В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания

20

Продолжение табл. 6.1

33	2,7	13,71	4,85	147	3,86	2,52	30	76
34	1,8	19,5	6,73	187	3,79	2,47	29	72,1
35	2,1	15,33	4,76	133	3,43	2,26	29	78,3
36	2,2	16,8	6,11	182	3,98	2,59	27	84,7
37	2,7	13,71	5,82	156	4,14	2,68	29	79,2
38	2,5	14,25	5,29	139	4,16	2,69	31	70,7
39	2,3	14,79	6,26	174	3,91	2,80	41	60,7
40	2,7	13,71	4,6	124	3,74	2,45	28	77,6
41	2,4	14,52	5,53	154	4,25	2,75	25	80
42	2	14,5	5,59	168	4,08	2,65	43	68,6
43	2,6	13,98	5,13	143	4,41	2,85	36	71,2
44	3	11,4	6,09	179	4,33	2,80	34	72,8
45	2,3	14,79	6,67	203	3,93	2,56	30	76
46	2	15,6	5,22	146	3,58	2,35	33	73,6
47	2,2	15,06	5,77	161	3,87	2,52	35	72
48	2,2	15,06	5,61	160	3,68	2,60	26	79,2
49	2,7	13,71	5,23	146	4,23	3,10	34	72,8
50	2,2	15,06	6,15	171	3,66	2,39	35	74,2

Пример. На угольных предприятиях исследовали производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина Х). Результаты наблюдений приведены в табл.6.2.

									Таблица 6.2
№	Х	№	Х	№	Х	№	Х	№	Х
1	0,32	11	0,19	21	0,16	31	0,15	41	0,15
2	0,16	12	0,16	22	0,33	32	0,18	42	0,19
3	0,27	13	0,14	23	0,23	33	0,21	43	0,31
4	0,25	14	0,27	24	0,35	34	0,26	44	0,22
5	0,29	15	0,18	25	0,20	35	0,27	45	0,23
6	0,17	16	0,24	26	0,17	36	0,22	46	0,36
7	0,18	17	0,12	27	0,25	37	0,23	47	0,31
8	0,22	18	0,24	28	0,20	38	0,16	48	0,21
9	0,29	19	0,21	29	0,18	39	0,18	49	0,16
10	0,25	20	0,23	30	0,17	40	0,17	50	0,28

Задание 1. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг)

21

			h =		xmax − xmin			,
					1+ 3,2lg n
где	xmax ,	xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения
признака Х;		n - объем выборки. Из табл. 6.2								находим xmax = 0,36 ;
xmin	= 0,12 ;	n = 50. Тогда
		h =	0,36 − 0,12		=	0,24	≈ 0,037		≈	0,04.
		1+ 3,2lg 50			6,44

При этом шаг рассчитываем с той же точностью, с которой заданы исходные данные.

		Определим		границы				интервалов [l0 ,l1),[l1,l2 ),...,[lk − 1,lk ],						где
l0 =		xmin = 0,12;		l1 =	l0 + h =	0,12 + 0,04 = 0,16;...,					lk		= lk − 1 + h и так	до
тех пор, пока xmax =					0,36 не попадет в последний интервал.
		Составим интервальный вариационный ряд (табл.6. 3).
													Таблица 6.3
№		Интервалы		Частота mi					Относительная				Накопленная
													относительная час-
										частота pi
													тота Fi
1		2			3			4					5
1		0,12 - 0,16			4			0,08					0,08
2		0,16 - 0,20			16			0,32					0,40
3		0,20 - 0,24			14			0,28					0,68
4		0,24 - 0,28			8			0,16					0,84
5		0,28 - 0,32			5			0,10					0,94
6		0,32 - 0,36			3			0.06					1,00
					50			1
		Частота mi - число значений признака Х, попадающих в i − й												ин-
тервал [li− 1,li )			(столбец 3). При этом сумма частот должна равняться
объему выборки, ∑ mi = n.
				i					mi
		Относительная частота				p =				попадания в	i −		й интервал служит
						i			n

оценкой вероятности того, что признак Х примет значение, принадлежащее i − му интервалу (столбец 4). Их сумма должна быть равна еди-

нице: ∑ pi = 1.

i

22

Накопленная относительная частота Fi (столбец 5) определяется как сумма относительных частот i − го и всех предшествующих ему интервалов.

