В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр)

20

	39.	y = e x x2 ,				x = 2.
	40.	y = ln(ln x),				x = e .
	41.	y = (1 − x2 )cosx,						x = 0.
	42.	y =	1 + x	,		x = 1.
			x
	43.	y =	x2 +	1	,	x =	1	.
			x2 −	1			2
	44.	y = x3 +		2x + 6,			x = 3.
	45.	y = 3 (1 − x)2 , x = −1.

1
54. y =			,	x = 0 .
	x2 − 3x + 2
55. y = x3 sin x,		x =		π .
				2
56. y = 5x7 − 4x2 + 7x,					x = 1.
57. y = 2x2 + 4x,				x = 1.
58. y = x 3x+1 ,		x = 1.
59. y = ln tg x ,		x = π.
3
60. y = 6x5 − 2x3 − 3x − 4,					x = 0 .

№ 61-90. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на заданном отрезке [a;b].

61.f (x)= 1 +xx2 ; [0;2].

62.f (x)= 3x(100 − x); [−1;1].

63.f (x)= x3; [−1;3].

64.f (x)= x2 (x − 3); [1;3].

65.f (x)= 2x3 + 3x2 −12x −1; [−1;5].

66.f (x)= x −x 2 ; [3;6].

67.f (x)= (x − 3)x; [0;4].

68.f (x)= x3 − 3 x; [− 3;0].

76.f (x)= xx2 ++136 ; [− 5;5].

77.f (x)= 1 x + cosx; π ;π . 2 2

78.f (x)= xx2 +−163 ; [− 5;5].

79.f (x)= xx2++37 ; [− 3;7].

80.f (x)= 1 x − sin x; 3 π;2π . 2 2

81.f (x)=	1	x + cosx;		−	3
	2				2	π;−π .

82.f (x)= xx2 −+511; [− 3;7].

83.f (x)= x − sin x; − 2π;− 3 π . 2 2

21

	69.	f (x)= x + sin x;															[0;π].
		f (x)= x ln x;															1
	70.																				;e .
																2e
	71.	f (x)=						x					; [2;5].
								x2 −1
	72.	f (x)				=					1			;		−				1		;	1
																								.
							1			− x		2								2			2
		f (x)								x2											1
	73.					=								;	0;							.
								x		2	−1										2
			(		)									)			[						]
							(								3;
	74.	f		x		=			x2 −1										0;3 .
	75.	f (x)= 1 + 4x2;																1 ;1 .
								x										5

№ 91-120. Решите задачи.

84. f (x)=		x	− 4	;	[− 4;6].
		x2	+ 3				3
85.f (x)=	x	+ cosx;				− 2π;−
	2						2	π .

86.f (x)= 3 −x3x2 ; [2;4].

87.f (x)= x2 e−x ; [1;3].

88.f (x)= exx ; [1;2].

89.f (x)= x − sin x; [0;π].

90.f (x)= x2 − 8 ln x; [1;e].

91.Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 150 куб. см, причём одна из сторон основания равна 6 см. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

92.Объём правильной треугольной призмы равен 250 куб. см. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

93.Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объёме 125 куб. см каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

94.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

95.Найти размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в полукруг радиусом, равным 5 м.

96.При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка объёмом 1 куб. дм имеет наименьшую полную поверхность?

97.Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км,

22

считая по берегу, от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на вёслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега гонец должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

98.На печатной странице текст должен занимать 180 кв. см. Верхнее и нижнее поля должны быть по 2,5 см, правое -1 см и левое - 3 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

99.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полукруг радиусом 4 м.

100.Канал, ширина которого 2,7 м, под прямым углом впадает в канал шириной 6,4 м. Какова должна быть наибольшая длина брёвен, которые можно сплавлять по этой системе каналов?

101.Из листа картона со сторонами 80 и 50 см требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам одинаковые квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры. Найти размеры этой коробки.

102.Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр этой фигуры P=8. При какой ширине и длине прямоугольника окно будет иметь наибольшую площадь для лучшей освещённости комнаты?

103.Требуется устроить прямоугольную площадку максимальной площади так, чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвёртой стороной примыкала к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры сторон площадки, если имеется 80 погонных метров сетки?

104.Из квадратного листа картона со стороной 60 см требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.

105.Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать 500 литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

106.Стоимость топлива, необходимого для движения океанского танкера, пропорциональна кубу скорости с коэффициентом пропорциональности k=0,02. Все другие виды расходов составляют 40 р. в час. При какой скорости затраты будут наименьшими, если расстояние до порта назначения 1000 км?

23

107.Пункт B находится на расстоянии 60 км от железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта A до ближайшей к пункту B точки C составляет 285 км. На каком расстоянии от точки C надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижение между пунктами A и B, если скорость по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч?

108.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объёмом 32 куб. ед. и так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

109.Закрытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой. Толщина стенок постоянна. Каковы должны быть размеры сосуда, чтобы при данной вместимости V на него пошло минимум материала?

