В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания

10

б)

у =

х2 +

2

.

3 −

х

;3)

Область определения функции (-∞

(3;+∞

).

lim

x2

+

2

=

lim

x

2

= #∞ .

3 − x

−

x

x→

±∞

x→

±∞

В точке x=3 функция терпит разрыв.

lim

x2 +

2

11

#∞ ,

то есть разрыв 2-го рода и x=3 – урав-

=

=

− x

x→

3± 0 3

# 0

нение вертикальной асимптоты.

Находим наклонные асимптоты:

k =

lim

x2

+ 2

lim

x2 +

2

∞

lim

x2

− 1,

=

=

=

=

(3 −

x) x

3x −

x2

∞

x2

x→

∞

x→ ∞

x→ ∞ −

x

2

+

2

(−

1)

2 +

3x

3x

b =

lim

−

x =

lim

=

lim

=

− 3.

x→

∞

3 − x

x→ ∞

3 − x

x→ ∞

− x

y = - x -3 – уравнение наклонной асимптоты.

Исследуем функцию на экстремум:

x2

+ 2

′

2 + 6x − x2

2

y′

=

= 0, 2 + 6x –x = 0

=

3 −

x

(3 −

x)

2

x1≈ - 0,3 ; x2 ≈ 6,3 – критические точки на экстремум.

y′	–	•	+	ο	+	•	–
y	убыв.	- 0,3 возр.		3 возр.		6,3 убыв.

	ymin(-0,3)≈		0,6; ymax(6,3)≈		- 12,6.
	(Исследование графика данной функции на выпуклость и вогну-
тость можно не проводить).
	Составляем таблицу характерных значений функции и строим ее
график с учетом асимптот.
x		- ∞		- 0,3		3-0	3+0	6,3	+∞
y		+∞		0,6		+∞	- ∞	- 12,6	- ∞

11

Контрольная работа № 3 Функции нескольких переменных

1. Найдите частные производные второго порядка функции z [2, c.48-52].

			а) z =		(− 1)n mx3 ym− n +				(n − 2m)x2n− m y3 + nxy,
			б) z =		mxn− 5 + nym + х.
			Пример:
z = 2x3/y + 4x2y3 + x – 1.
z'x	=		y =	const		=	2 3x2 / y + 4 2xy3 = 6x2 / y + 8xy3 + 1,
z'y	=		x =	const		=	− 2x3 y−	2 +	4x2 3y2 ,
z''		=	( 6x2 / y +			8xy3 + 1)'		= 12x / y + 8y3 ,
xx							x
z''		=	( − 2x3 y− 2 +				12x2 y2 )'		= − 2x3 ( − 2 )y− 3 + 12x2 2 y =
yy								y
= 4x3 / y3 + 24x2 y,
z'xy' = z'yx'				= ( z'x )'y = ( 6x2 y− 1 + 8xy3 + 1)'y = − 6x2 y− 2 + 24xy2 .

2.Найдите экстремумы функций [2, c.57-59].

а) z = (− 1)m nx2 + (− 1)m my2 + 4nx − 2my + n,

12

б)

z = (− 1)n mx2 +

(− 1)m ny2 −

2mnxy +

m.

Пример: z =

3x2 +

y2 + 12x −

2 y + 2.

Находим частные производные и критические точки на экстре-

мум:

'

= 6x +

12y

6x +

12 = 0

x = − 2

zx

,

,

- критическая точка.

z'

= 2 y

− 2

2 y −

2 = 0

y = 1.

y

Находим вторые частные производные и их значения в критиче-

ской точке:

z'xx' = 6 = A,z'yy' = 2 = C,z'xy' = 0 = B.

Вычисляем значение ∆

=AC –B2 = 12.

Т.к. ∆ >0, то в критической точке существует экстремум. С учетом

того, что А, В>0, то это минимум.

Вычисляем значение минимума функции zmin =

− 11.

