В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения

2.а)

3.а)

4.а)

5.а)

6.а)

7.а)

8.а)

9.а)

10.а)

11.а)

12.а)

13.а)

14.а)

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

∫xln12 x dx,

∫x4x+1 dx,

∫4x21+ 7 dx,

∫4x2x+ 7 dx,

∫xcos(x2 )dx,

∫ sin x cosx dx,

∫x2 x3 + 5 dx,

∫(2ln x + 3)3 dx, x

∫		e2x			dx,
	e	4x	+ 5
	e 2x			−1
∫		2x −1 dx,

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

20

∫xcos x2 dx,

∫xln x dx,

∫ln3 xx dx,

∫xarctgx dx,

∫(x +1)e3x dx,

∫x3x dx,

∫cosx2 x dx,

∫arcsinx dx,

∫arctgx dx,

∫ x ln x dx,

∫x(x2 +1)

3

dx,

б) ∫

x

dx,

2

2

sin

x

∫cos(sin x)cosx dx,

б)

∫xe2x dx,

∫

sin x

dx,

б)

∫(x + 2)ln x dx,

4

− cosx

∫

3 − ln 2x dx,

б)

∫x2 arcsin x dx,

x

∫xex2 −3 dx,

б)

∫arctg

x dx,

∫

2

dx,

б)

∫x2e3x dx,

4x − xln x

∫

sin6x

dx,

б)

∫

ln x

dx,

1

+ cos6x

x2

в)

∫

1

dx.

x3 +

1

в)

∫

x2

dx.

x4 −

16

в)

∫

x

dx.

x3 −1

в)

∫

x −1

dx.

x3 + x

в)

∫

1

dx.

x3 − x2

в)

∫

1

dx.

x

4

−1

2

в)

∫

x

dx.

x

4

+ x

2

− 2

в)

∫

x3 − 2x

dx.

x4 + 2x2 +1

в)

∫

5x

2

dx.

x

4

+ 5x

2

+

4

в)

∫x2 + 4x + 4

dx.

x(x −1)2

в)

∫

1

dx.

x2 + x −12

в)

∫

2x2 −1

dx.

x3 − 5x2 +

6x

в)

∫

x −1

dx.

x

2

6

+ x −

в)

∫

2x − 5

dx.

(x

+1)(x − 2)2

в)

∫

4x2 +

16x − 8

dx.

3

x

− 4x

в)

∫

x2 + 3

dx.

x3 − 8

в)

∫

x

dx.

x

2

− 4x + 9

21

19.а)

20.а)

21.а)

22.а)

23.а)

24.а)

25.а)

26.а)

27.а)

28.а)

29.а)

30.а)

∫

sin 2x

dx,

б)

∫

xsin x

dx,

1

− cos2x

cos2 x

∫

x2

dx,

б) ∫xcos3x dx,

x3 − 5

∫

4

dx,

б)

∫x2 ln x dx,

2 − 6x2

∫cosx(sin x)−

2

dx, б)

∫x3 ln x dx,

3

∫xe−x

2

dx,

б)

ln x

2

∫

dx,

x

∫sin

x dx,

б)

∫xe−x dx,

x

∫

x2

dx,

б)

∫x2e−2x dx,

x6 −1

∫

cosx dx

,

б)

1 + x

2

dx,

3 +

∫ln x +

3

5sin x

∫

1

dx,

б) ∫x2 cosx dx,

3

xln

x

∫

dx

, б)

∫ x ln2 x dx,

arccos5 x

1 − x2

∫

dx

,

б)

∫(x +1)ln(x2 +1) dx,

(1 + x2 )arctg3x

∫

arcsin3 x

dx,

б)

∫x2 sin 2x dx,

1 − x2

в)

∫

1

dx.

x

3

− x

в)

∫

1

dx.

x(x +

1)2

в)

∫

7x −15

dx.

x

3

− 2x

2

+

5x

в)

∫

1

dx.

x

3 + x2

в)

∫

(x − 4)dx

.

x

3

−

2x

2

+ x − 2

в)

∫

x + 2

dx.

x

3

− x

2

− 2x

в)

∫

x

dx.

x

3

1

+

в)

∫

x

dx.

x

3

−

3x

2

+

2x

в)

∫

2x2 − 3x + 3

dx.

x3 − 2x2 + x

в)

∫

x2 +1

dx.

