Два игрока могут выложить на стол от 3 до 6 палочек. Если игрок А выкладывает а палочек на стол, а игрок В выкладывает b палочек на стол, то

при	игрок А проигрывает игроку B		очков, при	игрок B
проигрывает игроку A		очков. В противном случае ничья. Составить
платежную матрицу для игрока A и найти решение.

4. Два мальчика играют в игру: первый выбирает одно из трех чисел 5, 10, 15, а второй – одно из трех чисел 1, 2, 3. Если произведение двух выбранных чисел нечетное, то первый мальчик проигрывает второму количество очков, равное произведению, а если произведение четное – наоборот выигрывает. Составить платежную матрицу для первого мальчика и найти решение.

5. Два игрока выбирают числа a и b от 3 до 6. Если сумма чисел больше 9, то первый игрок выигрывает b очков у второго, если сумма чисел меньше 9, то второй выигрывает a очков у первого. Если сумма чисел равна 9, то ничья. Составить платежную матрицу для первого игрока и найти решение игры.

60