Нетрудно проверить,

что

функция

z =

3x2 − y2 +

12x −

2 y + 2

не

имеет экстремумов, т.к. в этом случае ∆

< 0.

направлению

вектора

$

3. Найдите градиент и производную

по

а

функции z в точке М .

z =

(m − 2n)x2 y + (n − 2m)xy2 + (n − m)xy + m,

$

a = {m − 4, n − 3} , M (5 − m, n − 6).

Пример: z =

3x2 y − 2xy2 +

3xy +

$

{− 1;2} ,M ( −

3;1).

1,a =

Находим частные производные и их значения в точке М:

z'x = 6xy − 2y2 + 3y, z'y = 3x2 − 4xy + 3x.

z'x( − 3;1) = − 17,

z'y ( − 3;1) = 30.

Полученные значения являются координатами градиента функции

в заданной точке, т.е. grad z =

{− 17;30} .

Вычисляем производную функции в точке М по

направлению

вектора

$

:

$

а

−

1

2

77

z'a$

=

a

− 17

+

30

=

≈ 34,4.

grad( z ) $ =

12

+ 22

+ 22

5

a

12

Контрольная работа № 4 Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.

1. Найдите неопределенные интегралы [2, c.4-18].

13

а) ∫

[ mx3 + ( m − n )x + ( − 1)m n ]dx

,

( − 1)n x + ( 2m − 3n )

б) ∫

[ nx2 + ( n −

5 )x + ( − 1)n m ]dx

.

x

2 − ( n + 1)x + n

Пример: ∫

( 3x3

+ 4 )dx

.

x2 −

x − 2

Выделяем целую и дробную части функции:

3х3+4

I x2-x-2

-( 3x3-3x2-6x)

I 3x+3

3x2+6x+4

-(3x2-3x-6)

9x+10,

т.о.

3х3 +

4

= (3х+3) +

9

х + 10

.

х2 − х − 2

х2

− х −

2

Раскладываем знаменатель на простейшие множители:

х2-х-2 = 0; х1 = -1, х2 = 2. Тогда х2-х-2 = (х+1)(х-2).

Раскладываем дробную часть на сумму простейших дробей:

9х + 10

=

А

+

В

=

А( х − 2 ) + В( х + 1)

=

х2 − х −

2

х +

1

х −

2

х2 − х − 2

=

( А + В )х + ( − 2А + В )

,

А +

В =

9

А = − 1

/ 3

.

х2 − х − 2

2А +

В =

10,

В = 28

/ 3

−

Интегрируем целую часть и простейшие дроби:

∫

( 3x3

+ 4 )dx

= ∫( 3х + 3

+

− 1

/ 3

+

28

/ 3

)dx =

x2 − x − 2

х + 1

х −

2

=

3

х

2

+ 3х

-

1

Ln

x + 1

+

28

Ln

x − 2

+ С.

2

3

3

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-

ций [2, c. 21-32].

y = (− 1)m x2 / 3n + (− 1)m+ 1n / 3, y2 = n(x + n) / 3.

Пример: у = (х+3)2, у2 = 8(х+3).

Строим графики функций и находим координаты их общих точек:

14

(х+3)4 = 8(х+3), х1 = -3;

(х+3)3 = 8, х2 = -1.

Вычисляем площадь фигуры, ограниченной графиками заданных

функций:

2

3

− 1

S = ∫[ 8( x +

3 ) − ( x +

3 )2

]dx = [8

( x + 3 )

−

( x + 3 )

]

−− 13 =

− 3

2

3

= 8

22

−

23

= 16 −

8

=

40

≈ 13,33.

2

3

3

3

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения [2,

c.62-66].

y′ = mxm− 2n ym / n.

Пример: у′

= 4х3у3/2.

		Это дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-
ными.
		Записываем производную как отношение дифференциалов
	dy	= 4х3у3/2, разделяем переменные							dy	= 4x3 dx	и интегрируем
	dx								y3 / 2
	∫ у− 3 / 2dy = 4∫x3dx .
		Имеем у-1/2/(-1/2) = 4х4/4 + С.
		Окончательно получаем
		у = 1/(х3+С)2.
		4. Решите задачу Коши [2, c.67-71].
			′	m y			n− 2m
		y		+ (− 1) x = nx				+ m, y(1) = 2m − 3n.