Для вычисления выборочных характеристик составим расчетную таблицу.

											Таблица 6.4
	x	m	i	xi mi	xi − x	(x	i	− x)2	(x	i	− x)2 m	i
№	i
	2	3		4	5			6			7
1	0,14	4		0,56	-0,08	0,0064				0,0256
2	0,18	16		2,88	-0,04	0,0016				0,0256
3	0,22	14		3,08	0			0			0
4	0,26	8		2,08	0,04	0,0016				0,0128
5	0,30	5		1,50	0,08	0,0064				0,0320
6	0,34	3		1,01	0,12	0,0144				0,0432
		50		11,11						0,1392

Во

2-м столбце

таблицы

записаны середины интервалов

x

=

li − 1 +

li

. Например,

x1 =

1

(0,12 + 0,16) = 0,14 – середина первого

i

2

2

интервала.

Рассчитаем числовые характеристики интервального ряда. Выбо-

6

∑ ximi

11,11

рочное среднее равно:

x =

i = 1

=

≈

0,22.

50

n

6

x)2 mi

Sx2 =

∑ (xi

−

0,1392

Выборочная дисперсия

i = 1

=

≈ 0,0028 .

n

50

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Sx =

Sx2 =

0,0028 ≈

0,053.

По данным интервального ряда (табл. 6.3) построим гистограмму

(рис.6.1). По оси OX откладываем интервалы, по оси OY соответствующие им частоты.

				23
mi
16
12
8
4
0	0,16	0,20	0,24	0,28	0,32	X
0,12						0,36
Рис.6.1. Распределение производительности труда рабочих

Задание 2. По виду гистограммы предполагаем, что производительность труда Х распределена по нормальному закону. Кроме того, проверим, удовлетворяют ли выборочные числовые характеристики особенностям этого распределения. Имеем, во-первых,

		xmax +	xmin		=		0,12 +	0,36		=	0,24,
2						2
что близко к x ≈ 0,22; и, во-вторых,
	xmax −		xmin		=	0,36 −		0,12	=		0,04
6						6

близко к Sx ≈ 0,053, что не противоречит сделанному предположению

о характере распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет два параметра, a и σ , которые оценены как a = x ≈ 0,22 , σ = Sx ≈ 0,053.

Итак, функция плотности вероятности теоретического закона распределения имеет вид

	1		−	(x− 0,22)2
					2
f (x) =			e 2(0,053)
	0,053	2π

Для проверки согласованности теоретического и наблюдаемого распределений рассчитаем теоретические частоты, округляя их значения до целых. Результаты вычислений приведены в табл. 6.5.

24

Таблица 6.5
	№	x		i	t	i	=		xi − x		ϕ (ti )	mT	=		nh	ϕ	(t	)	mi
									σ						σ
												i					i
	1		2					3			4			5					6
	1		0,14				-1,51				0,1276			5					4
	2		0,18				-0,75				0,3011			11					16
	3		0,22					0			0,3989			15					14
	4		0,26					0,75			0,3011			11					8
	5		0,30					1,51			0,1276			5					5
	6		0,36					2,26			0,0310			1					3
														48					50

	Построим на одном рисунке полигоны наблюдаемых и теоретиче-
ских частот производительности труда.
miT	mi
	16
	12
	8
	4
	0						X
	0.14	0.18	0.22	0.26	0.30	0.34
	Рис.6.2. Полигоны наблюдаемых и теоретических частот
		полигон наблюдаемых частот,
		полигон теоретических частот.