(x +1)2 (x −1)

в) ∫

(x + 2)2

dx.

x

3

−

2x

2

+ x

в) ∫

x(x21

+1) dx.

31-60. Найти площадь области, ограниченной следующими линиями. Область построить

31.	y = 2x, x = 3,				y =			2 .
								x
32.	y = ln x,		x = e,			y = 0, x = e2 .
33.	y2 = 4x,		x2 = 4y.
34.	y = x2 + 2x,			y = x + 2.
35.	y =	27	,	y =		x2	.
		x2 + 9
					6

22

36.

x =

y,

x + y = 6,

y = 0.

37.

y = 3 + 2x − x2 ,

y = 0.

38.

y = arcsinx,

x = 0,

y =

π.

39.

y = x3 ,

2

y = x.

40.

y =

x,

y = x − 2,

x = 0.

41.

y = x,

x = 0,

y = x2 +1,

y = 2.

42.

y = x2 , y = x + 2.

43.

y = 4x − x2 ,

y = 0.

44.

y = sin x,

x = π,

y = 2,

x = 0.

2

45.

y = tgx,

x = π

,

y =1.

3

46.

y = x2 , y = 6 + x.

47.

y = 2x − x2 ,

y = −x.

48.

y = 3 − 2x,

y = x2 .

49.

y = x2 ,

y = x2

,

y = 2x.

x2

2

2

50.

y =

,

y = 4 −

.

3

3x2

51.

y = ex ,

y = e−x ,

x = 3.

52.

y = 2x ,

y = 2x − x2 ,

x = 0, x = 2.

53.

y = x2 +1,

x + y = 3.

54.

y = x +1,

y = cosx,

y = 0.

55.

y = −x2 , x + y + 2 = 0.

56.

y = sin x,

y = cosx,

x = 0.

57.y

58.y

59.y

60.y

	=	x	2	,	y =	3x −	x2	.
		4					2
	= ex , x + y =1, x =1.
	=	4	,		x + y = 5.
		x				2 cosx, x = 0.
	= tgx,				y =
						3

23

61-90. Найти длину дуги кривой

61.

y2 = x3 ,

0 ≤ x ≤1,

y ≥ 0.

62.

ρ =sin3 θ

,

0 ≤ θ ≤

π.

3

2

63.

ρ = cos3 θ

,

0 ≤ θ ≤

π.

3

2

64.

x = t2 ,

y = t

− t3 ,

0 ≤ t ≤ 1 .

3

3

65.

y =1 − lncosx,

0 ≤ x ≤ π.

66.

6

ρ =1 − cosθ,

0 ≤ θ ≤ 2π.

67.

x =

1 t3

− t,

y = t2

+ 2, 0 ≤ t ≤ 3.

3

68.

x = et cost,

y = et sint,

0 ≤ t ≤ ln π.

69.

x = 8sint + 6cost,

y = 6sint − 8cost,

0 ≤ t ≤

π.

70.

ρ =10sinθ,

0 ≤ θ ≤ π.

2

71.

y =

x3 ,

0 ≤ x ≤ π.

72.

y = lncosx,

0 ≤ x ≤ π.

1 x2

1 ln x,

3

73.

y =

−

1 ≤ x ≤ e.

4

2

y = 9(1 − cost),

74.

x = 9(t − sint),

0 ≤ t ≤ 2π.

75.

y = ln x,

3 ≤ x ≤

8.

76.

ρ = 3(1 + cosθ),

0 ≤ θ ≤ π.

77.

x = 4cos3 t,

y = 4sin3 t,

0 ≤ t ≤

π.

2

0 ≤ t ≤ π.

78.

x = 3(cost + tsint),

y = 3(sint − tcost),

79.

x = et cost,

y = et sint,

2

0 ≤ t ≤1.

80.

y = lnsin x,

π ≤ x ≤ π.

3

2

81.

x = 5(cost + tsint),

y = 5(sint − tcost),

0 ≤ t ≤ π.

82.

ρ = 2(1 + cosθ),

0 ≤ θ ≤ π.

83.

x = 5(t − sint),

y = 5(1 − cost),

0 ≤ t ≤ 2π.