15

Пример: у′ - у/х = 3х2 +2, у(1) = -4.

Это линейное дифференциальное уравнение.

Ищем общее решение в виде y =u v, тогда у/ = u′v + uv′ и u′v + uv′ - uv/x = 3x2 + 2.

Находим v из уравнения

v′ - v/x = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем, имеем

∫

dv

=

∫

dx

,

ln v = ln x

v = x.

v

x

Тогда u′x = 3x2+ 2,

u′ = 3x + 2/x .

u =

3x +

2

=

3x

2

+ ln

+ C .

∫

dx

x

x

2

Общее решение имеет вид: y = (3x2/2 + 2ln x + C) x . Находим С из начального условия: - 4 = 3/2 +C, C = -11/2 .

Получаем решение задачи Коши: y = (3x2/2 + 2ln x - 11/2) x .

Контрольная работа № 5 Теория вероятностей

1. Студент может сдать первый экзамен с вероятностью р1= =m/(m+1), второй – с р2= n/(n+1), третий – с р3= m/(m+n). Какова вероятность того, что студент сдаст а) три экзамена; б) ровно два экзамена; в) только один экзамен; г) хотя бы один экзамен; д) не сдаст экзамены

[3, c.9-20].

Пример: р1=2/3, p2=3/5, p3=4/7.

Рассмотрим три независимых события А1, А2, А3 – студент сдаст 1- й, 2-й, 3-й экзамен. По условию имеем

Р(А1)=2/3; P(A2)=3/5; P(A3)=4/7.

Событие А – студент сдаст 3 экзамена – выражается как А = А1 А2 А3. По формуле вероятности произведения независимых со-

	бытий получаем									2		3				4			8
	P(A) =	P(	A)	Р( А ) Р( А ) =														=		≈ 0,23.
			1	2			3			3	5			7					35
	Событие В – студент сдаст ровно 2 экзамена – равносильно сле-
	дующему:	В =	А1 А2				А1
					А3 +			А2 А3 +							А1 А2 А3 , где слагаемые есть

16

несовместные события. По формулам вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий имеем

Р( В ) = Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =

=	2		3	(1−					4		) +			2			(1−						3						)				4			+		(1−						2		)	3			4			==				46						≈ 0,44.
																						5																									5									105
3		5			7							3																				7						3										7
			Событие С – студент сдаст ровно 1 экзамен. Аналогично получа-
ем следующее:
Р( С ) = Р( А1 )Р(
															А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =
=	2	(1−				3	)(1−					4	) + (1							−				2					)			3			(1			−	4			) + (1−							2			)(1				−			3	)				4		=			29			≈ 0,28.
												7										3																										3															7
3					5																											5						7																		5											105
			Для события D – студент не сдаст все экзамены – также имеем:
P( D ) =						P(				)P(									)P(												) = (1−											2			) (1			−			3			) (1−							4				) =				2		≈ 0,06.
								A								A										A
					1							2										3																3										5								7											35
			Событие Е – студент сдаст хотя бы 1 экзамен –противоположно
событию D. Поэтому																						2												33
P( E ) =					1− P( D ) = 1−																							=										≈ 0,94.
																																		35
																				35

2. Имеется (4+(-1)n) лотерейных билетов, из которых каждый (m+2) выигрышный. Составить закон распределения случайной величины – числа выигрышных билетов из имеющихся. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины [3, c.20-24].

Пример. Число билетов – 3, каждый 20-й выигрышный.