110.Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершённого сверху полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

111.Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы её сопротивление на сжатие было наибольшим?

112.Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объёма V, причём стоимость материала, из которого изготовляется дно бака, равна p1 р., а стоимость квадратного метра материала, идущего

на стенки, равна p2 р. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут наименьшими?

113.Турист идёт из пункта A, находящегося на шоссейной дороге, в пункт B, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от A до B по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт B, если скорость его по шоссе 5км/ч, а по бездорожью - 3км/ч?

114.Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

115.Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, выре-

24

занной из круглого бревна диаметром d, чтобы её сопротивление на изгиб было наибольшим?

116. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает t +t 2 часть

курса, забывает 18t - ю часть. Сколько дней нужно затратить на под-

готовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

117.Полотняный шатёр объёмом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатёр ушло наименьшее количество полотна?

118.Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

119.Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, с наименьшей стрелой прогиба?

120.Найти отношение диаметра цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объёме V наименьшую полную поверхность.

25

№ 121-150. Провести полное исследование данной функции и начертить её график.

121.y = x4 x− 3 .

122.y = x2 + x12 .

	123.	y =		x3		.
			3	− x2
	124.	y =		x		.
			x	2 −1
	125.	y =	4x −12				.
			(x − 2)2

126.y = xx + 3 .

127.y = x2 8− 4 .

128.y = x2x−2 1.

129.y = (x2 −1)3 .

130.y = x3 + x2 .

3

131.	y =		x2		.
		x	2 − 2
132.	y =	(x −1)2 .
		x2 +1
133.	y =	x	2 + 2x − 3				.
				x
134.	y = x3 +			x4		.
				4
135.	y = x3 − 3x2 .

136. y = (x −1)2 (x + 2).

137. y = 6x2 − x4 .

9 − x

138. y = 9 +4xx2 .

	139.	y =	x3		.
			x −	1

140.y = x2 − x − 6 .

x− 2

141.y = x2 (16x − 4).

142.y = (x2 −1)3 .

	143. y =		x4	.
		(1	+ x)3

144.y = 3x5 − 5x3 .

145.y = x3 (x − 5).

146.y = x + x1 .

147.	y =	x4				+ x3 .
		4
						2 −1
148.	y =		2x					.
				x4
149.	y =		x4			− 2x2 .
		4

150.y = 3 − x2 .

x+ 2

26

Контрольная работа № 4

1-30. Найти область определения функции двух переменных. Сделать схематический чертёж.

	1.	z =	1 − x2 − y2 .	16.	z =		xy.
	2.	z = ln(x2 − y).		17.		z =	1		.
							9 − x2	− y2
	3.	z = x + arccosy.		18. z = ln(y(x − 3)).
	4.	z =	y sin x.	19. z =			x2 + y2 − 2.
	5.	z = ln(xy).		20.		z = ln(2x + y).
	6.	z = ln y − ln(cosx).		21.		z = y2 − arccosx.
	7.	z =	4 − x2 − y2 .	22.		z =	x cosy .
	8.	z = ln(x − y).		23.	z =		y ln x.
	9.	z = 2x + arcsiny.		24.			1
					z =		2 − x2 − y2 .

10.z = x sin y .

11.z = x ln y .

12.z = ln(x(y −1)).

13.z = 16 − x2 − y2 .

14.z = ln(x + y).

15.z = arccosy − x.

25.z = x2 + y2 − 4.

26.z = ln(2y − x2 ).

27.z = y + arcsinx.

28.z = y cosx.

29.z = x2 − y .

30.z = ln x − ln(sin y).

31-60. Дана функция z=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

31.	z = exy ; x2 ∂2z	− y2			∂2z				= 0.
					∂y2
	∂x2
32.	z = e−cos(ax+y);	a2	∂2z				=		∂2z .
			∂y2
									∂x2
33.	z = ln(x2 + y2 + 2y +1);								∂2z +	∂2z	= 0.
										∂y2
									∂x2
34.	z = sin2 (y − ax);	a2		∂2z					= ∂2z .
				∂y2
									∂x2

27

35.

z = y

;

x2 ∂2z

+ 2xy

∂2z

+ y2

∂2z

= 0.

∂x∂y

∂y2

x

∂x2

36.

z = y

y

;

x2 ∂2z

− y

2 ∂2z

= 0.

x

∂x2

∂y2

37.

z =

x ;

x2 ∂

2

z − ∂

= 0.

y2

∂z

y

∂x2

∂y

∂y

sin(x − y)

∂

∂z

∂2z

38.

z =

;

x2

− x2

= 0.

x

∂x

∂y2

∂x

∂

2

∂

2

z

39.

z = arctg x

;

z +

= 0.

∂x2

∂y2

y

y

40.z = e x ;

41.z = xy ;

∂		2	∂z		2	∂2z
	x			− y			= 0.
						∂y2
∂x			∂x

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

42.

z = ex (cosy + xsin y);

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

43.

z = e2xy2;

2

∂2z = 4

∂2z

.

y2

∂x2

∂y2

44.

z = ex sin y;

∂2z

+

∂2z

= 0.