						24
84.	x = t2 ,	y = t − t3 ,				0 ≤ t ≤ 3.
85.					3
	ρ = 6cosθ,				0 ≤ θ ≤ 2π.
86.	y = 2	x3 ,			0 ≤ x ≤1.
87.	x = 5(sint + cost),					y = 5(sint − cost),	0 ≤ t ≤ 2π.
88.	y = (x +1)		3	,	−1 ≤ x ≤ 4.
			2
89.	x = 7(cost + tsint),					y = 7(sint − tcost),	0 ≤ t ≤ π.
90.	x = 3(t − sint), y = 3(1 − cost), 0 ≤ t ≤						π.
							2

Криволинейные интегралы по координатам (II рода)

r

91-120.r

Определить работу, совершаемую

переменной

силой

F = P(x, y)i

+ Q(x, y)j

при перемещении некоторой массы из точки A

в

точку

B по пути l

91.

r

r

r

l

-

нижняя половина эллипса

x = 2cost,

y = 3sin t ,

F

= y2 i

− x2 j ,

пробегаемая по ходу часовой стрелки.

92.

r

r

r

- отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0) и B(2,1).

F

= 2xyi − xj , l

93.

r

= 2xy

r

r

,

l

- дуга параболы y = 3x2 , пробегаемая

от

точки

F

2 i

− x2 j

A(0,0) до точки B(1,3).

94.

r

r

r

l

- отрезок прямой, соединяющий точки

−

π

,

π

F

= cosyi − sin xj ,

A

2

2

π

,−

π

и B

.

95.

r

2

r2

r

l

-

четверть дуги окружности

x = R cost,

y = R sin t ,

F = −yi + xj ,

лежащая в первой четверти и пробегаемая против хода часовой

стрелки.			r
96.	r	r			l	- дуга кривой y = x3 + 1, пробегаемая от точки A(0,1)
	F = y2 i		+ x2 j ,
до точки B(1,2).
97.	r	r	r	l		- нижняя половина эллипса	x = a cost,	y = b sin t ,
	F	= −yi	− xj ,
пробегаемая против хода часовой стрелки.
98.	r	r			r	, l - прямая y = x от точки A(0,0) до точки B(1,1).
	F	= xyi	+ (x + y)j
99.	r		r	r	,	l - дуга параболы x = 2y2 ,	пробегаемая	от точки
	F	= −2xyi + x2 j

A(2,1) до точки B(0,0).

							25
100.	r	r	+ (x + y)j , l		- парабола y = x2 от точки A(0,0) до точки
	F = xyi
B(1,1).				+ (y2
101.	r		r		r	, l	- дуга параболы y = x2 , пробегаемая от
	F = (x2		− 2xy)i		− 2xy)j

точки A(− 1,1) до точки B(1,1).

rr

102.F = sin2 xi + y2 j , l - дуга линии y = cosx от точки A(0,1) до точки

B(π,−1).

103.

r

r

+

x2 +

r

- дуга параболы y = x2

от точки A(0,0) до

F

= (x − y)i

3y j , l

точки B(1,1).

r

x

r

y

r

- отрезок прямой от точки A(1,1)

104.

F

=

i

+

j , l

до точки

x3 + y3

x3

+ y3

B(

2,2).

r

r

1

r

π

105.

F

= cos2 xi +

j

, l

- дуга линии y = tgx от точки A

,1

до точки

y3

4

π

,

B

3

3 .

106.

r

r

r

,

l

- дуга кривой y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F

= (x2 + y2 )i

+ xyj

B(1,e).

r

r

1

r

π

π

1

107.

F

= sin3 xi +

j

, l

- дуга кривой y = ctgx от A

,1 до

B

,

.

y2

3

3

4

108.

r

r

r

,

l

- дуга линии y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F

= (x3 − y2 )i + xyj

B(1,e).

r

r

109.

r

, l

- дуга кривой x = t2 ,

y = t от точки A(4,2) до точки

F

= −xyi

− y2 j

B(1r,1).

r

r

, l

- дуга кривой x = t,

y = t3

от точки A(0,0)

до точки

110.

F = x2yi

+ y2 j

B(1,1).

r

r

111.

r

l -

дуга окружности x = R cost,

y = R sin t от

F

= (x + y)i

+ (x − y)j ,

точки A(0,−R)

до точки B(R,0).