По формуле Бернулли для n = 3, p = 1/20 = 0,05 вычисляем вероятности появления 0,1,2,3 выигрышных билетов из имеющихся:

Р ( 0 ) =	С0	0,050 (1−	0,05 )3	=	0,953 ≈ 0,9574,
3	3
Р (1) =	С1 0,051 (1− 0,05 )2 =			3 0,05 0,952 ≈ 0,1354,
3	3
Р ( 2 ) =	С2	0,052 (1−	0,05 )1	=	3 0,052 0,951 ≈ 0,0071,
3	3
Р ( 3) =	С3	0,053 (1 −	0,05)0	=	0,053 ≈ 0,0001.
3	3

Проверка: Р3( 0 ) + Р3(1) + Р3( 2 ) + Р3( 3 ) ≈ 1,0.

Закон распределения случайной величины Х – число выигрышных лотерейных билетов из 3-х – приведен в таблице.

хк	0	1		2	3
рк	0,8574		0,1354	0,0071	0,0001

17

Вычисляем числовые характеристики случайной величины (значения вероятностей округлены до сотых):

Математическое ожидание -

М(Х) = р1х1 +…+ ркхк ≈ 0 0,86 + 1 0,14 + 2 0,01+ 3 0 = 0,16.

Дисперсия –

D(X) = p1x12 +…+ pkxk2 - M2(X) ≈

≈ 02 0,86 + 1 2 0,14 + 2 2 0,01+ 32 0 − 0,162 ≈ 0,15.

Среднее квадратическое отклонение –

σ( Х ) = D( X ) ≈ 0,15 ≈ 0,39.

3. Среднее число клиентов, приходящих в фирму в течение часа, равно n/(n+m). Какова вероятность того, что в течение двух часов в фирме появятся а) 1 клиент; б) 2 клиента; в) 0 клиентов; г) хотя бы один; д) не менее трех клиентов [3, c.29-32].

Пример: λ = 0,65клиента/час.

Вероятность появления к событий за время t определяется форму-

лой Пуассона
P ( t ) =	( λt )k e− λtt		.
k		k!
				0,65,t = 2 λt = 1,3.
По условию задачи λ =
а) Р1(2) = 1,31 е-1,3 ≈ 0,353;
б) Р2(2) = 1,32 е-1,3/2 ≈				0,230;

в) Р0(2) = 1,30 е-1,3 ≈ 0,273.

Событие – появление хотя бы одного клиента – противоположно событию – не появление клиентов в течение 2-х часов, поэтому

г) Рк≥ 1(2) = 1- Р0(2) = 1 – 0,273 = 0,727.

Событие – появление не менее 3-х клиентов противоположно событию – появление 0 или 1, или 2-х клиентов, поэтому

д) Рк≥ 3(2) = 1 – (Р0(2) + Р1(2) + Р2(2)) = = 1 – (0,273 + 0,354 + 0,23) = 0,143.

4. Случайная величина Х- месячная заработная плата работника

предприятия	распределена	по	нормальному закону с параметрами
а= 2 + (− 1)m m /(m + n) тыс.р.; σ = 0,6 +				(− 1)n m / 20 тыс.р. Каков процент
работников,	получающих	а)	более	(1+m/(m+1)) тыс.р.; б) менее

(2+n/(n+1)) тыс.р.; в) от 1,5 до 2,5 тыс.р. [3, c.24-29]. Пример: а = 1,74; σ = 0,42.

18

Вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в интервал (α; β) определяется по формуле Лапласа

β−

а

α −

а

Р(α<x<β) = Ф

σ

– Ф

σ

.

Значения Ф(x) находятся по прил. 1.

а) α = 2; β= +∞ .

+ ∞

− 1,74

2 −

1,74

P(x>2)= Ф

− Ф

= Ф(+∞ ) – Ф(0,62) =

0,42

0,42

= 0,5 - 0,23 = 0,27.

б) α = -∞ ; β=3.

Р(Х<3) = Ф(

3 − 1,74

) −

Ф(

− ∞ − 1,74

) = Ф( 3,24 ) − Ф( −∞

) =

0,42

0,42

= 0,499+0,5 = 0,999.