∂x2

∂y2

2

∂

2

∂

2

z

45.

z = e(x+2)y

;

x + 2

z −

= 0.

y

∂x2

∂y2

46.

z = x3 + xy2 − 5xy3 + y5;

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

47.

z = 4y2

x;

2

∂

2

z

+ ∂

2

z = 0.

8 x

∂x2

∂y2

y

48.

z = exy

2

y3

∂2z

∂2z

;

2(y2x +1)

=

∂x2 .

∂y∂x

49.

z = ln(x + y2 );

2y

∂2z

=

∂2z

.

∂x2

∂y∂x

50.

z =

x

;

∂2z

=

∂2z .

y2

∂x∂y

∂y∂x

28

51.

z = esin(x+2y);

4

∂2z

=

∂2z

.

∂x2

∂y2

52.

z = cos2 (y + 3x);

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

53.

z = 2x3 5y +1;

∂2z

=

∂2z .

∂x∂y

∂y∂x

54.

z = e3y cosx;

9 ∂2z +

∂2z

= 0.

∂y2

∂x2

55.

z = x3y2 − 3xy3 − xy +1;

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

56.z = 3axy − x3 − y3;

57.z = x3y + ln y − x;

y ∂2z = ∂2z . x ∂x2 ∂y2

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

58.	z = ey cos5x;	25		∂2z			+	∂2z		= 0.
								∂x2
				∂y2
59.	z = axy ; x2	∂2z =			∂2z				.
	y2	∂x2			∂y2
60.	z = ln(xy +1);		∂2z			=		∂2z		.
			∂x∂y					∂y∂x
	61-90. Дана функция z=f(x,y) и две точки A(x0 , y0 ) и B(x1 , y1 ). Требу-

ется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точ-

ке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0 , y0 , z0 ).

61.	z = x2	+ 3xy + y2 ,	A(3,1),	B(3,05;1,02).
62.	z = xy + y2 − 2x, A(2,1),			B(2,03;0,96).
63.	z = x2	+ y2 − x + y,	A(− 2,2),		B(− 2,02;2,05).
64.	z = 2x2 + 2xy − y2 ,		A(1,3),		B(0,95;2,94).

									29
65.	z = x2 + 3xy − y2 ,		A(1,3),				B(0,96;2,95).
66.	z = xy + 2x − y,	A(2,2),				B(1,93;2,05).
67.	z = 3y2 − 9xy + y,		A(1,3),				B(1,07;2,94).
68.	z = xy + x − y,	A(1,5;2,3),					B(1,43;2,35).
69.	z = y2 − xy − x2 ,		A(− 4,5),				B(− 3,92;5,06).
70.	z = x2 + y2 − x − y,			A(1,−3),				B(1,08;−2,94).
71.	z = x2 + 2x + y2 ,		A(1,2), B(1,03;1,97).
72.	z = 2x2 − 9xy − y,		A(1,1),				B(0,98;1,03).
73.	z = 3y2 + xy − x − y,			A(2,1),				B(1,96;0,99).
74.	z = xy + y2 − x,	A(3,2),				B(3,03;1,92).
75.	z = 2x + 3y − y2 ,		A(1,2),			B(1,08;2,01).
76.	z = y − xy + x2 ,	A(1,3),				B(0,96;3,05).
77.	z = 2y2 − 3x2 − x + 2y,				A(− 2,1),				B(−1,93;0,92).
78.	z = 3y2 − 2xy + x2 ,			A(3,−1),				B(3,04;−0,93).
79.	z = 7x + 8y − xy,		A(5,3), B(4,98;3,03).
80.	z = x2 − y2 + 5xy,		A(− 3,−2),					B(− 3,02;−1,98).
81.	z = y2 − 3xy + x2 ,		A(−1,1),					B(− 0,96;1,04).
82.	z = x + y − 4y2 ,	A(2,−5),				B(2,01;−4,93).
83.	z = 2x2 + y2 − x − 2y,				A(− 2,3),				B(−1,97;2,94).
84.	z = 7x2 + y2 − 3x,		A(1,2),				B(1,01;2,03).
85.	z = x + y − 8xy,	A(3,2),				B(3,04;1,98).
86.	z = 4xy + y2 − 2x2 ,			A(5,2),				B(5,07;2,04).
87.	z = 8x2 + 7y2 − 5y,			A(1,2),				B(0,95;2,05).
88.	z = 3x + 4y − y2 ,		A(−1,−1),					B(− 0,93;−1,04).
89.	z = x2 − y2 + xy,		A(3,−1), B(3,01;−1,08).
90.	z = 3y − 5xy − y2 ,		A(2,−1), B(1,92;−1,03).
	91-120. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y)
в замкнутой области. Сделать чертёж.
91.	z = x2 + y2 − xy − 4x				в		треугольнике, ограниченном прямыми
	x = 0, y = 0, 2x + 3y −12 = 0.