112.

r

r

r

, l

- дуга эллипса x = a cost,

y = bsin t от точки A(0,−b)

F

= y2 i

+ xyj

до точки

B(a,0).

113.

r

r

r

l

- дуга астроиды x = cos3 t,

y = sin3 t от точки A(1,0)

F

= −yi

+ xj ,

до точки B(0,1).

26

114.

r

r

r

, l - нижняя часть полуокружности x = 3cost,

y = 3sint ,

F = y2 i

+ x2 j

пробегаемая от точки

A(− 3,0) до точки B(3,0).

115.

r

r

r

- отрезок прямой от точки

A(1,1)

до точки

F = (x3

− y2 )i

− xyj , l

B(4,4).

116.

r

r

r

- контур, ограниченный параболами y = x2 ,

y2 = x ,

F = x2yi + x3 j , l

пробегаемый против хода часовой стрелки.

117.

r

r

, l

-

дуга кривой

x = cost,

y =

sin t

от

точки

F = −y2xi + x2yj

A(1,0)

до точки B(0,1).

118.

r

r

r

-

дуга кривой

y = −2x − x2 ,

расположенная над

F = yi − (y + x2 )j , l

осью Ox и пробегаемая против хода часовой стрелки.

119.

r

r

(2xy

r

= x2

от точки A(1,1)

F = (x2

− 2xy)i

+

+ y2 )j , l - дуга параболы y

до точки B(2,4).

120.

r

r

r

,

l

- верхняя половина эллипса x = a cost,

y = b sin t ,

F = y2 i

+ x2 j

пробегаемая против хода часовой стрелки.

Контрольная работа №6

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1-30. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

	1.	xyy′ +1 = y .	16.	y′ + 2y = e−x .
		y			1		+ 2x
	2.	y′ + x = x.	17.	y′ −					y =1.
							x2
	3.	(x2 + y2 )dy − 2xydx = 0 .								y
			18.	xy′ = y − xex .
	4.	y′ + ay = emx .	19.	y′ + 3y + x = 0 .
	5.	ydy + (x − 2y)dx = 0 .	20.	(y + x)dx − (y − x)dy = 0 .
	6.	xdy = (x + y)dx .	21.	ydx + (2				xy − x)dy = 0 .
	7.	y − x y′ = yln x .	22.	(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 )2 .
		y

		27
8.	y − x y′ = x + yy′.	23.	y′ + 3xy − x3 = 0 .
9. (1 − x2 )y′ − xy = 1.		24.	y′ = tg y +	y .
			x	x
10.	xdy − ydx = ydy .	25.	(x + 2y)ydx = x2dy .
11.	xdy − 2ydx = ydy .	26.	xy′ − x = y .
12.	(x − y)y − x2y′ = 0 .	27.	y	= x .
			y′ lnx + x
13.	dx − x + y2 = 0.	28.	y′ cosx − y sinx = x .
	dy
14.	(y2 − 3x2 )dx + 2xydy = 0.	29.	y′ arctgx +			y		= 2x .
						+ x2
				1
15.	y2 + x2 y′ = xyy′.	30.	y′ − y = xex .

31-60. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя метод понижения порядка уравнения

31.y′′ = yx′ + x .

32.y′′ = 2yy′ .

33.x(yy′′ + y′2 )= 4yy′ ( подстановка z = yy′ ).

34.yy′′ = (y′)2 .

35.xy′′ − 2y′ + x = 0 .

36.y′′ = − yx′ .

37.yy′′ = y2y′ + y′2 .

38.yy′′ + y′2 = 1 ( подстановка z = yy′ ).

39.x2y′′ + xy′ = 1.

40.y′′ = yy′ + y′.

41.xy′′ − y′ = 0 .

42.y′′ = x − y′.

43.y′′2 = y′.

44.xy′′ = y′ + x sin yx′.

45.y′′ y3 = 1.

28

46.y′′(ex + 1)+ y′ = 0 .

47.xy′′ = 2y′.

48.xy′′ +1 = y′.

49.2xy′ y′′ = y′2 − 1.

50.yy′′ = y′2 − y′3 .

51.yy′′ + y′2 = x ( подстановка z = yy′ ).

52.x y′′ + x y′ − y′ = 0 .

53.y′′ =1 − y′2 .

54.(1 − x2 )y′′ − xy′ = 2.