в) α = 1; β=4

4 − 1,74

1− 1,74

Р(1<Х<3) = Ф(

) − Ф(

) = Ф( 5,62 ) − Ф( −

1,76 ) =

0,42

0,42

=0,5 +0,46 = 0,96.

Таким образом, заработную плату более 2-х тыс. р. имеют 27% работников, менее 3-х тыс. р. – 99,9% и от 1 до 4-х тыс. р. – 96% работников.

Контрольная работа № 6 Математическая статистика

Сначала необходимо выбрать номер своего варианта. Для этого число (10m+n) следует поделить на 4. Остаток от деления и будет номером варианта (остатку 0 соответствует 4-й вариант). Затем к каждому значению х исходной табл. 6.1 следует прибавить m, а к каждому значению у прибавить n. Полученные данные используются для выполнения следующих заданий:

1. Для признака Х составить вариационный ряд, вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение. Построить гистограмму [4, c. 186-

195, c . 198-208].

2.По критерию согласия Пирсона проверить гипотезу о соответствии выборочных данных теоретическому закону распределению случайной величины Х на уровне значимости 0,05 [4, c. 334-341].

19

3.Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х и У. Найти выборочное уравнение линейной регрессии. Построить теоретическую линию линейной регрессии

[4, c. 250-269].

							Таблица 6.1
	Вариант 1		Вариант 2		Вариант 3		Вариант 4
	X – брак, %		X – производитель-		X – среднийбалл		X – объемпроизводст-
			ность, т/мес.,		диплома,		ва, млн. шт.,
	Y – себестоимость, р.
			Y – прибыль, тыс. р.		Y – зарплата, тыс. р.		Y – себестоимость, р.
N	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
1	2,1	14	5,15	143	4,88	4,00	26	81
2	3,2	10,5	7,02	200	3,95	2,57	27	78,4
3	2,2	15,1	5,48	152	3,64	2,38	29	71,2
4	2,6	13	5,44	154	4,16	2,70	30	76
5	2,5	14,25	4,46	131	3,96	3,00	30	79,3
6	2,4	14,52	4,44	120	3,88	2,53	28	77,6
7	2,2	14	5,61	156	3,78	2,47	29	76,8
8	3,1	13,6	5,31	148	4,28	2,90	25	84,6
9	1,8	16,14	5,68	165	4,18	2,71	37	75,4
10	2,3	14,79	5,48	153	4,10	2,66	36	71,2
11	3,1	12,63	5,2	141	3,62	2,10	32	74,4
12	2	15,6	5,81	162	4,22	2,73	28	77,6
13	2,5	14,25	6,39	171	4,07	2,64	45	64
14	2,1	17,5	5,62	140	3,91	4,20	31	75,2
15	2,3	14,79	6,02	175	3,75	2,70	30	76
16	2,1	15,33	5,31	148	3,25	2,15	32	74,4
17	2,6	18	4,8	120	3,50	2,30	38	83,4
18	2,8	13,44	5	148	3,80	2,48	30	79,4
19	2,3	14,79	5,05	151	4,71	3,03	26	80
20	2,6	14,7	5,89	164	3,61	2,37	36	67,4
21	2,4	14,52	5,91	163	4,58	2,50	40	68
22	2,2	16,3	5,17	144	3,86	2,52	31	77,2
23	1,3	17,49	4,78	145	3,55	2,33	28	70,5
24	2,5	14,25	5,51	168	3,12	2,00	27	78,4
25	2	13,1	5,01	151	3,19	2,11	50	65,2
26	2	15,6	5,82	162	3,81	2,48	28	77,6
27	1,8	16,14	6,32	184	3,92	2,70	29	78,1
28	2,7	13,71	4,62	129	3,95	2,57	35	72
29	2,3	16,4	4,35	138	3,98	2,90	33	70,4
30	2,6	13,98	5,28	158	4,28	2,77	33	74,3
31	2,1	17,4	4,53	127	3,61	1,80	39	65,2
32	2,4	14,52	5,08	132	4,03	2,30	34	74,6