Между теоретическими и наблюдаемыми частотами есть расхождение, которое можно объяснить либо случайными причинами (например, недостаточным числом наблюдений), либо тем, что сделан неверный выбор закона распределения. Проверим это с помощью крите-

	2	2	r	(m	− mT )2
			∑	i	i
рия χ		Пирсона: χ расч. =				.
					mT
			i= 1
					i

Результаты расчетов приведены в табл. 6.6.

25

								Таблица 6.6
№	mi	mT	m − mT		(m − mT )2			(mi − miT )2
		i	i	i	i	i		mT
								i
1	2	3		4		5	6
1	4	5		4		16	1
2	20	16
	16	11
3	14	15		–1		1	0,07
4	8	11		–3		9	0,82
5	5	5		2		4	0,67
	8	6
6	3	1
	50	48					χ 2расч = 2,56

Замечание. Для обеспечения большей обоснованности выводов интервалы с частотой объектов m i < 5 лучше объединить с соседними интервалами.

По прил. 5 из [4] "Критические точки распределения χ 2 " определим предельно возможную величину расхождений χкрит2 . (α ,k) в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы,

k =	r −	s −	1,	где r - число интервалов после объединения,		s –	число
параметров распределения. В нашем случае, α = 0,05, r =						4, s =	2, т.е.
k =	4 −	2 −	1 =	1. Так как χкрит2	. (0,05;1) = 3,8 и χ 2расч. = 2,56 <3,8 =		χкрит2	. ,

то различие между теоретическими и наблюдаемыми частотами незначимо. Следовательно, теоретический закон распределения согласуется с опытными данными.

Вывод: производительность труда рабочих при проходке штрека распределена по нормальному закону с функцией плотности вероятно-

		1		−	(x− 0,22)2
						2
стей	f (x) =			e 2(0,053)			.
		0,053	2π

Задание 3. Исследование линейной корреляционной зависимости двух случайных признаков.

Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Y – производительностью труда рабочих и Х – стажем работы по данным, приведенным в табл. 6.7. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии y по x и построить ее.

26

									Таблица 6.7
Х	Y	Х	Y	Х	Y	Х	Y	Х		Y
8	1,9	14	2,3	9	1,9	12	2,3	19		2,5
11	2,3	2	1,4	9	1,9	10	1,9	13		2,1
5	1,6	11	2,2	13	2,1	16	2,5	12		2,3
8	2,0	6	1,7	16	2,5	5	1,3	15		2,4
12	2,3	10	1,9	8	1,8	9	2,0	16		2,6
1	1,3	10	2,0	11	2,2	7	1,7	11		2,1
9	2,0	12	2,2	17	2,8	6	2,0	12		2,2
8	1,8	18	2,6	9	1,8	11	2,3	8		1,5
10	1,8	8	1,9	6	1,5	11	2,8	7		1,6
13	2,2	13	2,1	10	1,9	12	1,3	12		2,1

Решение. Выборочный коэффициент линейной корреляции рассчитывается по формуле

				− x y
r	=		xy		,
в			σxσy

где x , y , xy - средние значения для x, y, xy ; σx ,σy - выборочные сред-

ние квадратические отклонения. Выборочное уравнение прямой линии регрессии у по x имеет вид

y −	y =	r	σy	( x − x ).
		в σx

Для удобства расчета коэффициента корреляции rв и параметров линии регрессии построим корреляционную таблицу (прил. 2). Пояс-

ним порядок заполнения таблицы.		По горизонтали приведены интер-
валы для признака Y. Ширина интервалов рассчитана по формуле
Стерджеса
hy =	ymax − ymin	=	2,8 − 1,3	≈ 0,2.
	1+ 3,2lg n
		6,44

В скобках указаны середины интервалов ( y j ) . По вертикали – интервалы для признака Х, рассчитанные аналогичным образом.

	Во внутренних клетках таблицы на пересечении i − й строки и
j −	го столбца указана частота mij - число пар (x, y) , для которых зна-
чение признака Х попадает в i −		й интервал по x, а соответствующее
ему	значение признака Y – в	j − й интервал по y (число рабочих,

имеющих при данном стаже соответствующую производительность

27

труда). Так, например, на пересечении 3 − й строки и 4 − го столбца стоит число 8. Это значит – восемь человек при среднем стаже работы

x =

8,5 имеют среднюю производительность труда y = 2,0.