55.y′ y′′ + 2 = 0 .

56.(x − 2) y′′ − y′ = 0.

57.y′2 + yy′′ = yy′ ( подстановка z = yy′ ).

58.y′′ − 2ctgx y′ = sin3 x.

59.2y y′′ − 3y′2 = 4y2 .

60.x (y′′ +1)+ y′ = 0.

61-90. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

61.

y

′′

+ 9y =10e

x

+ 3cosx,

y(0)=

0,

′

y (0)= 2 .

′′

′

x

3x

′

1

62.

y

− 6y

+ 9y

= xe

+ e

,

y(0)

= 0,

(0)= 4 .

y

63.

y′′

− 2y′ + y = x2ex ,

y(0)= 5,

y′(0)= 3 .

64.

y′′ + y′ = x +1 +10e4x ,

y(0)= 0,

y′(0)= 2.

65.

′′

y(0)=

1

′

(0)= 7.

y

+ y = 24cos7x − 48sin7x,

2 ,

y

66.

y′′ + 3y′ + 2y = sin x + e−x ,

y(0)= 0,

y′(0)= 0.

′′

′

2

x

4

′

7

67.

y

+ 2y

= x

+ e

,

y(0)= 3 ,

(0)= 12 .

y

68.

y′′ − y′ − 6y = −5e3x + 6,

y(0)= 0,

y′(0)= 7 .

69.

y

′′

+ y

′

− 2y = xe

x

+ cosx,

y(0)

= 0,

y

′

1

(0)= −9 .

70.

y

′′

+ y = cosx − x,

y(π)=

1,

′

y

(π)=1.

29

71.

y′′ − y′ = 2ex cosx,

y(0)=1,

y′(0)= 0.

72.

2y′′ + 5y′ = 7ex +10x −1,

y(0)=1,

y′(0)= 5 .

′′

′

3x

′

1

73.

y

− y

= 2(1 − x)+ e

,

y(0)=1,

y

(0)= 2 .

′′

′

2

′

74.

y

+ 2y

+ 5y = 5x +17cosx,

y(0)= −5 ,

(0)= 8 .

y

75.

y′′ − 3y′ = 2 − 9x2 ,

y(0)=1,

y′(0)=1.

′′

′

−2x

2

1

′

1

76.

y

+ 4y

+ 4y = e

+ x

+ 2 ,

y(0)= 2,

(0)= 2 .

y

′′

′

= 2(e

x

−x

),

4

′

1

77.

y

− 2y

+ e

y(0)= − 3 ,

(0)= 3 .

y

78.

y

′′

− 5y

′

+ 6y = 6x

3

− 3x

2

+ 4x

+1,

y(0)=1,

′

y

(0)=1.

′′

′

−x

1

′

3

79.

4y

+ 4y

+ y

= 8e

− 5sin x,

y(0)= −5 ,

y (0)= 5 .

′′

′

x

1

′

80.

y

+ 2y

= −5e

(sin x + cosx),

y(0)= 2 ,

(0)= 4.

y

′′

′

3x

3

′

1

81.

y

+ 6y

+ 9y = (3x +

10)e

− 9,

y(0)= −

4 ,

y

(0)= 6 .

′′

2x

′

17

82.

y

− 4y = 8cos2x − 4xe

,

y(0)= −1,

(0)= 4 .

y

83.

y′′

− y = 3x2 − 7x + 9 + 3e2x ,

y(0)= 0,

y′(0)=1.

84.

y′′

+ 5y′ + 6y = e2x − sin x,

y(0)= 0,

y′(0)=1.

85.

y′′

− 8y′ + 7y =15sin x +12ex ,

y(0)=1,2;

y′(0)= 4,9 .

86.

y′′ − 4y =13sin 3x − 8,

y(0)= 2,

y′(0)=1.

87.

′′

x

y(0)= 6,

′

y

− y = 3 −10cos 3 ,

y

(0)= 4 .

88.

y

′′

− 2y

′

= 2e

x

− x,

y(0)= −1,

′

y (0)= 0.

89.

y′′

+ 4y = 4sin 2x − x +1,

y(0)= 0,

y′(0)= −1.

90.

y′′

− y′ =10sin x + 6cosx + 4ex ,

y(0)= 0,

y′(0)= −4 .

91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения

91. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 (1,1).