∑ mij и

Далее по горизонтали приведены суммы по строкам m j =

m j y2j , а по вертикали,

i

произведения m j y j ,

соответственно, суммы по

столбцам mi

= ∑ mij

и произведения mi xi ,

mi xi2 , групповые средние

j

∑ y j mij

yx =

x

=

yx

=

j

(так, например, для значения x = 8,5

имеем

mi

i

i

y

x=

8,5

=

1,6 2 + 1,8 4 +

2,0 8

=

1,9 )

и произведения x m y

x

.

14

i i

i

Найдем составляющие для вычисления коэффициента корреляции.

∑ y j m j

104

∑ xi mi

545

y =

j

=

=

2,08;

x =

i

=

= 10,9;

n

50

n

50

∑ y 2j m j

222,96

∑ xi2mi

6624,5

y 2

=

j

=

≈

4,46;

x2

=

i

=

= 132,49;

n

n

50

50

σ y

=

Dy

=

y2 −

y 2

=

4,46 −

2,082

≈

0,37;

σx

=

Dx

=

x2 −

x 2

=

132,49 −

10,92

≈

3,70;

∑∑ xi y j mij

∑ xi mi yx

1196,8

=

i

j

=

i

i

=

≈

23,94.

xy

n

n

50

r

=

23,94 −

10,9 2,08

≈ 0,93.

в

3,70 0,37

Кроме того, для установления надежности выборочного коэффици-

ента

корреляции

вычислим

его

среднее квадратическое отклонение

σr

=

1−

r

2

=

1− 0,932

0,02;

в

≈

в

n

50

и показатель Ляпунова

rв

µ =

=

0,93

=

46,5.

σr

0,02

в

							28
Так как = 46,5 > 2,6 , то между признаками X и Y (стажем работы и
производительностью труда рабочих) существует достаточно тесная
связь. Затем определим коэффициент регрессии
		ρ	=	r	σy	=	0,93	0,37		≈	0,09
								3,70
			y x	в σx
и запишем уравнение прямой линии регрессии:
y − 2,08 =	0,09(x − 10,9)				или		y =		0,09x + 1,19 .
График линии регрессии показан на рис.6.3.
y
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0														20 x
0	2	4	6		8		10		12		14	16	18

Рис. 6.3. Теоретическая линия регрессии

Список рекомендуемой литературы 1. Курс лекций по высшей математике: Учеб. пособие. Ч.1 / В.М. Вол-

ков и др. Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1998. – 102 с.

2.Курс лекций по высшей математике: /Учеб. пособие. Ч.2/ В.М. Волков и др. Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1998. - 90 с.

3.Алексеевская Г.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие / Г.В. Алексеевская, Н.А. Иванова, Л.А. Голубева; Кузбас. гос. техн. ун-т. – Кемерово, 1998. – 64 с.

4.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -

М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.

29

Приложение 1

					1	x	−	x 2
	Таблица значений функции Ф(x) =							2 dx .
						∫ e
					2π	0
x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)				x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389			0,96		0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422			0,97		0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454			0,98		0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486			0,99		0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517			1,00		0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549			1,01		0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580			1,02		0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611			1,03		0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642			1,04		0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673			1,05		0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703			1,06		0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734			1,07		0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764			1,08		0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794			1,09		0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823			1,10		0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852			1,11		0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881			1,12		0,3686
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910			1,13		0,3708
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939			1,14		0,3729
0,19	0,0758	0,51	0,1950	0,83	0,2967			1,15		0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995			1,16		0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023			1,17		0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051			1,18		0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078			1,19		0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106			1,20		0,3849
0,25	0,0987	057	0,2157	0,89	0,3133			1,21		0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159			1,22		0,3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186			1,23		0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212			1,24		0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238			1,25		0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264			1,26		0,3962
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289			1,27		0,3980